高等数学(下)知识点总结

高等数学（下）知识点第1页共11页主要公式总结第八章空间解析几何与向量代数1、二次曲面1）椭圆锥面：22222zbyax2）椭球面：1222222czbyax旋转椭球面：1222222czayax3）单叶双曲面：1222222czbyax双叶双曲面：1222222czbyax4）椭圆抛物面：zbyax2222双曲抛物面（马鞍面）：zbyax22225）椭圆柱面：12222byax双曲柱面：12222byax6）抛物柱面：ayx2（二）平面及其方程1、点法式方程：0)()()(000zzCyyBxxA法向量：),,(CBAn，过点),,(000zyx2、一般式方程：0DCzByAx截距式方程：1czbyax3、两平面的夹角：),,(1111CBAn，),,(2222CBAn，222222212121212121cosCBACBACCBBAA210212121CCBBAA；21//212121CCBBAA4、点),,(0000zyxP到平面0DCzByAx的距离：222000CBADCzByAxd高等数学（下）知识点第2页共11页（三）空间直线及其方程1、一般式方程：0022221111DzCyBxADzCyBxA2、对称式（点向式）方程：pzznyymxx000方向向量：),,(pnms，过点),,(000zyx3、两直线的夹角：),,(1111pnms，),,(2222pnms，222222212121212121cospnmpnmppnnmm21LL0212121ppnnmm；21//LL212121ppnnmm4、直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角，222222sinpnmCBACpBnAm//L0CpBnAm；LpCnBmA第九章多元函数微分法及其应用1、连续：),(),(lim00),(),(00yxfyxfyxyx2、偏导数：xyxfyxxfyxfxx),(),(lim),(0000000；yyxfyyxfyxfyy),(),(lim),(00000003、方向导数：coscosyfxflf其中,为l的方向角。4、梯度：),(yxfz，则jyxfiyxfyxgradfyx),(),(),(000000。5、全微分：设),(yxfz，则dddzzzxyxy（一）性质1、函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系：高等数学（下）知识点第3页共11页2、微分法1）复合函数求导：链式法则若(,),(,),(,)zfuvuuxyvvxy，则zzuzvxuxvx，zzuzvyuyvy（二）应用1）求函数),(yxfz的极值解方程组00yxff求出所有驻点，对于每一个驻点),(00yx，令),(00yxfAxx，),(00yxfBxy，),(00yxfCyy，①若02BAC，0A，函数有极小值，若02BAC，0A，函数有极大值；②若02BAC，函数没有极值；③若02BAC，不定。2、几何应用1）曲线的切线与法平面曲线)()()(:tzztyytxx，则上一点),,(000zyxM（对应参数为0t）处的切线方程为：)()()(000000tzzztyyytxxx法平面方程为：0))(())(())((000000zztzyytyxxtx偏导数存在函数可微函数连续偏导数连续充分条件必要条件定义12234高等数学（下）知识点第4页共11页2）曲面的切平面与法线曲面0),,(:zyxF，则上一点),,(000zyxM处的切平面方程为：0))(,,())(,,())(,,(000000000000zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx法线方程为：),,(),,(),,(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx第十章重积分（一）二重积分：几何意义：曲顶柱体的体积1、定义：nkkkkDfyxf10),(limd),(2、计算：1）直角坐标bxaxyxyxD)()(),(21，21()()(,)ddd(,)dbxaxDfxyxyxfxyydycyxyyxD)()(),(21，21()()(,)ddd(,)ddycyDfxyxyyfxyx2）极坐标)()(),(21D，21()()(,)dd(cos,sin)dDfxyxydf（二）三重积分1、定义：nkkkkkvfvzyxf10),,(limd),,(2、计算：1）直角坐标Dyxzyxzzzyxfyxvzyxf),(),(21d),,(ddd),,(-------------“先一后二”ZDbayxzyxfzvzyxfdd),,(dd),,(-------------“先二后一”2）柱面坐标zzyxsincos，(,,)d(cos,