生活中的数学建模

数学建模—从自然走向理性之路2/40【本讲简介】数学建模无处不在。在我们的生活中处处可以看到数学模型的影子，本讲介绍发生在我们身边的几个数学建模案例：人行走时步长多大最省力？雨中行走如何使淋雨量最小？道路越多越通畅吗？有奖销售时的抽奖策略问题，“非诚勿扰”女生的最佳选择,网络文章流行度预测,招聘时的稳定匹配等。3/40行走步长问题问题人在匀速行走时步长多大最省劲？设人的体重为M，腿重为m，腿长为l，速度为v（固定），单位时间步数为n，步长为x（v=nx）。4/405/40考虑人行走时所消耗的能量的两个部分：一部分抬高人体重心，转化为势能，另一部分转化为两腿转动的动能（全身运动的平动能是常数，与步长无关，故不考虑）。下面分别计算之。1.重心升高所需的能量记一步中重心升高为δ，则6/402122122222cos(1sin)(1)4(1)88llllxlllxlllxl7/40于是，单位时间重心升高所需做功为2.腿运动所需的能量将人行走时腿的运动视为均匀直杆（腿）绕腰部的转动，则在单位时间内所需动能为288nMgxMgvWnMgxll势212WIn动8/40其中转动惯量，角速度,故所以人行走时单位时间所做的功为213Imlvl2322112366vnmvWmlnmvlx动3M86gvmv动平平势＋9/40令解得为检验此结果的合理性，带入具体数值，假定M/m=4，l=1米,g=9.8米/秒2,v=1.5米/秒计算得到n=5.4步/秒x=0.28米结果与实际情形差异太大!0dWdx24334mlvMgxnMgml10/40有人将腿的转动改为脚的直线运动，且将腿的质量全部算在脚上，这样得到的结果大约是每秒３步，是否合理？建模小结：本问题的关键点在于腿部运动的合理描述，模型改进的方向来自于对结果的细致分析。3M1(13.3)86gvmvWxCxlxx11/40雨中行走问题问题考虑人在雨中沿一直线行走，雨速已知，问人行走的速度多大才能使淋雨量最小？单位时间淋雨量最小：雨从头顶上落下。但这样做要付出时间代价，值不值就要看具体降雨量情况与风的情况而定了。淋雨量＝单位时间淋雨量×淋雨时间跑得越快淋雨量越小？12/40设人行走速度(U,0,0)(U0)，雨速(Vx,Vy,Vz)，行走距离为S，将人视为长方体，前、侧、顶的面积之比为1:L:T。13/40单位时间淋雨量为C·{|U-Vx|,|0-Vy|,|0-Vz|}·{1,L,T}＝C（|U-Vx|+|Vy|·L+|Vz|·T）＝C（|U-Vx|+A）(其中A=|Vy|·L+|Vz|·T)总淋雨量为R(U)=S/U·C·(|U-Vx|+A)为简便计，考虑R(U)=S/U·(|U-Vx|+A)14/40因此，雨中行走问题抽象成数学问题：已知S,Vx,A,求U为何值时R(U)达最小值？下面分几种情况讨论。（1）Vx0时（即风从迎面吹来）R(U)=S/U·(U+|Vx|+A)=S+S·(|Vx|+A)/U此时R(U)关于U递减，走得越快越好。15/40（2）Vx0时（即风从背面吹来）()()()()()xxxxxxSVASVUASUVUURUSAVSUVASUVUU22(),(),xxxxSVAUVdRUSAVdUUVU16/40结论当AVx时，取U=Vx，其他情况下，U应尽可能大。建模小结：决定淋雨量大小有两个因素：淋雨时间及单位时间淋雨量,忽略后者将导致错误结论。17/40道路越多越通畅吗？18/40布雷斯悖论(Braess'sparadox)19/40数学家研究结论：如果一个交通网络上每一条路的通行时间都与这条路上的车子数量成线性关系，这个交通网络就一定存在一个纳什均衡点。它可能导致全体不利的情况发生，即出现布雷斯悖论现象。真实案例1：德国,斯图加特市,1969年。真实案例2：美国，纽约，1990年世界地球日。真实案例3：韩国，清溪川。20/40某人可获得一笔奖金x,x由他在区间[0,1]中任意地抽取。如果他满意，可以领取x奖金而不再抽取；如果他不满意，可以放弃这个x而重新抽取。这个抽取过程可重复3次,第三次抽取后不得放弃。问他应该采取何种策略以期获得最多奖金？有奖销售抽奖策略21/40设该抽奖人采取的策略为：其中X1,X2,X3均为在[0,1]上均匀分布的随机变量。该人目标为获得的奖金H的期望达最大值。11212312XXaHXXaXbXXaXb22/40计算期望：令则H=g(X1,X2,X3),根据期望计算公式有11123212312(,,)xxagxxxxxaxbxxaxb123123123011,2,32222(,,)(,,)1(1)1(1)2222ixiEHgxxxpxxxdxdxdxaababaaabab23/40以下我们换一种方法计算获利期望。