27含参二次函数的最值问题

二次函数含参问题求最值例1：分别求函数在以下区间上的值域：322xxy（2）3,0x（3）3,2x0,2x（1）yxOx=1322xxy解：由题知，函数f(x)的对称轴为x=1，开口向下（1）因为所以f(-2)=—5，f(0)=3所以，函数f(x)的值域为(-5,3).（2）因为所以，所以，函数f(x)的值域为[-5,4]0,2x3,0xmax()(1)4fxfmin()(3)5fxf第一类：：函数对称轴不固定，区间固定例2：求二次函数f(x)=x2-2ax-1在区间[0,2]上的最小值？yxOX=a分析：对称轴x=a是个动直线，有可能位于0的左侧，有可能位于0与2之间，有可能位于2的右侧解：由题知，函数f(x)的对称轴为x=a，开口向上若，则函数f(x)的最小值为f(0)=—1若，则函数f(x)的最小值为若，则函数f(x)的最小值为f(2)=3—4a.0a02a2()1faa2a2min1,(0)()1,(02)34,(2)afxaaaa所以，变式：求二次函数f(x)=-x2+4ax-3在区间[-2,1]上的最大值？例3：二次函数f(x)=x2-2x-3在[-3,a](a-3)上的最值是多少？yxo1-3a1a3)1(时当第2类:函数对称轴固定，动区间=f(a)=a2-2a-3=f(-3)=12min()fxmax()fxyxo1-3a5yxo1-35af(x)=x2-2x-3,x∈[-3,a](a-3)=f(1)=-4=f(-3)=12=f(1)=-4=f(a)=a2-2a-35a1)2(时当5a)3(时当min()fxmax()fxmin()fxmax()fx∴当x=0时，ymax=3当x=a时，ymin=a2-2a+3,函数在[0,1]上单调递减,在[1,a]上单调递增,∴当x=1时,ymin=2当x=0时，ymax=3yxo1322a解:对称轴：x=1,抛物线开口向上例4：求函数y=x2-2x+3在区间[0，a]上的最值，并求此时x的值。2.当1a2时1.当0a≤1时，函数在[0，a]上单调递减，,函数在[0,1]上单调递减,在[1，a]上单调递增,∴当x=1时,ymin=2,当x=a时,ymax=a2-2a+3yxo132a2例3求函数y=x2-2x+3在区间[0，a]上的最值，并求此时x的值。3.当a≥2时,函数在[0,1]上单调递减,在[1,a]上单调递增,∴当x=1时,ymin=2当x=0时，ymax=3解:对称轴：x=1,抛物线开口向上1.当0a≤1时，函数在[0，a]上单调递减，∴当x=0时，ymax=3当x=a时，ymin=a2-2a+32.当1a2时思考：已知f(x）=x2-2x+3在[0，a]上最大值3,最小值2，求a的范围。yxo1322例5：已知,1,,532ttxxxxf若f(x)的最小值为h(t),求h(t)的表达式。已知变式：,1,,442ttxxxxf若f(x)的最小值为g(t),求g(t)的表达式。本节课讨论了两类含参数的二次函数最值问题:(1)轴动区间定(2)轴定区间动核心思想仍然是判断对称轴与区间的相对位置，从中体会到数形结合思想、分类讨论思想。小结：