复数的基本概念

一、复数的基本概念1、称为复数，记为zxyizC其中i称为虚单位满足：21i实数x和y称为实部和虚部，记为Re,Imxzyz1212,xxyy2、与相等111zxyi222zxyi当且仅当3、与称为共轭复数，xyixyiz记为和z121212zzxxyyi4、与可以进行111zxyi222zxyi加、减、乘、除等运算121122zzxyixyi112112xyixxyiyi12122112xxyyxyxyi121122//zzxyixyi11222222xyixyixyixyi121221122222xxyyxyxyixy从以上运算可看出复数的运算依然满足交换律，结合律，分配律等，且完全平方公式，平方差公式，立方差公式等也都成立。5、全体复数可用平面点集表示，即表示为平面直角坐标系中的坐标。zxyi对应坐标系中的坐标,xy所以复数也可看成向量（矢量），其加减运算服从平行四边形法则或三角形法则。性质：1212zzzz1212zzzzoxy实轴虚轴111zxyi222zxyi121212zzxxyyi12zz此时整个平面称为复平面或z平面。12?zz图中的红色箭头表示的复数。1212xxyyi12zz6、既然复数可看成向量（矢量），则必然有大小和方向。zxyi的大小(箭头长度)称为z的模,记为，显然rz22zxy性质：222zzzxyzxyi的方向由它与实轴的夹角确定。此夹角称为辐角，记为性质：tanyxrgAz介于之间的辐角称为主辐角，(,]记为：，显然有rgarg2Azzkargz辐角有无穷多个，所以定义：例如：arg30,rg32Akarg22,rg22244iAik22arg13,rg13233iAik则有cos,sinxryr于是复数就有三种表示法：zxyi指数形式表示法irezxyi7、设复数的辐角为，模为rcossinri三角形式表示法代数形式表示法例如：12cossin44ii42ie在进行复数的乘除运算时，使用指数形式会较为方便，设121122,iizrezre1212121212iiizzrererre1122111222iiizrerezrer于是有：11121222,zzzzzzzz1212rgrgrgAzzAzAz1212rg/rgrgAzzAzAz,nnzznZ8、复数的幂设z的n次方根正好有n个根。izrecossinri而则nninzrecossinnrnin2kinnnzre0,1,2,,1kn例如：2333882kiiee当2330,2213kiikeei当231,222kiikee当25332,2213kiikeei的n个根正好是内接于原点为圆心nz为半径的圆的正n边形的顶点坐标。nr0,1,2k9、平面曲线的复数方程如何将曲线一般方程改写为yfx复数方程?ztzxyi表示复平面上的所有点，但当x与y满足一定关系式时，则此时的就表示某曲线上的动点，于是zxyi,xtyft只要令，则ztfti就表示的复数方程。yfx例如：1zttiit的复数方程为yx的复数方程为2220xyaacossinzatiatitae或za2ztti的复数方程为2yxtR0,2t而圆心在的圆复数方程为000zxyi0zza或0itzaez二、复变函数1,1zfzz2,wfzz1、称为实(变)函数，xRyfx称为复变函数，zCwfz例如,zfze2、当代入时，可表示为zxyifz,,fzuxyvxyi22wfzzxyi例如222xyxyi22,,,2uxyxyvxyxyzxyiwfzeecossinxyixeeeyiy,cos,,sinxxuxyeyvxyey三、复变函数的连续性与极限2,wfzz等均为连续函数，1、的连续性与类似。fxfz例如,zfze11zfzz而则在处连续。1z间断点称为奇点。fzz211fzzz如的奇点为：0,zzi00limzzfzfz如2、的极限fz若f(z)连续，则3312lim1zizii也可以将代入求极限，此时000zxyi就与二元函数求极限类似。000limlimzzxxyyfzfxyi例如注意：20ReImlimzzzz此时的变化趋势是从任意方向无限接近。2200limxyxyxy000,zzxxyy令,ykx222222000limlimxxyxykxxyxkx21kk20ReImlimzzzz所以不存在00limxyxyixyi当0,x0limzzz所以不存在例证明0limzzz不存在证0limzzz000limlim1xyyxyiyixyiyi当0,y000limlim1xxyxyixxyix性质：求极限时等价无穷小与洛必达法则如均可使用。011lim22zzez0sinlim1zzz0coslim3sinzzzzzz201cos1lim2zzz性质：3、无穷远点,0,,0,aaaaaR对于，当时，则zRz练习4400,zaaaR3、解方程132iz1、，求,rgzAz121,32izzi2、，求1122,zzzz的指数表示形式。0limzzzzz4、证明不存在答案1,23zArgzk1、3、2、51121212212,2iizzzeez221,122aiai