5.1任意角及其度量

5.1任意角及其度量（1）AnyAngleandItsMeasures（1）预习什么是角？（初中、高中）角是怎么形成的？本节有哪些概念一、任意角的概念角可以看作是在平面内由一条射线绕着其端点旋转所形成的图形。1、角是运动形成的。2、旋转量、旋转方向3、始边、终边、顶点角的分类：正角、负角、零角按旋转方向分类的例手表的指针、皮带传动、齿轮传动二、象限角在直角坐标系中将角的顶点置于坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边落在第几象限，这个角就叫做第几象限角例1：判断各角落在第几象限？（1）-200度（2）2000度角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限，而是轴线角。（为了今后的三角比定义）本书中提到的角，若不特别声明，都是指角的顶点与原点重合，角的始边与xx轴正半轴重合三、终边相同角所有和角α有重合终边的角（包括自身）的集合{β|β=k×360o+α，k∈Z}例2：终边与2430o相同的，且落在-360o~720o之间的角共有几个，他们分别是什么？为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“∠α”可简记为“α”练习1.A={θ|θ为锐角}，B={θ|θ为第一象限角}C={θ|θ为小于90o}D={θ|θ为第一象限的正角}请写出这些集合之间的关系2.（1）钟表走了3小时20分，则分针所转过的度数为多少？时针转过的度数为多少？（2）3点20，分针和时针形成的夹角是多少(较小的那个)？3.Page31练习5.1（1）回家作业(共5题)1、选择题（1）下列各组的两个角中，终边不相同的一组是（）（A）43与677（B）900与1260（C）120与960（D）150与630（2）如果是锐角，那么是2是（）（A）第一象限角（B）第二象限角（C）小于180的正角（D）不小于直角的正角（3）在平面直角坐标系中，下列结论正确的是（）（A）小于2的角一定是锐角（B）第二象限的角一定是钝角（C）始边相同且相等的角的终边一定相同（D）始边相同，终边也相同的角一定相等2、找出与下列各角终边重合的角0360，并判断下列各角是第几象限角：（1）1441（2）17903、写出与下列各角终边相同的角的集合S，并写出S中适合不等式360720的元素：（1）60（2）214、（1）写出终边与0重合的角的集合A；（2）写出终边与x负半轴重合的角的集合B（3）写出终边与y轴重合的角的集合C；（4）写出终边落在坐标轴上的角的集合D（5）写出第一象限角的集合E5、是终边和120相同的角，求[0,360)内终边与2的终边相同的角。思考题在下午1点与2点之间，时钟的时针与分针第一次成直角的时刻是一点多少分？（小学奥数题如果用高中的角的观点来理解，有其共性的解法）小结任意角的概念角的分类象限角的概念终边相同角的集合表示5.1任意角及其度量（2）AnyAngleandItsMeasures（2）预习如果现在手头没有量角器，你能不能设想用其它的办法得知一个角的大小？可以用除量角器以外的一切材料和工具。什么是弧度制？其定义是什么？角度制和弧度制如何转换弧度制有哪些简单应用将圆周角分成360等分，每一份叫做1度的角，记作10。这种用“度”作为单位来度量角的单位制叫做角度制（degreemeasure）。角度制（degreemeasure）角的度数与（x轴上的）实数的区别：角的度数是一个有单位的量，而实数是没有单位的解决办法：将角的度数转化为实数即构造角的集合与实数集之间的一一对应如果现在手头没有量角器，你能不能设想用其它的办法得知一个角的大小？可以用除量角器以外的一切材料和工具。如何构造角的集合与实数集之间的一一对应这里的正负由它的终边旋转方向决定，零角的弧度数为零。即一般地，如果一个半径为r的圆的圆心角所对的弧长为，那么比值就是角的弧度数llrlr的绝对值，把弧长等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度（radian）的角。用符号rad表示，读作弧度。弧度制（radianmeasure）一、弧度制的定义和转换角度制1度弧度制1弧度角度制和弧度制互换1o=弧度1弧度=oπ弧度=180o练一练：2.3弧度a弧度n度：30度，45度，60度，90度，180度，270度，360度在同一问题中弧度角度不可混用弧度制的作用在弧度制下，角的集合与实数集之间建立起了一一对应的关系。