D2-1 导数与微分 辽宁专升本,高等数学,树人,导航,2018

第二部分一元函数微分学及其应用§2.1导数与微分§2.2导数的应用2.1导数与微分§1导数的概念§2求导法则§3*参变量函数的导数§4高阶导数(2阶)§5微分一问题的提出1.直线运动的速度问题,)(0时刻的瞬时速度求数为设动点于时刻的位置函ttfs0t如图,,0tt的时刻取一邻近于,t运动时间tsv平均速度0000)()(tttftfttss,0时当tt取极限得tt00)()(lim0tttftfVtt瞬时速度2.切线问题切线：割线的极限播放MNT割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线.T0xxoxy)(xfyCNM).,(),,(00yxNyxM设的斜率为割线MN00tanxxyy,)()(00xxxfxf,,0xxMNC沿曲线的斜率为切线MT.)()(limtan000xxxfxfkxx二导数的定义,,)(,)(,0);()(,)(,)(00000000xxyxxfyxxfyxxyxfxxfyyxxxxxxxfy记为处的导数在点数并称这个极限为函处可导在点则称函数时的极限存在之比当与如果得增量取相应地函数时仍在该邻域内点处取得增量在当自变量有定义的某个邻域内在点设函数1.定义.)()(lim)(0000hxfhxfxfh导数定义其它常见形式：.)()(lim)(0000xxxfxfxfxxxxfxxfxyyxxxx)()(limlim00000)(,00xfdxdyxx即.,0慢程度而变化的快因变量随自变量的变化反映了它处的变化率点导数是因变量在点x.)(,)(内可导在开区间就称函数处都可导内的每点在开区间如果函数IxfIxfy1）注12导函数.)(),(,.)(.)(,dxxdfdxdyxfyxfxfIx或记作的导函数这个函数叫做原来函数导数值的一个确定的都对应着对于任一xxfxxfyx)()(lim0即很明显.)()(00xxxfxf2）如果)(xf在开区间ba,内可导，且)(af及)(bf都存在，就说)(xf在闭区间ba,上可导.3）右导数:3单侧导数左导数:;)()(lim)()(lim)(00000000xxfxxfxxxfxfxfxxx;)()(lim)()(lim)(00000000xxfxxfxxxfxfxfxxx判断函数在某一点可导的充分必要条件：)()()(0'0'0xfxfxxf点可导在函数例.0)(处的可导性在讨论函数xxxf解xyxyo,)0()0(hhhfhfhhhfhfhh00lim)0()0(lim,1hhhfhfhh00lim)0()0(lim.1),0()0(ff即.0)(点不可导在函数xxfy三由定义求导数举例步骤:);()()1(xfxxfy求增量;)()()2(xxfxxfxy算比值.lim)3(0xyyx求极限例1.)()(的导数为常数求函数CCxf解hxfhxfxfh)()(lim)(0hCCh0lim.0常数的导数是零。即.0)(C例2.)(的导数为正整数求函数nxyn解hxhxxnnhn)(lim)(0]!2)1([lim1210nnnhhhxnnnx1nnx.)(1nnnxx即更一般地)(.)(1为常数xx)()(21xx例如,12121x.21x)()1(1xx11)1(x.12x四导数的意义oxy)(xfyT0xM1几何意义)(,tan)(,))(,()()(0000为倾角即切线的斜率处的在点表示曲线xfxfxMxfyxf切线方程为法线方程为).)((000xxxfyy).()(1000xxxfyy四、导数几何意义的应用（必考内容）1、根据导数的几何意义，可以得到曲线在定点处的切线方程为：)(xfy),(000yxM))((000xxxfyy2、如果，则法线的斜率为，从而点处法线方程为：0)(0xf)(10xf)()(1000xxxfyy0M例6求曲线在点（4，2）处的切线方程和法线方程。xy解：（1）函数在x=2处的导数：xy4xy（2）所求切线的斜率41切k)4(412xy044yx即（4）法线的斜率，故所求的法线方程为：41切法kk)4(42xy0184yx即（3）由直线的点斜式方程可得曲线的切线方程为：41214xx例7曲线上哪些点处的切线与直线平行？23xy13xy解：由导数的几何意义可知，曲线在点处的切线的斜率为：23xy),(00yxM)(2300xyxx而直线的斜率为13xy3k3230x解此方程，得40x将代入曲线方程，得。40x23xy80y根据两直线平行的条件有所以，曲线在点处的切线与直线平行。23xy)8,4(M13xy02102323xx练习求曲线在点（1，1）处的切线方程和法线方程3xy解：1xy3切k所以，切线方程为：)1(31xy法线方程为：)1(311xy即023yx即043yx3312xx即切线的斜率为：例8.,)4,2(2方程和法线方程并写出在该点处的切线斜率处的切线的在点求曲线xy解根据导数的几何意义,得切线斜率为2xyk所求切线方程为法线方程为),2(44xy),2(414xy.044yx即.0184yx即xxy2)(242xyk2简单的物理意义1）变速直线运动中路程对时间的导数为物体的瞬时速度..lim)(0dtdststvt2）交流电路中电量对时间的导数为电流强度..lim)(0dtdqtqtit3）非均匀物体中质量对长度(面积,体积)的导数为物体的线(面,体)密度..lim)(0dPdmPmPP五可导与连续的关系结论：可导的函数一定是连续的。