sin,)dddfxyzvfzz高等数学（下）知识点第5页共11页3）球面坐标cossinsincossinrzryrx2(,,)d(sincos,sinsin,cos)sindddfxyzvfrrrrr（三）应用曲面DyxyxfzS),(,),(:的面积：yxyzxzADdd)()(122第十一章曲线积分与曲面积分（一）对弧长的曲线积分1、定义：01(,)dlim(,)niiiLifxysfs2、计算：设),(yxf在曲线弧L上有定义且连续，L的参数方程为)(),(),(ttytx，其中)(),(tt在],[上具有一阶连续导数，且0)()(22tt，则22(,)d[(),()]()()d,()Lfxysfttttt（二）对坐标的曲线积分1、定义：设L为xoy面内从A到B的一条有向光滑弧，函数),(yxP，),(yxQ在L上有界，定义nkkkkLxPxyxP10),(limd),(，nkkkkLyQyyxQ10),(limd),(.向量形式：LLyyxQxyxPrFd),(d),(d2、计算：设),(,),(yxQyxP在有向光滑弧L上有定义且连续,L的参数方程为):(),(),(ttytx，其中)(),(tt在],[上具有一阶连续导数，且0)()(22tt，则(,)d(,)d{[(),()]()[(),()]()}dLPxyxQxyyPtttQtttt高等数学（下）知识点第6页共11页3、两类曲线积分之间的关系：设平面有向曲线弧为)()(tytxL：，L上点),(yx处的切向量的方向角为：,，)()()(cos22ttt，)()()(cos22ttt，则dd(coscos)dLLPxQyPQs.（三）格林公式1、格林公式：设区域D是由分段光滑正向曲线L围成，函数),(,),(yxQyxP在D上具有连续一阶偏导数,则有LDyQxPyxyPxQdddd2、G为一个单连通区域，函数),(,),(yxQyxP在G上具有连续一阶偏导数，则yPxQ曲线积分ddLPxQy在G内与路径无关（四）对面积的曲面积分1、定义：设为光滑曲面，函数),,(zyxf是定义在上的一个有界函数，定义iiiiniSfSzyxf),,(limd),,(102、计算：———“一单二投三代入”),(:yxzz，xyDyx),(，则yxyxzyxzyxzyxfSzyxfyxDyxdd),(),(1)],(,,[d),,(22（五）对坐标的曲面积分1、定义：设为有向光滑曲面，函数),,(),,,(),,,(zyxRzyxQzyxP是定义在上的有界函数，定义01(,,)ddlim(,,)()niiiixyiRxyzxyRS同理，01(,,)ddlim(,,)()niiiiyziPxyzyzPS；01(,,)ddlim(,,)()niiiizxiQxyzzxRS高等数学（下）知识点第7页共11页2、性质：1）21，则12ddddddddddddddddddPyzQzxRxyPyzQzxRxyPyzQzxRxy计算：——“一投二代三定号”),(:yxzz，xyDyx),(，),(yxzz在xyD上具有一阶连续偏导数，),,(zyxR在上连续，则(,,)dd[,,(,)]ddxyDRxyzxyRxyzxyxy,为上侧取“+”，为下侧取“-”.3、两类曲面积分之间的关系：SRQPyxRxzQzyPdcoscoscosdddddd其中,,为有向曲面在点),,(zyx处的法向量的方向角。（六）高斯公式1、高斯公式：设空间闭区域由分片光滑的闭曲面所围成,的方向取外侧,函数,,PQR在上有连续的一阶偏导数,则有yxRxzQzyPzyxzRyQxPddddddddd或SRQPzyxzRyQxPdcoscoscosddd2、通量与散度通量：向量场),,(RQPA通过曲面指定侧的通量为：yxRxzQzyPdddddd散度：zRyQxPAdiv（七）斯托克斯公式1、斯托克斯公式：设光滑曲面的边界是分段光滑曲线,的侧与的正向符合右手法则,),,(),,,(),,,(zyxRzyxQzyxP在包含在内的一个空间域内具有连续一阶偏导数,则有zRyQxPyxyPxQxzxRzPzyzQyRddddddddd为便于记忆,斯托克斯公式还可写作:zRyQxPRQPzyxyxxzzyddddddddd高等数学（下）知识点第8页共11页2、环流量与旋度环流量：向量场),,(RQPA沿着有向闭曲线的环流量为zRyQxPddd旋度：yPxQxRzPzQyRArot,,第十二章无穷级数（一）常数项级数1、定义：1）无穷级数：nnnuuuuu3211部分和：nnkknuuuuuS3211，正项级数：1nnu，0nu交错级数：1)1(nnnu，0nu2）级数收敛：若SSnnlim存在，则称级数1nnu收敛，否则称级数1nnu发散3）条件收敛：1nnu收敛，而1nnu发散；绝对收敛：1nnu收敛。2、性质：1）改变有限项不影响级数的收敛性；2）级数1nna，1nn