函数的对称性

-1-函数的对称性一、有关对称性的常用结论1、轴对称(1))(xf=)(xf函数)(xfy图象关于y轴对称；(2)函数)(xfy图象关于ax对称)()(xafxaf()(2)fxfax()(2)fxfax；（3）若函数)(xfy定义域为R，且满足条件)()(xbfxaf，则函数)(xfy的图象关于直线2bax对称。2、中心对称（1）)(xf=－)(xf函数)(xfy图象关于原点对称；.（2）函数)(xfy图象关于(,0)a对称)()(xafxaf()(2)fxfax)2()(xafxf；（3）函数)(xfy图象关于),(ba成中心对称bxafxaf2)()(bxfxaf2)()2(（4）若函数)(xfy定义域为R，且满足条件cxbfxaf)()(（cba,,为常数），则函数)(xfy的图象关于点)2,2(cba对称。二、练习题（一）选择题1.已知定义域为R的函数)(xf在），（8上为减函数，且函数)8(xfy为偶函数，则（）A．)7()6(ffB.)9()6(ffC.)9()7(ffD.)10()7(ff2．设函数)(xfy定义在实数集R上，则函数)1(xfy与)1(xfy的图象关于（）对称。A.直线0yB.直线0xC.直线1yD.直线1x3.（中山市09年高三统考）偶函数()()fxxR满足：(4)(1)0ff，且在区间[0,3]与),3[上分别递减和递增，则不等式()0xfx的解集为（）A．),4()4,(；B．)4,1()1,4(C．)0,1()4,(；D．)4,1()0,1()4,(4.若函数cbxxxf2)(对一切实数都有)2()2(xfxf，则（）A.)4()1()2(fffB.)4()2()1(fff-2-C.)1()4()2(fffD.)1()2()4(fff5．函数)(xfy在)20(，上是增函数，函数)2(xfy是偶函数，则下列结论中正确的是（）A.)27()25()1(fffB.)25()1()27(fffC.)1()25()27(fffD.)1()27()25(fff6.设函数3)()(axxf对任意实数x都有)2()2(xfxf,则)3()3(ff()A.－124B.124C.－56D.567.函数)(xf的定义域为R，且满足)()-12(xfxf,方程0)(xf有n个实数根，这n个实数根的和为1992，那么n为（）A.996B.498C.332D.1168.设)(xfy是定义在实数集R上的函数，且满足)()-(xfxf与)()-4(xfxf，若当]2,0[x时，1)(2xxf,则当]4,6[x时，)(xf（）A.12xB.1)2(2xC.1)4(2xD.1)2(2x9.(2009全国卷)函数)(xf的定义域为R，若)1(xf与)1-(xf都是奇函数，则()A．)(xf是偶函数B．)(xf是奇函数C．)2()(xfxfD．)3(xf是奇函数10.(2009·四川高考)已知函数)(xf是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有)()1()1(xfxxxf，则))25((ff的值是()A．0B.12C．1D.5211.设)(xf是定义在实数集R上的函数，且满足)10()-10(xfxf与)20()-20(xfxf，则)(xf是（）A.偶函数，又是周期函数，B.偶函数，但不是周期函数C.奇函数，又是周期函数，D.奇函数，但不是周期函数(二)填空题12.函数)1(xfy为偶函数，则函数)(xf的图像的对称轴方程为13.函数)2(xfy为奇函数，则函数)(xfy的图像的对称中心为14.（09年深圳九校联考）已知)(xf是定义域为R的奇函数，若当(0,)x时，()lgfxx，则满足()0fx的x的取值范围是．15.已知函数)(xfy是R上的偶函数，对于Rx都有)3()()6(fxfxf成立，且2)4(f，当]3,0[,21xx，且21xx时，都有0)()(2121xxxfxf.则给出下列命题：-3-①2)2008(f；②函数)(xfy图像的一条对称轴为6x；③函数)(xfy在]6,9[上为减函数；④方程0)(xf在]9,9[上有4个根．其中所有正确命题的序号为________．（三）解答题16.设1)(2xxf,求)1(xf关于直线2x对称的曲线方程。17．已知函数)1(xf的图象，通过怎样的变换可以得到函数)2(xf的图象。18．已知实系数多项式函数)(xf满足)3()1(xfxf,并且方程0)(xf有四个根，求这四个根之和。19．设1)(2xxf,若)(xg的图象与)2(xfy的图象关于点)1,1(对称，求)(xg.-4-参考答案（一）选择题1～4、DDDA5～8、BACC9、解:(1)fx与(1)fx都是奇函数，(1)(1),(1)(1)fxfxfxfx，函数()fx关于点(1,0)，及点(1,0)对称，函数()fx是周期2[1(1)]4T的周期函数.)3()41()1()1()41()3(xfxfxfxfxfxf，)3()3(xfxf，即(3)fx是奇函数。故选D10、解：若x≠0，则有)(1)1(xfxxxf取21x，则有)21()21()21(21211)121()21(fffff由此得0)21(f于是0)21(5)21(]21211[35)121(35)23(35)23(23231)123()25(fffffff故选A11、40102044baT)4020()20()]30(10[)]30(10[)40()(xfxfxfxfxfxf)()]10(10[)]10(10[)20()20(xfxfxfxfxf所以为奇函数。故选C(二)填空题12、1x13、)0,2(14、画出草图可知),1()0,1(x15、①②③④在)3()()6(fxfxf中令3x得0)3(f，0)3()3(ff故)()6(xfxf,6T,2)4()4()46334()2008(ffff结合函数草图可知①②③④都正确。（三）解答题16、解：26102xxy17、解：)()1(1xfyxfy个单位右移)(xfyy轴对称关于-5-)2()]2([2xfxfy个单位右移18、解：在)3()1(xfxf中令tx1得)4()(tftf)2()2(tftf)(xfy的对称轴为2x设方程0)(xf的四个根分别为22112,2,2,2xxxx，则它们的和为8.19、解：158)(2xxxg