§17.2-复合函数微分法--数学分析课件(华师大-四版)-高教社ppt-华东师大教材配套课件

一、复合函数的求导法则二、复合函数的全微分凡是学过一些微积分的人,没有一个会对复合函数微分法的重要性产生怀疑.可以毫不夸张地说,谁不懂得复合微分法,谁就会在计算导数或偏导数时寸步难行.§2复合函数微分法数学分析第十七章多元函数微分学*点击以上标题可直接前往对应内容数学分析第十七章多元函数微分学高等教育出版社设函数(,)(,)xstyst与(1)定义在st平面的区域D上,(,)zfxy(2)定义在xy平面的区域__D上.__(,)(,),(,),(,),xyxstyststDD则可构成复合函数:(,)((,),(,)),(,).zFstfstststD(3)其中(1)为内函数,(2)为外函数,(s,t)为自变量.§2复合函数微分法复合函数的求导法则复合函数的全微分复合函数的求导法则后退前进目录退出函数若(x,y)为中间变量,数学分析第十七章多元函数微分学高等教育出版社定理17.3下面将讨论复合函数F的可微性.(,)zfxy(,)((,),(,))xystst在点可微,且关于s与t的偏导数分别为((,),(,))zfstst(,)st则复合函数在点可微，(,)(,)(,)(,)(,),stxystxystzzxzysxsys(4)公式(4)也称为链式法则.§2复合函数微分法复合函数的求导法则复合函数的全微分(,),(,)xstyst(,)stD在点可微，若函数(,)(,)(,)(,)(,).stxystxystzzxzytxtyt数学分析第十七章多元函数微分学高等教育出版社22,yyyststst(6)(,),(,)xstyst(,)st证由假设在点可微,于是11,xxxststst(5),zzzxyxyxy(7)(,)(0,0)st1122(,,,)(0,0,0,0).其中时(,)zfxy(,)xy又由在点可微,故有(,)(0,0)xy(,)(0,0),其中时，0xy0.定义:当时,§2复合函数微分法复合函数的求导法则复合函数的全微分并可补充数学分析第十七章多元函数微分学高等教育出版社现把(5),(6)两式代入(7)式，得到11zxxzststxst22.zyyststyst整理后又得zxzyzsxsys(8)§2复合函数微分法复合函数的求导法则复合函数的全微分,zxzytstxtyt数学分析第十七章多元函数微分学高等教育出版社1212.zzxyxytt(10)由于(,),(,)stst在点(,)st可微，因此在点(,)st并求得z关于s和t的偏导数公式(4)．(,)(0,0),从而1122(,,,)(0,0,0,0).以及于是在(9),(10)两式中,当(,)(0,0)st时,有1212,zzxyxyss(9)其中§2复合函数微分法复合函数的求导法则复合函数的全微分都连续，(,)(0,0).xy(,)(0,0)st即当时，(,)(0,0).故由(8)式推知复合函数(3)可微，数学分析第十七章多元函数微分学高等教育出版社能轻易省略的,否则上述复合求导公式就不一定成立．例如注如果只是求复合函数((,),(,))fstst关于s或t的偏导数,因为以s或t0s0,t除(7)式两边,然后让或但是对外函数f的可微性假设是不§2复合函数微分法复合函数的求导法则复合函数的全微分须具有关于s或t的偏导数就够了.到相应的结果.(,),(,)xstyst只则上述定理中也能得数学分析第十七章多元函数微分学高等教育出版社2222222,0,(,)0,0.xyxyxyfxyxy()(,)2,zFtfttt(4),若形式地使用法则将得出错误结论:为内函数，(0,0)(0,0)0,xyff(,)fxy由§1习题6已知但(,)fxy,xtyt若以为外函数,000(0,0)(0,0)ddddddtttzzxzytxtyt§2复合函数微分法复合函数的求导法则复合函数的全微分在点(0,0)不可微.d1.d2zt有则得到以t为自变量的复合函数01010.数学分析第十七章多元函数微分学高等教育出版社这说明：在使用链式法则时,必须注意外函数可微这个条件.则复合函数11,(,,)(,,)mmfuuuu一般地若在点可微,1(,,)(1,2,,)kknugxxkm1(,,)(1,2,,),nixxxin在点具有对于的偏导数11211((,,),(,,),,(,,))nnmnfgxxgxxgxx1(1,2,,).mkkikiuffinxux关于自变量(1,2,,)ixin的偏导数为§2复合函数微分法复合函数的求导法则复合函数的全微分函数组数学分析第十七章多元函数微分学高等教育出版社多元函数的复合求导一般比较复杂，必须要区分哪些是中间变量，哪些是自变量，法则求出正确的结果.zxyststzxzyxsxtysyt可以按照各变量间的复合关系,画如图那样的树形图.