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第一章集合与常用逻辑用语单元检测(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中()．A．真命题与假命题的个数相同B．真命题的个数一定是奇数C．真命题的个数一定是偶数D．真命题的个数可能是奇数，也可能是偶数2．已知集合M＝{0,1,2}，N＝{x|x＝2a，a∈M}，则集合M∩N等于()．A．{0}B．{0,1}C．{1,2}D．{0,2}3．(2011福建高考，理2)若a∈R，则“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的()．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件4．命题“存在x∈R，x2－3x＋4＞0”的否定是()．A．存在x∈R，x2－3x＋4＜0B．任意的x∈R，x2－3x＋4＞0C．任意的x∈R，x2－3x＋4≥0D．任意的x∈R，x2－3x＋4≤05．集合P＝{a|a＝(－1,1)＋m(1,2)，m∈R}，Q＝{b|b＝(1，－2)＋n(2,3)，n∈R}是两个向量集合，则P∩Q＝()．A．{(1，－2)}B．{(－13，－23)}C．{(1,2)}D．{(－23，－13)}6．对任意两个集合M，N，定义：M－N＝{x|x∈M且x∉N}，M△N＝(M－N)∪(N－M)，设M＝x|x－31－x0，N＝{x|y＝2－x}，则M△N＝()．A．{x|x＞3}B．{x|1≤x≤2}C．{x|1≤x＜2，或x＞3}D．{x|1≤x≤2，或x＞3}7．已知全集U为实数集R，集合M＝x|x＋3x－10，N＝{x||x|≤1}，则下图阴影部分表示的集合是()．A．[－1,1]B．(－3,1]C．(－∞，－3)∪[－1，＋∞)D．(－3，－1)8．下列判断正确的是()．A．命题“负数的平方是正数”不是全称命题B．命题“任意的x∈N，x3＞x2”的否定是“存在x∈N，x3＜x2”C．“a＝1”是“函数f(x)＝cos2ax－sin2ax的最小正周期是π”的必要不充分条件D．“b＝0”是“函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数”的充要条件9．(2011陕西高考，文8)设集合M＝{y|y＝|cos2x－sin2x|，x∈R}，N＝x|xi1，i为虚数单位，x∈R，则M∩N为()．A．(0,1)B．(0,1]C．[0,1)D．[0,1]10．设命题p：函数y＝lg(x2＋2x－c)的定义域为R，命题q：函数y＝lg(x2＋2x－c)的值域为R，若命题p，q有且仅有一个为真，则c的取值范围为()．A．B．(－∞，－1)C．[－1，＋∞)D．R二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11．设集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{2,4}，B＝{3,4,5}，C＝{3,4}，则(A∪B)∩(∁UC)＝__________.12．(2011浙江温州模拟)已知条件p：a＜0，条件q：a2＞a，则p是q的__________条件．(填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要)13．若命题“存在x∈R，x2－ax－a＜0”为假命题，则实数a的取值范围为__________．14．给出下列命题：①原命题为真，它的否命题为假；②原命题为真，它的逆命题不一定为真；③一个命题的逆命题为真，它的否命题一定为真；④一个命题的逆否命题为真，它的否命题一定为真；⑤“若m＞1，则mx2－2(m＋1)x＋m＋3＞0的解集为R”的逆命题．其中真命题是__________．(把你认为是正确命题的序号都填在横线上)15．已知命题p：不等式xx－1＜0的解集为{x|0＜x＜1}；命题q：在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”成立的必要不充分条件．有下列四个结论：①p真q假；②“p且q”为真；③“p或q”为真；④p假q真，其中正确结论的序号是__________．(请把正确结论的序号都填上)三、解答题(本大题共6小题，共75分)16．