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模拟试题七一、选择题（每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，把所选项前的字母填写在题后的括号中）1．极限等于A：B：C：D：解答：本题考察的知识点是重要极限二，所以：选择C2．设为连续函数，则：等于A：B：C：D：解答：本题考察的知识点是可变上限积分的求导问题，所以：选择D3．设在内有二阶导数，且，则：曲线在内A：下凹B：上凹C：凹凸性不可确定D：单调减少解答：本题考察的知识点是利用二阶导数符号判定曲线的凸凹性因为：在内有二阶导数，且，所以：曲线在内下凹所以：选择A4．设函数在处连续，则：等于A：B：C：D：解答：本题考察的知识点是函数连续性的概念因为：，且函数在处连续所以：，则：，所以：选择C5．设为在区间上的连续函数，则曲线与直线，及所围成的封闭图形的面积为A：B：C：D：不能确定解答：本题考察的知识点是定积分的几何意义所以：选择B6．设为连续函数，则：等于A：B：C：D：解答：本题考察的知识点是不定积分性质与定积分的牛—莱公式所以：选择C7．设，则：等于A：B：C：D：解答：本题考察的知识点是复合函数求导法则，所以：选择C8．设，则：等于A：B：C：D：解答：本题考察的知识点是偏导数的计算，所以：选择A9．级数（为非零正常数）A：条件收敛B：绝对收敛C：收敛性与无关D：发散解答：本题考察的知识点是级数的绝对收敛与条件收敛记，则：，其中为正常数因为：为的级数，它为发散级数，所以：为发散级数，故该级数不是绝对收敛，而为交错级数，由莱布尼兹判别法可知其收敛，所以：为条件收敛所以：选择A10．方程待定特解应取A：B：C：D：解答：本题考察的知识点是二阶常系数线性微分方程特解设法因为：与之想对应的齐次方程为，其特征方程是解得特征根为或自由项为特征单根，所以：特解应设为二、填空题（每小题4分，共40分）11．解答：本题考察的知识点是极限的运算答案：12．设，则：解答：本题考察的知识点是导数的四则运算法则，所以：13．设为的原函数，则：解答：本题考察的知识点是原函数的概念因为：为的原函数，所以：14．解答：本题考察的知识点是不定积分的换元积分法15．已知平面：，则：过原点且与垂直的直线方程是解答：本题考察的知识点是直线方程与直线方程与平面的关系因为：直线与平面垂直，所以：直线的方向向量与平面的法向量平行，所以：因为：直线过原点，所以：所求直线方程是16．设，则：解答：本题考察的知识点是偏导数的计算，所以：17．设区域：，，则：解答：本题考察的知识点是二重积分的性质表示所求二重积分值等于积分区域面积的三倍，区域D是半径为的半圆，面积为，所以：18．设，则：解答：本题考察的知识点是函数在一点处导数的定义因为：，所以：19．微分方程的通解是解答：本题考察的知识点是二阶常系数线性微分方程的通解求法特征方程是，解得：特征根为所以：微分方程的通解是20．幂级数的收敛半径是解答：本题考察的知识点是幂级数的收敛半径，当，即：时级数绝对收敛，所以：三、解答题21．（本题满分8分）求：解答：本题考察的知识点是用罗比达法则求不定式极限22．（本题满分8分）设，求：解答：本题考察的知识点是参数方程的求导计算23．（本题满分8分）计算：解答：本题考察的知识点是定积分的分部积分法24．（本题满分8分）设由方程确定，求：解答：本题考察的知识点是多元微积分的全微分⑴求：，所以：⑵求：，所以：所以：25．（本题满分8分）将展开为的幂级数解答：本题考察的知识点是将初等函数展开为的幂级数26．（本题满分10分）在曲线上某点处做切线，使该切线与曲线及轴所围成的图象面积为，求：⑴切点的坐标；⑵过切点的切线方程解答：本题考察的知识点是定积分的几何意义和曲线的切线方程因为：，则：，则：曲线过点处的切线方程是，即：曲线与切线、轴所围平面图形的面积由题意，可知：，则：所以：切点的坐标，过点的切线方程是27．（本题满分10分）求的极值及曲线的凹凸区间与拐点解答：本题考察的知识点是描述函数几何性态的综合问题的定义域是全体实数，令，解得驻点为，拐点列表（略），可得：极小值点为，极小值是曲线的凸区间是，凹区间是，拐点为28．（本题满分10分）设平面薄片的方程可以表示为，，薄片上点处的密度求：该薄片的质量解答：本题考察的知识点是二重积分的物理应用