角谱

1第二章标量衍射理论ScalarDiffractionTheory§2.1数学公式§2.2平面屏幕衍射的基尔霍夫理论§2.3平面屏幕衍射的瑞利——索末菲理论§2.4平面波的角谱2§2.1数学公式一、光场的数学描述1、幅相矢量——光振动的复振幅第二章标量衍射理论U(P)=U0(P)exp[jj(P)]振幅初位相3单色光波场中某点P在t时刻的光振动的表达式为：令)t,P(u)P(j0tj2)P(j0)]P(t2[j00e)P(U)P(Uee)P(URee)P(URe)t,P(u)]P(t2[cos)P(Ut)u(P,jjjj复振幅4第二章§2.1数学公式一、光场的数学描述2、单色平面波的复振幅表示1)]coscoscos(exp[)kexp(),,(00zyxjkUjUzyxUr平面波方向余弦)coscoscos22--1)]coscos(exp[]cosexp[0yxjkjkzU),,(zyxU]coscos1exp[22jkz)]coscos(exp[]coscos1exp[),,(220yxjkjkzUzyxU0A52、单色平面波的复振幅表示2)]coscos(exp[]coscos1exp[),,(220yxjkjkzUzyxU]coscos1exp[2200jkzUA令：)]coscos(exp[),,(0yxjkAzyxU2)]coscos(2exp[0yxjA)](exp[),(vyux2jAyxU0写成二维形式第二章§2.1数学公式一、光场的数学描述6一维情况)](exp[),(vyux2jAyxU0]exp[)(ux2jAxU0二维情况2、单色平面波的复振幅表示3平面波的空间频率coscosvu与x方向对应与y方向对应end第二章§2.1数学公式一、光场的数学描述73、单色球面波的复振幅表示]exp[)(jkrrUPU0+发散球面波－会聚球面波222zyxr||点源在坐标原点点源不在坐标原点202020zzyyxxr)()()(||(x0，y0，z0)为点源坐标(P(x,y,z))0zyx点源S(rkk:传播矢量(P(x,y,z))会聚点S(r0zyxkend第二章§2.1数学公式一、光场的数学描述84、光场中任一平面上的复振幅表示11）单色平面波光场中某一平面的复振幅表示一维情况)](exp[),(vyux2jAyxU]exp[)(ux2jAxU二维情况其中)coscosexp(1220--1zkjUA0z1zxyxy)coscosexp(2200--1zkjUA第二章§2.1数学公式一、光场的数学描述94、光场中任一平面上的复振幅表示22）单色球面波光场中某一平面的复振幅表示z122yyxxz2kjjkzzUyxUPU)()(exp)exp(),()(001110对给定平面是常量随x,y变化的二次位相因子球面波特征位相第二章§2.1数学公式一、光场的数学描述10推导过程212020121202021212020121202021z)-yy)xx(zr1z)-yy)xx(]z)-yy)xx(1[z])yy()xx(z[r（（（二项式展开114、光场中任一平面上的复振幅表示3点源在坐标原点时x0=y0=z0=0)(exp)exp(),(111022yxz2kjjkzzUyxUCyyxx22)()(00等位相线方程会聚球面波情况z＜022yyxxz2kjzjkzUyxU)()(||exp|)|exp(||),(0011102）单色球面波光场中某一平面的复振幅表示（续）end第二章§2.1数学公式一、光场的数学描述12小结)](2exp[),(0vyuxjAyxU二维]2exp[)(0uxjAxU一维单色平面波单色球面波]exp[)(jkrrUPU0二、光场中某一平面的复振幅一、光波的数学描述单色平面波光场)](2exp[),(vyuxjAyxU二维]2exp[)(uxjAxU一维单色球面波光场20201110)()(2exp)exp(),(yyxxzkjjkzzUyxU22yyxxz2kjzjkzUyxU)()(||exp|)|exp(||),(001110发散汇聚U(P)=U0(P)exp[jj(P)]一般描述13第二章标量衍射理论§2.1数学公式二、亥姆霍兹方程Helmholtz自由空间单色波u（p，t）满足标量波动方程0utc1u2222将u(P)=U(P)exp(j2t)代入：2222222zyx0PUk22)()(2k波数在自由空间传播的任何单色光波的复振幅必满足亥姆霍兹方程可以用不含时间变量的复振幅分布完善地描述单色光波场意义：其中为拉普拉斯算符2Top1914§2.2平面屏幕衍射的基尔霍夫理论§2.3平面屏幕衍射的瑞利——索末菲理论自学15§2.4平面波角谱第二章标量衍射理论频域利用平面波的传播特征讨论光的传播利用平面波作为光传播的基元函数描述光的衍射规律衍射公式导出16平面波角谱的概念本节内容角谱在空间的传播衍射孔径对角谱的效应第二章标量衍射理论§2.4平面波角谱17平面波振幅),,(1zvuAz),,(1zyxUz)(2expvyuxjdudv§2.4平面波的角谱一、“平面波角谱”概念设：有一列单色光波沿z方向投射到（x，y，z1）平面上平面上光场复振幅可视为无穷多个平面波分量加权的叠加（2-50）xyzz1平面波位相傅里叶逆变换的数学表达式18),,(1zzyxU),,(1zzvuA是的频谱cos,cosvu平面波分量的空间频率dxdyyx2jzyxU1z)]coscos(exp[),,()],,(),cos,cos(1z1zzyxUzA[F),,(1zzyxU),cos,cos(1zzA称为的角谱§2.4平面波的角谱19二、角谱的传播x0y00xyzU0(x0,y0,0)Uz(x,y,z)傅里叶分解平面波分量传播傅里叶叠加U0A0F.T.Az角谱传播UzF.T.