(12分)(1)设全集I是实数集，则M＝{x|x＋3≤0}，N＝212{|22}xxx＋＝，求(∁IM)∩N.(2)已知全集U＝R，集合A＝{x|(x＋1)(x－1)＞0}，B＝{x|－1≤x＜0}，求A∪(∁UB)．17．(12分)已知p：－2≤1－x－13≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0(m＞0)．若“非p”是“非q”的充分而不必要条件，求实数m的取值范围．18．(12分)已知ab≠0，求证：a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.19．(12分)(2011福建四地六校联合考试)已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈R}，B＝{x|x2－2mx＋m2－4≤0，x∈R，m∈R}．(1)若A∩B＝[0,3]，求实数m的值；(2)若A⊆∁RB，求实数m的取值范围．20．(13分)已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，对命题“若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)”．(1)写出逆命题，判断其真假，并证明你的结论；(2)写出其逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．21．(14分)已知三个不等式：①|2x－4|＜5－x；②x＋2x2－3x＋2≥1；③2x2＋mx－1＜0.若同时满足①和②的x值也满足③，求m的取值范围．参考答案一、选择题1．C解析：在原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，互为逆否的命题是成对出现的，故真命题的个数和假命题的个数都是偶数．2．D解析：集合N＝{0,2,4}，所以M∩N＝{0,2}．3．A解析：由(a－1)(a－2)＝0，得a＝1或a＝2，所以a＝2⇒(a－1)(a－2)＝0.而由(a－1)(a－2)＝0不一定推出a＝2，故a＝2是(a－1)(a－2)＝0的充分而不必要条件．4．D解析：含有存在量词的命题的否定，先把“存在”改为“任意的”，再把结论否定．5．B解析：a＝(m－1,2m＋1)，b＝(2n＋1，3n－2)，令a＝b，得m－1＝2n＋1，2m＋1＝3n－2，解得m＝－12，n＝－7.此时a＝b＝(－13，－23)，故选B.6．D解析：∵M＝{x|x＞3或x＜1}，N＝{x|x≤2}，∴M－N＝{x|x＞3}，N－M＝{x|1≤x≤2}，∴M△N＝{x|1≤x≤2，或x＞3}．7．D解析：∵M＝x|x＋3x－10＝{x|－3＜x＜1}，N＝{x||x|≤1}＝{x|－1≤x≤1}，∴阴影部分表示的集合为M∩(∁UN)＝{x|－3＜x＜－1}，故选D.8．D解析：依据各种命题的定义，可以判断A，B，C全为假，由b＝0，可以判断f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数，反之亦成立．9．C解析：∵y＝22|cossin|xx－＝|cos2x|，x∈R，∴y∈[0,1]，∴M＝[0,1]．∵xi＜1，∴|x|＜1.∴－1＜x＜1.∴N＝(－1,1)．∴M∩N＝[0,1)．10．D解析：本题考查根据命题的真假求参数的取值范围．若函数y＝lg(x2＋2x－c)的定义域为R，则不等式x2＋2x－c＞0对任意x∈R恒成立，则有Δ＝4＋4c＜0，解得c＜－1；若函数y＝lg(x2＋2x－c)的值域为R，则g(x)＝x2＋2x－c应该能够取到所有的正实数，因此Δ＝4＋4c≥0，解得c≥－1.当p为真，q为假时，有c＜－1；当p为假，q为真时，有c≥－1.综上，当命题p，q有且仅有一个为真时，c的取值范围为R.故选D.二、填空题11．{2,5}解析：∵A∪B＝{2,3,4,5}，∁UC＝{1,2,5}，∴(A∪B)∩(∁UC)＝{2,5}．12．必要不充分解析：p为：a≥0，q为a2≤a，a2≤a⇔a(a－1)≤0⇔0≤a≤1，∴pq，而q⇒p，∴p是q的必要不充分条件．13．[－4,0]解析：∵“存在x∈R，x2－ax－a＜0”为假命题，则“对任意的x∈R，x2－ax－a≥0”为真命题，∴Δ＝a2＋4a≤0，解得－4≤a≤0.14．