最全数学归纳法的应用ppt

课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习第2课时数学归纳法的应用课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习【课标要求】1．掌握数学归纳法的实质及归纳与猜想的关系．2．能运用数学归纳法解决实际问题．【核心扫描】1．数学归纳法与函数、数列、不等式及几何问题相结合．(重点)2．能通过“归纳—猜想—证明”解决一些数学问题．(难点)课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习自学导引数学归纳法用框图表示就是：课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习想一想：数学归纳法的两个步骤有何关系？提示使用数学归纳法时，两个步骤缺一不可，步骤(1)是递推的基础，步骤(2)是递推的依据．课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习名师点睛1．数学归纳法在证明与正整数n有关的等式、不等式、整除问题及数列问题中有广泛的应用．2．归纳→猜想→证明(1)归纳、猜想和证明是人们探索事物发展规律的常用方法，在数学中是我们分析问题、解决问题的一个重要的数学思想方法．(2)在归纳、猜想阶段体现的是一般与特殊的相互转化关系．(3)在数学归纳法证明阶段体现的是有限和无限的转化，是一种极限的思想．课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习题型一用数学归纳法证明不等式问题【例1】用数学归纳法证明：122＋132＋142＋…＋1n21－1n(n≥2，n∈N*)．[思路探索]应用数学归纳法证题时，第一个步骤中的初始值n0是使命题成立的最小自然数，这个自然数不一定是1.课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习证明(1)当n＝2时，左式＝122＝14，右式＝1－12＝12.因为1412，所以不等式成立．(2)假设n＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式成立，即122＋132＋142＋…＋1k21－1k，则当n＝k＋1时，122＋132＋142＋…＋1k2＋1k＋121－1k＋1k＋12＝1－k＋12－kkk＋12＝1－k2＋k＋1kk＋121－kk＋1kk＋12＝1－1k＋1，所以当n＝k＋1时，不等式也成立．综上所述，对任意n≥2的正整数，不等式都成立．课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习用数学归纳法证明不等式时常要用到放缩法，即在归纳假设的基础上，通过放大或缩小等技巧变换出要证明的目标不等式．课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习【变式1】用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数n，不等式1＋131＋15…1＋12n－12n＋12成立．证明(1)当n＝2时，左＝1＋13＝43，右＝52，左右，∴不等式成立．(2)假设n＝k(k≥2且k∈N*)时，不等式成立，即1＋131＋15…1＋12k－12k＋12，那么当n＝k＋1时，课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习1＋131＋15…1＋12k－11＋12k＋1－12k＋12·2k＋22k＋1＝2k＋222k＋1＝4k2＋8k＋422k＋14k2＋8k＋322k＋1＝2k＋3·2k＋12·2k＋1＝2k＋1＋12，∴n＝k＋1时，不等式也成立．由①②知，对一切大于1的自然数n，不等式都成立．课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习题型二用数学归纳法证明整除性问题【例2】用数学归纳法证明：f(n)＝(2n＋7)·3n＋9能被36整除．[思路探索]验证n＝1时能被36整除→假设n＝kk≥1，k∈N＋时命题成立→推证n＝k＋1时也能被36整除→得出结论课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习证明①当n＝1时，f(1)＝(2×1＋7)×3＋9＝36，能被36整除．②假设n＝k时，f(k)能被36整除，即(2k＋7)·3k＋9能被36整除，则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝[2(k＋1)＋7]·3k＋1＋9＝3[(2k＋7)·3k＋9]＋18(3k－1－1)，由归纳假设3[(2k＋7)·3k＋9]能被36整除，而3k－1－1是偶数，所以18(3k－1－1)能被36整除，所以f(k＋1)能被36整除．由①②可知，对任意的n∈N＋，f(n)能被36整除．课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习卡盟，是微软公司的演示文稿软件。用户可以在投影仪或者计算机上进行演示，也可以将演示文稿打印出来，制作成胶片，以便应用到更广泛的领域中。利用MicrosoftOfficePowerPoint不仅可以创建演示文稿，还可以在互联网上召开面对面会议、远程会议或在网上给观众展示演示文稿。MicrosoftOfficePowerPoint做出来的东西叫演示文稿，其格式后缀名为：ppt、pptx；或者也可以保存为：pdf、图片格式等课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习应用数学归纳法证明整除性问题时，关键是“凑项”，采用增项、减项、拆项和因式分解等方法，也可以说将式子“硬提公因式”，即将n＝k时的项从n＝k＋1时的项中“硬提出来”，构成n＝k的项，后面的式子相对变形，使之与n＝k＋1时的项相同，从而达到利用假设的目的．课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习【变式2】用数学归纳法证明62n－1＋1(n∈N*)能被7整除．证明(1)当n＝1时，62－1＋1＝7能被7整除．(2)假设当n＝k(k∈N*，且k≥1)时，62k－1＋1能被7整除．那么当n＝k＋1时，62(k＋1)－1＋1＝62k－1＋2＋1＝36(62k－1＋1)－35.∵62k－1＋1能被7整除，35也能被7整除，∴当n＝k＋1时，62(k＋1)－1＋1能被7整除．由(1)，(2)知命题成立．课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习题型三用数学归纳法证明几何问题【例3】用数学归纳法证明凸n边形的对角线有12n(n－3)条．[思路探索]可先弄清凸n边形多增加一条边时对角线的变化情况，再归纳出变化规律，然后求解．证明①当n＝3时，12n(n－3)＝0，这就说明三角形没有对角线，故结论正确．