在用弧度制表示角的大小时，通常省略“弧度”二字。正角零角负角正实数零负实数二、弧度制的应用202,,11(1)(2)(3)22rlSlrSrSlr设扇形的圆心角为半径为弧长为，面积为求证：三、终边相同角的表示（弧度制）例题：终边落在y轴上的角的集合练习写出终边落在x轴上的角的集合写出终边落在坐标轴上的角的集合写出锐角组成的集合，写出钝角组成的集合写出终边落在第一象限的角的集合角度制弧度制度量单位度量进制六十进制十进制度量结果与实数的性质不同本质上就是一个实数单位换算将圆周角分成360等分，每一份叫做1度的角，记作10。把弧长等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角。记作1rad。0180小结：角度制与弧度制的比较回家作业（共8题）1、如果角的终边落在区间53,2内，那么角所在的象限是（）（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限2、把下列各角化成202,kkZ的形式（1）503（2）503（3）108（4）2253、已知扇形的弧长为53，半径为2，求扇形的面积S及圆心角4、（1）写出终边落在x轴与y轴的夹角平分线上的角的集合（分别用角度制和弧度制表示）（2）第二象限角的集合（用弧度制表示）（3）终边落在坐标轴上的角的集合（用弧度制表示）5、（1）一条长度等于半径的弦所对的圆心角是____________弧度.（2）长度分别等于半径的2倍的弦所对的圆心角是__________弧度.（3）长度分别等于半径的3倍的弦所对的圆心角是__________弧度.6、已知集合|22,AkkkZ，集合4,2B，则AB=___________________________7、设是第一象限的角的集合，问2在第____________象限.8、若角终边与角的终边关于x轴对称，则与的关系是_______________5.1任意角及其度量（2）练习课例1在第几象限的角是第三象限的角，问若2小结此类题的结论在第几象限的角是第三象限的角，问思考题：若3例2在与1024o角终边相同的角中，（1）绝对值最小的角（2）最小的正角在与1024角终边相同的角中，（1）绝对值最小的角（2）最小的正角例3（1）若角α的终边与5π/6的终边关于y轴对称，则α的一个可能值（2）若角α和角β的终边关于原点对称，则α，β满足什么关系Zkkk,2326|Zkkk,36|xyo例4在平面直角坐标系中，（1）用阴影部分表示下列集合（2）用集合表示下列阴影部分的角例5(1)已知扇形的圆心角为2π/3，半径为5，求扇形的弧长l及面积S(2)已知一个扇形的周长为20cm，求它的面积最大值，并求出面积达到最大值时，扇形的半径的长和圆心角的弧度数回家作业（共8题）1、若是第四象限角，则2是第____________象限角2、5弧度是第____________象限角3、为第一象限角，则是第__________象限角；是第__________象限角；是第__________象限角；2是第__________象限角；2是第__________象限角；4、在平面直角坐标系中，用阴影部分表示集合A：|3036060360,kkkZ用阴影部分表示集合B：3|,24kkkZ5、已知一个直径为30cm的轮子，每秒旋转25弧度，求轮周上一点在半分钟内所转过的弧长和周数（精确到0.1周）6、已知圆O上的一段圆弧长等于该圆的内接正方形的边长，求这段圆弧所对的圆心角的弧度数7、若一扇形的面积为25，求其扇形的周长的最小值，并求出周长最小时，扇形的半径r和圆心角的弧度数8、已知圆O的圆心在原点，与x轴正半轴的交点为A，一质点从圆周上点A的位置开始，移逆时针方向做匀速圆周运动，已知质点每分钟转过的角度为（为钝角），2分钟后处在第三象限，经过18分钟后达到原来的位置A，求反思与提高：什么是角？角可以分为几类?什么是象限角？如何表示终边相同的角？如何表示某一象限角？如何表示某一坐标轴上角？什么是角度制？什么是弧度制？角、弧度制之间如何换算？弧度制在解决问题过程中有哪些优点？什么是弧长公式与扇形面积公式？写出终边在第一、三象限角平分线上和终边在第二、四象限角平分线上的角的集合（合并成一种形式）．查资料了解关于三角学的简史。