证,)(0可导在点设函数xxf)(lim00xfxyx)(0xfxyxxxfy)(0])([limlim000xxxfyxx0.)(0连续在点函数xxf)0(0x比如处连续但不可导在函数0)(xxxf解xyxyo,)0()0(hhhfhfhhhfhfhh00lim)0()0(lim,1hhhfhfhh00lim)0()0(lim.1),0()0(ff即.0)(点不可导在函数xxfy注意:反之不成立.即连续不一定可导。)sin()(0xbaxWnnn1,01abab问题：连续函数是否只在个别点处不可导？一个著名的问题六小结1.导数的概念与实质:增量比的极限;2.axf)(0)(0xf;)(0axf3.导数的几何意义与物理意义:5.函数可导一定连续，但连续不一定可导;4.由定义求导数.练习1、利用幂函数的求导公式，求下列函数的导数8.018.18.18.1)1(xxy解：41333)2(xxy2312121212121)()1()3(xxxxy491413413413413413413)()()()4(xxxxxxy81)1(xy3)2(xyxy1)3(43)4(xxy2、熟记以下导数公式：;cotcsc)(csc,tansec)(secxxxxxx(1)()0();cc为常数);()()2(1为任意实数xx;sin)(cos,cos)(sin)3(xxxx;csc)(cot,sec)(tan)4(22xxxx2211(7)(arcsin),(arccos),11xxxx21(arccot).1xx21(arctan),1xx11(6)(log),(ln);lnaxxxax(5)()ln,(e)e;xxxxaaa2.1导数与微分§1导数的概念§2求导法则(重点)§3*参变量函数的导数§4高阶导数§5微分一和、差、积、商的求导法则定理2并且处也可导们的和在点则它处可导在点如果函数,,)(),(xxxvxu);()(])()([xvxuxvxu并且处也可导们的差在点则它处可导在点如果函数,,)(),(xxxvxu);()(])()([xvxuxvxu定理1推论)()()(])()()([)1(2121xfxfxfxfxfxfmm例1.ln23的导数求xxxy解xxxy1232定理3并且处也可导们的积在点则它处可导在点如果函数,,)(),(xxxvxu);()()()(])()([xvxuxvxuxvxu推论);(])([)2(xfCxCfwuvwvuvwuuvw][)3(注意:);()(])()([xvxuxvxu例2.ln2sin的导数求xxy解xxxylncossin2xxxylncoscos2xxxln)sin(sin2xxx1cossin2.2sin1ln2cos2xxxx并且处也可导在点分母不为零们的商则它处可导在点如果函数,)(,)(),(xxxvxu).0)(()()()()()(])()([2xvxvxvxuxvxuxvxu定理4例3.tan的导数求xy解)cossin()(tanxxxyxxxxx2cos)(cossincos)(sinxxx222cossincosxx22seccos1同理可得xxy2sec)(tanxxy2csc)(cot例4.sec的导数求xy解)cos1()(secxxyxx2cos)(cos.tansecxxxx2cossin同理可得xxxycotcsc)(csc二*反函数的导数.)(1)(,)(,0)()(xxfIxfyyIyxxy且有内也可导在对应区间那末它的反函数且内单调、可导在某区间如果函数法则三复合函数的求导法则(必考)链式法则（ChainRules)：).()(,)]([,)()(,)(0000000xufdxdyxxfyxuufyxxuxx且其导数为可导在点则复合函数可导在点而可导在点如果函数注2),(),(),(xvvuufy设.)]}([{dxdvdvdududydxdyxfy的导数为则复合函数例4.tanln的导数求函数xy解.tan,lnxuuydxdududydxdyxu2sec1xxcossin1例5.)cos(ln的导数求函数xey解xevvuuy,cos,lndxdvdvdududydxdy)tan()sin(1xxxeeevu注：熟练以后，可以不写出中间变量，此例可以这样写：])[cos()cos(1])cos([lnxxxeeedxdy)tan(])[()cos()sin(xxxxxeeeee例6.)2(21ln32的导数求函数xxxy练习：.1sin的导数求函数xey解)1(sin1sinxeyx)1(1cos1sinxxex.1cos11si