二次函数线段最值问题-3

二次函数线段最值问题———几何类“最短距离”经典问题汇总一、“两点之间线段最短”．【基本问题】在直线l上找一点P，使得其到直线异侧两点AB、的距离之和最小，如图所示．作点A（或B）关于直线l的对称点，再连接另一点与对称点，与l的交点即为P点．【变式1】直线12ll、交于O，P是两直线间的一点，在直线12ll、上分别找一点AB、，使得PAB的周长最短．如图所示，作P点关于12ll、的对称点12PP、，连接12PP，与12ll、分别交于AB、两点，即为所求．【变式2】直线12ll、交于O，AB、是两直线间的两点，从点A出发，先到1l上一点P，再从P点到2l上一点Q，再回到B点，求作PQ、两点，使APPQQB最小．如图所示，作AB、两点分别关于直线12ll、的对称点AB、′′，连接AB′′分别交12ll、于PQ、，即为所求．【变式3】从A点出发，先到直线l上的一点P，再在l上移动一段固定的距离PQ，再回到点B，求作P点使移动的距离最短，如图所示．先将A点向右平移到A′点，使AA′等于PQ的长，作点B关于l的对称点B′，连接AB′′，与直线l的交点即为Q点，将Q点向左平移线段PQ的长，即得到P点．【变式4】下面这个题与对称无关，但涉及到了平移的内容，与【变式4】的作法有点类似，因此放在这里，共享一下．AB、是位于河两岸的两个村庄，要在这条宽度为d的河上垂直建一座桥，使得从A村庄经过桥到B村庄所走的路程最短．如图所示，将点A向垂直于河岸的方向向下平移距离d，到A′点，连接AB′交河岸于Q点，过Q点作PQ垂直于河岸，交河岸的另一端为P，即为所求．【变式5】在直线l上找一点P，使得其到直线异侧两点AB、的距离之差的绝对值最大，如图所示．作点A（或B）关于直线l的对称点，再连接另一点与对称点，其延长线与l的交点即为P点．二、“垂线段最短”．AB≥AM+BNNBMA斜边大于直角边CBA垂线段最短例题探究：【探究1】如图，抛物线4212xxy与x轴的两个交点分别为A（－4，0）、B（2，0），与y轴交于点C，顶点为D．E（1，2）为线段BC的中点，BC的垂直平分线与x轴、y轴分别交于F、G．在直线EF上求一点H，使△CDH的周长最小，并求出最小周长；B'A'QPBAldA'BQPAA'BPAlOBAP2P1Pl2l1Ol1l2QPB'A'BACEDGAxyOBFPB'BAl【探究2】已知在平面直角坐标xOy系抛物线223yxx与x轴交于AB、两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C。若一个动点P自点C出发，先到达x轴上某点（设为点E），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F），最后运动到点C．求使点P运动的总路径最短的点E、点F的坐标，并求出这个最短总路径的长．已知在平面直角坐标xOy系抛物线223yxx与x轴交于AB、两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，在线段BC上是否存在一点P，使得B、C两点到直线AP的距离之和最大？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由。【探究3】已知在平面直角坐标xOy系抛物线223yxx与x轴交于AB、两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C。若一个动点P自OC的中点M出发，先到达x轴上某点（设为点E），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F），最后运动到点C．求使点P运动的总路径最短的点E、点F的坐标，并求出这个最短总路径的长．在平面直角坐标系xOy中，抛物线268yxx经过A（2，0）、B（4，0）两点，直线122yx交y轴于点C，且过点(8,)Dm．将抛物线268yxx左右平移，记平移后点A的对应点为'A，点B的对应点为'B，当四边形''ABDC的周长最小时，求抛物线的解析式及此时四边形''ABDC周长的最小值．【探究4】已知：抛物线223yxx与x轴交于AB、两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D.直线l过点C,且l∥x轴,E为l上一个动点，EF⊥x轴于F．求使DE+EF+BF的和为最小值的E、F两点的坐标，并直接写出DE+EF+BF的最小值.