复数的概念及运算

复数1．理解复数的基本概念．2．理解复数相等的充要条件．3．了解复数的代数表示法及其几何意义．4．会进行复数代数形式的四则运算．5．了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．知识点一复数的概念1.复数的概念形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的______和_____.若_____，则a＋bi为实数；若_____，则a＋bi为虚数；若__________，则a＋bi为纯虚数.2.复数相等：a＋bi＝c＋di⇔___________(a，b，c，d∈R).3.共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔______________(a，b，c，d∈R).实部虚部b＝0b≠0a＝0，b≠0a＝c，b＝da＝c，b＋d＝04.复数的模向量OZ→的长度叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝_______.5.复数的几何表示复数z＝a＋bi一一对应复平面内的点_______一一对应平面向量___.a2＋b2Z(a，b)OZ知识点二复数的运算1.复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝______________；②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝______________；③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝__________________；a＋c)＋(b＋d)i(a－c)＋(b－d)i(ac－bd)＋(ad＋bc)i④除法：z1z2＝a＋bic＋di＝（a＋bi）（c－di）（c＋di）（c－di）＝（ac＋bd）＋（bc－ad）ic2＋d2(c＋di≠0).(2)复数加法的运算律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1、z2、z3∈C，有：z1＋z2＝______，(z1＋z2)＋z3＝___________.z2＋z1z1＋(z2＋z3).2.复数的代数运算(1)复数代数形式的四则运算在新教材高考中，尽管难度不大，却是热点内容，我们必须熟练地掌握其运算法则.(2)对于复数的乘方，我们可以转化为复数的乘法来计算，也可以利用二项式定理来计算，注意二项式定理、乘法公式同样适用于复数.【名师助学】1.本部分知识可以归纳为：(1)一条规律：任意两个复数全是实数时能比较大小，其他情况不能比较大小.(2)四种运算：①加法；②减法；③乘法；④除法.(3)两条性质：①i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(各式中n∈N).②(1±i)2＝±2i，1＋i1－i＝i，1－i1＋i＝－i.2.对于复系数(系数不全为实数)的一元二次方程的求解，判别式不再成立.因此解此类方程的解，一般都是将实根代入方程，用复数相等的条件进行求解.3.利用复数相等a＋bi＝c＋di列方程时，注意a，b，c，d∈R的前提条件.1．(2014年重庆)实部为－2，虚部为1的复数所对应的点)B位于复平面的(A．第一象限C．第三象限B．第二象限D．第四象限2．(2013年浙江)已知i是虚数单位，则(2＋i)(3＋i)＝()CA．5－5iC．5＋5iB．7－5iD．7＋5i解析：(2＋i)(3＋i)＝6－1＋3i＋2i＝5＋5i.故选C.3．(2013年广东)若i(x＋yi)＝3＋4i，x，y∈R，则复数x＋yi的模是()A．2B．3C．4D．5D4．(2013年江西)复数z＝i(－2－i)(i为虚数单位)在复平面)D内所对应的点在(A．第一象限C．第三象限B．第二象限D．第四象限解析：复数z＝i(－2－i)＝1－2i，在复平面内所对应的点为(1，－2)，在第四象限．考点1复数的概念答案：D例1：(1)(2013年安徽)设i是虚数单位，若复数a－103－i(a∈R)是纯虚数，则a的值为()A．－3B．－1C．1D．3解析：复数a－103－i＝a－103＋i3－i3＋i＝a－3－i是纯虚数，则a－3＝0，a＝3.故选D.(2)(2013年新课标Ⅰ)若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为()答案：DA．－4B．－45C．4D.45解析：(3－4i)z＝|4＋3i|＝5，则z＝53－4i＝53＋4i3－4i3＋4i＝53＋4i25＝35＋45i，其虚部为45.－3解析：由题意，得3＋ii2＝－3－i，－3－i的实部为－3.【互动探究】1．(2014年湖南)复数3＋ii2(i为虚数单位)的实部等于________．考点2复数的模及几何意义例2：(1)(2013年四川)如图10-2-1，在复平面内，点A表)示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是(图10-2-1A．AB．BC．CD．D解析：z的共轭复数与z实部相等，虚部相反，所对应的点与z所对应的点关于x轴对称．故选B.答案：B答案：C(2)(2013年山东)复数z＝2－i2i(i为虚数单位)，则|z|＝()A．25B.41C．5D.5解析：z＝2－i2i＝3－4ii＝3－4iii2＝4＋3i－1＝－4－3i，则|z|＝－42＋－32＝5.C【互动探究】2．(2014年江西)若复数z满足z(1＋i)＝2i(i为虚数单位)，则|z|＝()A．1B．2C.2D.3解析：由题意，得z＝2i1＋i＝2i1－i1＋i1－i＝i(1－i)＝1＋i，则|z|＝12＋12＝2.考点3复数的四则运算答案：B例3：(1)(2013年新课标Ⅰ)1＋2i1－i2＝()A．－1－12iB．－1＋12iC．1＋12iD．1－12i解析：1＋2i1－i2＝1＋2i－2i＝－2＋i2＝－1＋12i.(2)(2014年广东)已知复数z满足(3－4i)z＝25，则z＝()A．－3－4iB．－3＋4iC．3－4iD．3＋4i答案：D解析：方法一：由题意，得z＝253－4i＝253＋4i3－4i3＋4i＝253＋4i25＝3＋4i.故选D.方法二：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则(3－4i)z＝(3－4i)(a＋bi)＝(3a＋4b)＋(3b－4a)i＝25，由复数相等，得3a＋4b＝25，3b－4a＝0.解得a＝3，b＝4.因此z＝3＋4i.【规律方法】复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i；z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i；z1z2＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i；z1z2＝ac＋bd＋bc－adic2＋d2(c2＋d2≠0)．复数的运算要做到细心准确．复数的除法是重中之重！＋i＝(【互动探究】3．(2015年广东江门一模)i是虚数单位，11＋i)A.1＋i2B.1－i2AC.1＋3i2D.－1－i2●易错、易混、易漏●⊙对复数概念理解不透彻致误例题：(1)(2012年广东韶关三模)若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为()A．－1C．1B．0D．－1或1答案：A正解：x2－1＝0，x－1≠0⇒x＝－1.故选A.答案：A正解：1－2＋i＝－2－i－22－i2＝－25－15i，虚部是－15.(2)(2012年广东东莞二模)复数1－2＋i的虚部是()A．－15B．－15iC.15D.15i