【苏教版】幂的运算-解题策略

1《幂的运算》解题策略乘方运算是我们学习了加减乘除运算后的第五种运算，乘方运算的结果称为“幂”，.因此，乘方运算也称为幂的运算。在初中数学教材《幂的运算》一章的学习过程中，学生感觉困难重重，主要原因有两点:一是对幂的内涵理解不够，导致计算方法(公式)棍淆;二是思路不明确，无从下手.本文将通过对运算法则的归类揭示乘方运算的内涵，从而得出解题的策略一、幂的运算公式及应用幂的运算公式如下表:运算先计算幂后计算幂一级运算加法底同指同2mmmaaa222()2abaabb减法底同指同523mmmaaa222()2abaabb二级运算乘法底数相同mnmnaaag()mmmababgg指数相同()mmmababgg除法底数相同mnmnaaa()mmmabab指数相同()mmmabab三级运算乘方()mnmnaa[反之()mnmnaa]通过上表可以看出，两个幂的运算公式满足下列三条规律(记住这三条规律，可以避免公式混淆):1.越低级的运算，对幂的要求越高幕的加减运算(一级运算)，要求两个幂的底数和指数都相同;幂的乘除运算，要求两个幂的底数和底数中有一项相同;幂的乘方运算则没有要求.2.幂的运算过程中，两个幂的相同部分不变幂的加减运算中，底数和指数都不变，系数相加减(即:合并同类项).幂的乘除运算中，底数相同，则底数不变;指数相同，则指数不变.幂的乘方运算中，底数不变二-3.底数之间的运算，用原运算符号，指数之间的运算，用原运算符号的降级运算符号(各运算之间的降级关系如下表)幂的加法(或减法)运算中，系数处于低层，仍用原运算——加法(或减法)运算.幂的乘法(或除法)运算中，若指数根同，则指数不变，底数仍用原运算——乘法(或除法)运算;若底数2相同，则底数不变，指数处于上层，则按下表中的降级规律，用对应的加法(或减法)运算.幂的乘方运算，底数不变，指数降级为乘法运算.疑问:在幂的运算过程中，两个幂不符合上述运算特征怎么办?这是学生在学习幂的运算过程中遇到的最常见的困难，解决的方法是“转化”。通过转化两个幂的底数或指数，从而使两个幂达到符合相应运算的条件.具体转化方法如下:1.化为底数相同如果两个幂的底数可以化成同一个数的幂的形式，那么这两个幂就可以用幂的乘方公式()mnmnaa，把它们化作同底数幂.例1计算:12927aa.分析因这两个幂不满足相乘的条件，故需要转化.注意到底数9和27分别是3的2和3次幂，说明这两个幂可以把底数都化成3，即:12213222682927(3)(3)333aaaaaaa.2.化为指数相同(1)当指数相近时，可以反用积的乘方公式mnmnaaag，把含较大指数的幂写成两个幂的积，并使其中一个幂的指数和指数最小的幂的指数相同.例2计算:38361010.分析因幂的减法运算需要指数和底数皆相同，故需要把它们的指数化的相等.注意到指数38和36很接近，说明可以把它们的指数都化成36.即383623636236371010101010(101)109.910.(2)当指数不相近时，可以反用幂的乘方公式()mnmnaa，把指数化成它们的最大公约数.例3计算:362463.分析因这两个幂不符合相除的特征，故需要转化，注意到它们的底数不具备化成同底数幂的条件，指数又不相近，故可以考虑把指数化成它们的最大公约数.即36243122121212121263(6)(3)2169(2169)27.二、求有关幂的等式中未知数的方法当两个相等的幂的底数相等时，它们的指数也相等，如已知2xaa，则2x;当两个相等的幂的指数相等时，它们的底数也相等，如已知3aax，则3x.当两个相等的幂的底数和指数都不相同时，则无法直接转化为整式方程求未知数的值，此时需要转化两个幂的底数或指数，使它们相同.当等式两边有多个幂时，需要依据运算符号进行运算，先转化成只有两个幂的等式再进行求解.例4若m满足等式:1124148()2mm，求m的值.3分析因等式两边有三个幂，且字母m在指数上，故需要先计算出等号左边的积，使等号两边各保留一个幂，然后再化底数相等，最后用指数相等列等式.∵11221312223623448(2)(2)222mmmm，4441()(2)22mmm，∴2344mm，∴17m.三、比较幂的大小的方法.当两个幂的底数相同时，通过比较他们的指数可以判断它们的大小.如：201833，201811()()33，201811()()33，272311()()33.当两个幂的指数相同时，通过比较它们的底数可以判断它们的大小.如：202053，202011()()53，202011()()53，272711()()53.当两个幂的指数和底数都不相同时，此时它们不能直接比较大小，必须先要把它们的底数或指数化的相等，然后才能比较大小.例5比较大小:553，444，335.分析因这三个幂底数和指数都不相等，故不能直接比较大小，需要转化.注意到它们的底数3、4、5不具备化成同底数幂的条件，指数有最大公约数11，故可以考虑把指数化成它们的最大公约数11.即55511113(3)243；44411114(4)256，33311115(5)125.∵125243256，∴335544534.小结在学习《幂的运算》这一章节内容时，记住公式是解题的基础，熟练掌握转化底数和指数的方法是解题的关键.分析题目中幂的运算所需要的条件，可以明确解题思路;观察幂的底数和指数的特点，可以明确解题的具体过程.