22.6三角形、梯形的中位线

三角形中位线的概念联结三角形两边的中点的线段叫做三角形的中位线.一个三角形共有几条中位线呢？点D为AB中点，点E为AC中点，点F为BC中点，则DF、FE、ED都是△ABC的中位线.一个三角形共有三条中位线.三角形的中位线与三角形的中线有何区别？适时小结三角形的中位线与三角形的中线的区别.三角形概念图形中位线中线联结三角形两边中点的线段.联结三角形顶点与其对边中点的线段.两边中点一顶点一中点F学习三角形中位线定理通过预习，你知道△ABC的中位线DE与边BC有怎样的位置关系和数量关系吗？DE∥BC且1.2DEBC答：归纳三角形中位线的性质.如何证明？答：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.如何证明四边形DBCF是平行四边形？∴四边形BCFD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），根据实验操作，如何添辅助线，构造与△ADE全等的三角形？已知：如图，在△ABC中，AD=BD，AE=CE．求证：DE∥BC，且1.2DEBC．延长DE至点F，使EF=DE，联结CF.证明：∵AE=EC，∠2=∠3，∴△ADE≌△CFE，∴AD=CF，∠A=∠1，∴AB∥CF，即BD∥CF.∵AD=BD，AD=CF，∴DB=CF.∴DF∥BC，且DF=BC.∴DE∥BC，且1.2DEBC.适时小结：倍长中位线也是辅助线的常添方法之一.学习三角形中位线定理*还有其他方法证明吗？如何解决？三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.在△ABC中,∵AD=BD，AE=CE，∴DE∥BC，且12DEBC（三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半）.EDABC符号语言：中位线的性质就是：点的位置关系→线线之间的位置关系和数量关系新知运用（2）如果DE=5，那么BC=____.10EDABC32（一）口答练习1、如图，已知AD=DB，AE=EC，（1）如果BC=，那么DE=____；3课堂练习已知：如图，△ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA三边的中点.求证：中位线DF和中线AEEFDABCEFDAEFDABCEFDABC分析：互相平分.EFDABC课堂练习已知：如图，△ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA三边的中点.求证：中位线DE和中线AE互相平分.证明：联结ED、EF.∵D、E分别是AB、BC的中点，∴DE∥AC（三角形的中位线平行于第三边）．同理：EF∥AB，∴四边形DEFA是平行四边形（平行四边形的定义）.∴中位线DE和中线AE互相平分（平行四边形的对角线互相平分）.适时小结：已知两边中点构造三角形的中位线是常用的添辅助线的方法之一.例题讲解例题6已知：如图，点O是△ABC内任意一点，D、E、F、G分别是OB、OC、AC、AB的中点．求证：四边形DEFG是平行四边形．由已知条件你能在图中找到什么？GF、DE分别是△ABC和△OBC的中位线，且这两个三角形有公共边BC.1,.2GFBCGFBC∥1,.2DEBCDEBC∥,.GFDEGFDE∥如何证明？例题讲解例题6已知：如图，点O是△ABC内任意一点，D、E、F、G分别是OB、OC、AC、AB的中点．求证：四边形DEFG是平行四边形．证明：∵点G、F分别为AB、AC的中点，∴GF∥BC，且（三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半）．12GFBC同理：DE∥BC，且.12DEBC∴GF∥DE，且GF=DE.∴四边形DEFG是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）.变式2：顺次联结四边形四条边的中点，所得的四边形（称为“中点四边形”），是平行四边形吗？分析：例题讲解例题6已知：如图，点O是△ABC内任意一点，D、E、F、G分别是OB、OC、AC、AB的中点．求证：四边形DEFG是平行四边形．变式1：如图，点O是△ABC外一点，以上结论是否还成立？答：成立.变点O的位置不变GF、DE仍是△ABC和△OBC的中位线，且这两个三角形有公共边BC.结论四边形DEFG是平行四边形．答：是的.如何证明？方法类似.形变质不变课堂练习求证：顺次联结四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形.已知：如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，求证：四边形DEFG是平行四边形．证明：联结BD.适时小结1、以上的三个问题图形变化，而本质是不变的.2、任意四边形的“中点四边形”是平行四边形.平行四边形的“中点四边形”是.平行四边形矩形的“中点四边形”是.菱形菱形的“中点四边形”是.矩形正方形的“中点四边形”是.正方形对角线互相垂直的四边形的“中点四边形”是.矩形对角线相等的四边形的“中点四边形”是.对角线相等且互相垂直的四边形的“中点四边形”是.菱形正方形通过本课的学习你有何收获？课堂小结1、三角形中位线的概念EDABC在△ABC中,∵AD=BD，AE=CE，∴DE∥BC，且（三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半）.12DEBC2、三角形中位线定理联结三角形两边的中点的线段叫做三角形的中位线.