首先从因变量z向中间变量x,y画两个分枝,别从中间变量x,y向自变量s,t画分枝,分枝上写上对应的偏导数.§2复合函数微分法复合函数的求导法则复合函数的全微分这样才能正确使用链式为了便于记忆，然后再分并在每个数学分析第十七章多元函数微分学高等教育出版社zzss例如，求时，只要把从到的每条路径上的各个.zzxzysxsyszzxzytxtyt§2复合函数微分法复合函数的求导法则复合函数的全微分zxyststzxzyxsxtysyt偏导数相乘，然后再将这些乘积相加即得类似地,考察从z到t的路径,得数学分析第十七章多元函数微分学高等教育出版社.zzxy求与解所讨论的复合函数以(u,v)为中间变量,(x,y)为自变量,并满足定理17.5的条件.222ln(),e,1,xyzuvuvxy而例设试22,zuuuv22e,2e,xyxyuuyxy§2复合函数微分法复合函数的求导法则复合函数的全微分因此由21,zvuv2,1,vvxxy数学分析第十七章多元函数微分学高等教育出版社根据链式法则得到22221e2xyuxuvuvzzuzvxuxvx222(e),xyuxuv221(4e1).xyuyuvzzuzvyuyvy§2复合函数微分法复合函数的求导法则复合函数的全微分数学分析第十七章多元函数微分学高等教育出版社例2(,),cos,uuxyxr设可微在极坐标变换222221.uuuurxyr证把u看作,r的复合函数(cos,sin)uurr，因此有sin,yr之下证明:uuxuyrxryruuxuyxy§2复合函数微分法复合函数的求导法则复合函数的全微分cossin,uuxy(sin)cos.uurrxy数学分析第十七章多元函数微分学高等教育出版社于是2221uurr221sincosuurrxyr22.uuxy§2复合函数微分法复合函数的求导法则复合函数的全微分2cossinuuxy数学分析第十七章多元函数微分学高等教育出版社解复合后仅是自变量t的一元函数．ddddddddzzuzvzttutvttt例3dsin,e,cos,.dtzzuvtuvtt设其中求e(sin)costvutte(cossin)cos.tttt注上面第一个等式中，左边的ddzt是作为一元函数的复合函数对t求导数(又称“全导数”);是外函数(是u,v,t的三元函数)对t求偏导.注意区分．zuvtttzuzvztutvt§2复合函数微分法复合函数的求导法则复合函数的全微分于是zt右边的数学分析第十七章多元函数微分学高等教育出版社例4用多元复合微分法计算下列一元函数的导数:2(1)ln(2).sincosxxyxx解(1)令,,,,vxyuvwuxwx从而有ddddyyuyxuxv11ln[ln]xxxxxxxxxxxxxxx21ln(ln).xxxxxxxx1ln[]vvvuuu§2复合函数微分法复合函数的求导法则复合函数的全微分(1);xxyxddvwvwxx1lnxxx数学分析第十七章多元函数微分学高等教育出版社,sincos,vwyuxxu令解则有ddddyyuxux221(sincos)(1)ln(sincos)xxxxxx2(cossin)vwxxu21(sincos)(2ln).xxxxxx§2复合函数微分法复合函数的求导法则复合函数的全微分2(1)ln(2).sincosxxyxx21,ln,vxwxddyvvxddywwx2wxu1vux由此可见，以前用“对数求导法”求一元函数导数的问题,如今可用多元复合函数的链式法则来计算.数学分析第十七章多元函数微分学高等教育出版社例5设(,),(1,1)1,(1,1),xfxyffa为可微函数(1,1),()(,(,(,))),(1).yfbxfxfxfxx试求解令()(,),(,),(,),,xfxyyfxzzfxuuxd()dxyyxffx则有d.dxyxzxuuffffffx§2复合函数微分法复合函数的求导法则复合函数的全微分ddxyxzzffffx23(1)[()].abababaababb因此d1,(1,1),(1,1)(1,1)(1,1),dxyzuufafffbx由数学分析第十七章多元函数微分学高等教育出版社而实用的写法(省去了引入中间变量):说明上面的解法是通过引进中间变量,,yzu后,借助链式法则而求得的;121212()[(1)],xffffff[()].ababab121(1)(1,1)(1,1){(1,1)fff212(1,1)[(1,1)(1,1)]}fff§2复合函数微分法复合函数的求导法则复合函数的全微分上述过程还有一种比较简洁数学分析第十七章多元函数微分学高等教育出版社,,,,,,,.ufxyzyxttxzuuxz设都有一阶连续偏例6导数，求uxzyxtzxfxfyfzxtxz代入中间变量解，得复合函数,,,,,ufxxxzzxz为的函数见图，ufxxufzytz,,,,uufxxxzzx注意，这里用表示复合函数§2复合函数微分法复合函数的求导法则