-1§2.4平面波的角谱???200000000dydxyx2j0yxU)]coscos(exp[),,()]0,,()0,cos,cos(0000yxUA[F)cos()cos()]coscos(exp[),cos,cos(ddyx2jzAz)],cos,cos(),,(zAzyxUz1z[FAzUzF.T.-1U0A0F.T.§2.4平面波的角谱数学表述21Uz满足亥姆霍兹方程：0zyxUkz22),,()()cos()cos()]coscos(exp[),,(ddyx2jzvuAzcoscos})](2exp[{22ddjAUzzz22AzA0Az角谱传播)](exp[)(2jyx2222计算可大大简化§2.4平面波的角谱数学推导Re:p1122结果：0zvuA1kzvuAdzdz222z22),,(]coscos[),,(解方程（2-54），得一基本解：]coscosexp[),,(),,(220z1jkz0vuAzvuA一个特解，与z无关意味着角谱的振幅与距离无关数学推导§2.4平面波的角谱23]coscos1exp[)0,,(),,(220jkzvuAzvuAz§2.4平面波的角谱物理意义1角谱在传播过程中仅发生了位相的改变，而振幅不变空间频率越大的分量，位相延迟越小，频率大的分量先到达，频率小的分量后到达（1）cos2α+cos2β1的分量，根号内的值大于024数学推导02π4π6π8π10πz02π8π10π6π4π（cosα，cosβ）（0，0）§2.4平面波的角谱λλ空间频率大的分量先到达空间频率小的分量后到达25物理意义2122coscos（2）的分量，根号内的值等于0]coscosexp[),,(),,(220z1jkz0vuAzvuA),,(),,(0vuAzvuA0z表示垂直于z轴的平面波分量，对角谱传递无贡献22coscos（3）1的分量，根号内的值小于0]coscosexp[),,(),,(1kz0vuAzvuA220z表示这些分量的振幅在z方向按负指数规律迅速衰减，这些分量称为倏逝波实数shu26]coscos1exp[)0,,(),,(220jkzvuAzvuAz（2-55）传递函数概念改写为：),(),,(),,(vuH0vuAzvuA0z其中]coscosexp[),(221jkzvuH传递函数),(vuH]coscosexp[221jkz22coscos11022coscos=1122coscos表征光的传播在频域中的特性§2.4平面波的角谱27传递函数的性质1）|H（u，v）|=1表示角谱的传播过程不影响频谱的振幅只影响频谱的位相2）倏逝波意味着频域中：频率大于1/λ的信息无法向z方向传递22coscos1u2+v22λ1光波在自由空间传播时，携带信息的能力有限结论§2.4平面波的角谱28cos1关于倏逝波空间频率很高的物体例如超大规模集成电路板线宽度d≈200nm左右考虑一维情况当λ≈600nm时显然:dλcos1u=λ1d1在自由空间无法向z方向传递不能得到几何像客观存在解决办法1）取较短波长的光波照明2）用矢量理论解决1cosu可能吗？29三、衍射孔径对角谱的影响研究存在衍射孔时，频谱的传播有何特点？Σ后的光场衍射孔Σ的透过率函数t（x,y）=10Σ内Σ外Ut（x,y）=Ui（x,y）·t（x,y）AtAiF.T.F.T.F.T.=*（2-58）T§2.4平面波的角谱（x,y）UiUtΣtz无穷大不透明屏幕30讨论孔径无限大T=δAtAi=孔径很小时T展宽At也展宽Ui（x,y）=1Ai=δAt=δ*T=TAtAi=*T结论1）孔径被平面波照明时，孔径后光场是孔径的傅里叶变换2）孔径使角谱展宽，增加了高频分量——衍射波§2.4平面波的角谱t=1特例孔径由单位振幅平面波垂直照明孔径的影响是：使角谱展宽31例题已知：单位振幅平面波垂直照明一个宽度为a的狭缝求：孔径后光场的角谱解：1）写出孔径的透过率函数2）由照明情况，得到At=δ*T=T3）孔径后光场的角谱等于孔径的傅里叶变换At=T=ℱ[t（x，y）]axyxtrect),(cossincaa32习题二2.3已知：波长为λ的单位振幅平面波垂直照明孔径求：紧贴孔径后光场的角谱1、半径为1的圆孔2、宽度为a的单缝3、长、宽分别为a，b的矩孔4、直径为1的不透明圆屏5、宽度为a，间隔为d的双狭缝33Thankyou