②③⑤解析：原命题为真，而它的逆命题、否命题不一定为真，互为逆否命题同真同假，故①④错误，②③正确，又因为不等式mx2－2(m＋1)x＋m＋3＞0的解集为R，由m0，Δ＝4(m＋1)2－4m(m＋3)0⇒m0，m1⇒m＞1.故⑤正确．15．①③解析：解不等式知，命题p是真命题，在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要条件，所以命题q是假命题，∴①正确，②错误，③正确，④错误．三、解答题16．解：(1)M＝{x|x＋3＝0}＝{－3}，N＝{x|x2＝x＋12}＝{－3,4}，∴(∁IM)∩N＝{4}．(2)∵A＝{x|x＜－1，或x＞1}，B＝{x|－1≤x＜0}，∴∁UB＝{x|x＜－1，或x≥0}．∴A∪(∁UB)＝{x|x＜－1，或x≥0}．17．解：由p：－2≤1－x－13≤2，解得－2≤x≤10，∴“非p”：A＝{x|x＞10，或x＜－2}．由q：x2－2x＋1－m2≤0，解得1－m≤x≤1＋m(m＞0)．∴“非q”：B＝{x|x＞1＋m或x＜1－m，m＞0}，由“非p”是“非q”的充分不必要条件得AB.∴m0，1－m≥－2，1＋m≤10，解得0＜m≤3.∴满足条件的m的取值范围为{m|0＜m≤3}．18．证明：必要性：∵a＋b＝1，即b＝1－a，∴a3＋b3＋ab－a2－b2＝a3＋(1－a)3＋a(1－a)－a2－(1－a)2＝0，必要性得证．充分性：∵a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，∴(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝0，∴(a2－ab＋b2)(a＋b－1)＝0.又ab≠0，即a≠0且b≠0，∴a2－ab＋b2＝22ba＋3b24≠0，∴a＋b＝1，充分性得证．综上可知，a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.19．解：由已知得：A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|m－2≤x≤m＋2}．(1)∵A∩B＝[0,3]，∴m－2＝0，m＋2≥3，∴m＝2，m≥1.∴m＝2，即实数m的值为2.(2)∁RB＝{x|x＜m－2，或x＞m＋2}．∵A⊆∁RB，∴m－2＞3或m＋2＜－1.∴m＞5或m＜－3.∴实数m的取值范围是(－∞，－3)∪(5，＋∞)．20．解：(1)逆命题是：若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0，为真命题．用反证法证明：假设a＋b＜0，则a＜－b，b＜－a.∵f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，则f(a)＜f(－b)，f(b)＜f(－a)，∴f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)，这与题设相矛盾，∴逆命题为真．(2)逆否命题：若f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)，则a＋b＜0，为真命题．∵原命题⇔它的逆否命题，∴证明原命题为真命题即可．∵a＋b≥0，∴a≥－b，b≥－a.又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)，∴f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．∴逆否命题为真．21．解：设不等式|2x－4|＜5－x，x＋2x2－3x＋2≥1，2x2＋mx－1＜0的解集分别为A，B，C，则由|2x－4|＜5－x得，当x≥2时，不等式化为2x－4＜5－x，得x＜3，所以有2≤x＜3.当x＜2时，不等式化为4－2x＜5－x，得x＞－1，所以有－1＜x＜2，故A＝(－1,3)．x＋2x2－3x＋2≥1⇔x＋2x2－3x＋2－1≥0⇔－x2＋4xx2－3x＋2≥0⇔x(x－4)(x－1)(x－2)≤0⇔0≤x＜1或2＜x≤4，即B＝[0,1)∪(2,4]．若同时满足①②的x值也满足③，则有A∩B⊆C.设f(x)＝2x2＋mx－1，则由于A∩B＝[0,1)∪(2,3)，故结合二次函数的图像，得f(0)0，f(3)≤0⇒－10，18＋3m－1≤0⇒m≤－173.