数学文化之海伦—秦九韶公式

海伦—秦九韶公式如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，2cbap那么三角形的面积))()((cpbpappS①古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年），在数学史上以解决几何测量问题而闻名.在他的著作《度量》一书中，给出了公式①和它的证明，这一公式称为海伦公式.我国南宋时期数学家秦九韶（约1202—约1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式])2([41222222cbabaS.②下面我们对公式②进行变形：])2([41222222cbaba=22222)4(21cbaab）（=)421)(421(222222cbaabcbaab=4242222222cbaabcbaab=4)(42222baccba）（=2222acbbcacbacba=.))()((cpbpapp这说明海伦公式与秦九韶实质上是同一个公式，所以我们也称①为海伦—秦九韶公式.证明过程①海伦公式的证明证明：如图，在△ABC中，过A作高AD交BC于D,设BD=x，那么DC=a-x,由于AD是△ABD、△ACD的公共边，则h2=c2-x2=b2-（a-x）2，解出x得x=222c-b+a2a，于是h=2222c-b+ac-2a2（），S△ABC的面积=1ah2=12a·2222c-b+ac-2a2（），即S=1222222c+a-bca-22（），令p=12（a+b+c），对被开方数分解因式，并整理得到S=.))()((cpbpapp得证.②由海伦公式推导秦九韶公式秦九韶公式：])2([41222222cbabaS.推导过程:))()((cpbpapp.=)22(2)22(22161cppbpap）（=))()((161cbacbabacbac）（=])][()([1612222cbabac=]4)()(2)(44[41222222222ccbababa=])2([41222222cbaba.故))()((cpbpapp=])2([41222222cbaba.