★条件期望方法第一次抽奖的获奖期望为第二次抽奖的获奖期望为11112()()11(1)22EHPXaEXXaaaa2122122(,)(,)1(1)(1)22EHPXaXbEXXaXbbabab24/40第三次抽奖的获奖期望为所以312312(,)(,)122EHPXaXbEXXaXbabab1232222111(1)(1)222112JEHEHEHEHaababaaabab25/40令解得：a=5/8,b=1/2最大期望奖金为：最优停止问题，例如“不可召回的秘书招聘问题”。2112021202JabbaJabb890.7128EH26/40《非诚勿扰》女生的”最优选择”总共面试n人，不选择前k人，从第k+1人起，一旦有比前面更优秀的男生，则选择。策略如何确定K，使选到最中意男生的概率最大？对于某个固定的k，能选到最佳男生的总概率为：1111()11nnikikkkPknini27/4011()lnxPkxdtxxt1/e大约等于37%，即k/n＝37%——37%法则！按此策略，找到最中意男生的概率也是37%！用x来表示k/n的值，并且假设n充分大，则上述公式可以近似表示为积分形式：(ln)1ln0dxxxdx1/xe建模小结：生活中处处有数学建模的身影。28/40【问题】“如何在一篇文章被发出前就判断它会否流行”ThePulseofNewsinSocialMedia:ForecastingPopularity【基本思路】确定文章内容的关键因素。统计这些关键因素取不同值时对文章流行度的影响，并将各取值赋以不同分值。利用统计方法建立并优化“内容关键因素”对“流行度”影响程度的数值模型。利用模型预测某篇文章在推特上的流行度。网络文章流行度预测29/404个判断的关键要素：1、信息类别30/402、客观程度用软件判断样本标题及摘要的客观程度，并为其设定分值0或者1。3、提及的人物和地名4、新闻来源31/40预测模型：其中：T—流行度（t-density）S—信息来源的t-density分值C—信息类别的t-density分值Entmax—文中提及的人名或地名中的最大t-density值结论：来自可靠的信息源、提及名人并且谈论流行话题建模启示：对建立评价类模型具有典型意义。32/40假设在一个n男n女的联谊会上配对跳舞，每个人都按自己的喜好程度对所有异性排一个顺序，没有并列，例如：【问题】是否存在一个稳定的配对？如果存在，是否唯一？如何求？稳定匹配问题及算法ABCDwxxyxzwxywyzzyzwwxyzDBDCCACBADBABCAD33/40稳定匹配（Stablematching）：每个人当前的配对对象恰好是他（她）在当前现实中的最优选择。不稳定匹配：存在这样的一个男生和一个女生，他们都认为对方比自己当前的配对对象更优。ABCDwxxyxzwxywyzzyzwwxyzDBDCCACBADBABCAD{(A,w),(B,x),(C,y),(D,z)}×{(A,z),(B,x),(C,w),(D,y)}√34/40罗伊德·沙普利(LloydShapley)美国著名数学家和经济学家2012年因在稳定配对和市场设计方面的贡献获诺贝尔经济学奖1923年6月2日~35/40Gale-Shapley算法：第一轮：每位男生向各自最中意的女生发出邀请，然后每个女生在向其发出邀请的男生中选择自己最中意的；第二轮，尚未配对的男生向其第二喜欢的女生（不管该女生是否已配对）发出邀请，然后每个女生在向其发出邀请的男生以及上一轮已选择的男生中选择一个最中意的；第三轮，……36/40第一轮：(A,w)(B,x)(C,x)(D,y),x拒绝C第二轮：(A,w)(B,x)(C,w)(D,y),w拒绝A第三轮：(A,x)(B,x)(C,w)(D,y),x拒绝A第四轮：(A,y)(B,x)(C,w)(D,y),y拒绝A第五轮：(A,z)(B,x)(C,w)(D,y)ABCDwxxyxzwxywyzzyzwwxyzDBDCCACBADBABCAD37/40几个问题：1、算法是否能在有限步结束？是的。由于每一个男生最多发出n次邀请，必然能够邀请到女生，所以算法在有限轮后会结束。2、选择先后对双方是否有区别？是的。对先选的一方有利。3、稳定配对是否唯一？未必。见上面例子。4、算法得到的配对是否稳定？是的。ABCDwxwyxyyxyzzwzwxzwxyzAABDBCACCBDBDDCA38/405、算法在多对一时（例如：企业与求职者，研究生导师与研究生等）是否有效？是的。6、算法是否能够预防欺诈行为得逞？否。思考题：2n个男生分宿舍，每间宿舍住两人，每个人对其他人成为自己的舍友有一个优先排序，能否应用Shapley算法求稳定匹配？为什么？39/402.1、建立更合理的模型，改进“行走步长问题”模型。2.2、教材P37第3题。作业：数学建模—从自然走向理性之路