②假设当n＝k(k≥3，k∈N＋)时结论正确，即凸k边形的对角线有12k(k－3)条，课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习则当n＝k＋1时，凸(k＋1)边形的对角线的条数f(k)＝12k(k－3)(k≥4)，当n＝k＋1时，凸(k＋1)边形是在k边形基础上增加了一边，增加了一个顶点，设为Ak＋1，增加的对角线是顶点Ak＋1与不相邻顶点的连线再加上原k边形一边A1Ak，共增加了对角线的条数为k－2＋1＝k－1.∴f(k＋1)＝12k(k－3)＋k－1＝12(k2－k－2)课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习＝12(k＋1)(k－2)＝12(k＋1)[(k＋1)－3]故当n＝k＋1时命题成立．由(1)(2)知，对任意n≥4，n∈N*，命题成立．课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习用数学归纳法证明几何问题，关键在于分析由n＝k到n＝k＋1的变化情况，即分点(或顶点)增加了多少，直线的条数(或划分区域)增加了几部分等，或先用f(k＋1)－f(k)得出结果，再结合图形给予严谨的说明，几何问题的证明：一要注意数形结合；二要注意要有必要的文字说明．课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习【变式3】平面内有n(n∈N*，n≥2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，求证交点的个数f(n)＝nn－12.证明(1)当n＝2时，两条直线的交点只有一个，又f(2)＝12×2×(2－1)＝1，∴当n＝2时，命题成立．(2)假设当n＝k(k∈N*，k≥2)时命题成立，即平面内满足题设的任何k条直线的交点个数f(k)＝12k(k－1)，那么，当n＝k＋1时，课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习任取一条直线l，除l以外其他k条直线的交点个数为f(k)＝12k(k－1)，l与其他k条直线交点个数为k，从而k＋1条直线共有f(k)＋k个交点，即f(k＋1)＝f(k)＋k＝12k(k－1)＋k＝12k(k－1＋2)＝12k(k＋1)课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习＝12(k＋1)[(k＋1)－1]，∴当n＝k＋1时，命题成立．由(1)，(2)可知，对任意n∈N*(n≥2)命题都成立．课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习题型四归纳—猜想—证明【例4】在数列{an}，{bn}中，a1＝2，b1＝4，且an，bn，an＋1成等差数列，bn，an＋1，bn＋1成等比数列{n∈N＋}．(1)求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测{an}，{bn}的通项公式，并证明你的结论；(2)证明：1a1＋b1＋1a2＋b2＋…＋1an＋bn＜512.审题指导(1)根据已知条件求出{an}，{bn}的前几项，由此猜测{an}，{bn}的通项公式．然后根据递推关系式用数学归纳法加以证明．(2)用放缩法证明不等式．课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习[规范解答]由条件得2bn＝an＋an＋1，a2n＋1＝bnbn＋1.由此可以得a2＝6，b2＝9，a3＝12，b3＝16，a4＝20，b4＝25.猜测an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2.(4分)用数学归纳法证明：①当n＝1时，由上可得结论成立．②假设当n＝k(k∈N*)时，结论成立．课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习即ak＝k(k＋1)，bk＝(k＋1)2，那么当n＝k＋1时，ak＋1＝2bk－ak＝2(k＋1)2－k(k＋1)＝(k＋1)(k＋2)，bk＋1＝a2k＋1bk＝(k＋2)2，所以当n＝k＋1时，结论也成立．由①②，可知an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2对一切正整数都成立．(8分)课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习(2)证明1a1＋b1＝16＜512.n≥2时，由(1)知an＋bn＝(n＋1)(2n＋1)＞2(n＋1)n.故1a1＋b1＋1a2＋b2＋…＋1an＋bn＜16＋1212×3＋13×4＋…＋1nn＋1＝16＋1212－13＋13－14＋…＋1n－1n＋1＝16＋1212－1n＋1＜16＋14＝512.综上，原不等式成立．(12分)课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习【题后反思】探索性命题是近几年高考试题中经常出现的一种题型，此种问题未给出问题的结论，往往需要由特殊情况入手，归纳、猜想、探索出结论，然后再对探索出的结论进行证明，而证明往往用到数学归纳法．这类题型是高考的热点之一，它对培养创造性思维具有很好的训练作用．课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习【变式4】已知数列11×4，14×7，17×10，…，13n－23n＋1，…，计算S1，S2，S3，S4，根据计算结果，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法进行证明．解S1＝11×4＝14；S2＝14＋14×7＝27；S3＝27＋17×10＝310；S4＝310＋110×13＝413.可以看到，上面表示四个结果的分数中，分子与项数n一致，分母可用项数n表示为3n＋1.于是可以猜想Sn＝n3n＋1(n∈N*)．下面我们用数学归纳法证明这个猜想．课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习(1)当n＝1时，左边＝S1＝14，右边＝n3n＋1＝13×1＋1＝14，猜想成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时猜想成立，即11×4＋14×7＋17×10＋…＋13k－23k＋1＝k3k＋1，那么，11×4＋14×7＋17×10＋…＋13k－23k＋1课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习＋1[3k＋1－2][3k＋1＋1]＝k3k＋1＋13k＋13k＋4＝3k2＋4k＋13k＋13k＋4＝3k＋1k＋13k＋13k＋4＝k＋13k＋1＋1，所以，当n＝k＋1时猜想也成立．根据(1)和(2)，可知猜想对任何n∈N*都成立．课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习误区警示未使用归纳假设而出错【示例】用数学归纳法证明n2＋n＜n＋1(n∈N*)．[错解](1)n＝1时显然命题成立．(2)假设n＝k(k∈N*)时，有k2＋k＜k＋1，则当n＝k＋1