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刘伟2012年09月2012年初二新学期讲义（数学）共59页，第页1第一讲勾股定理【学习目标】1、经过探究勾股定理的过程，了解勾股定理的探究方法。2、掌握勾股定理，并能运用勾股定理解决一些实际问题。3、培养学生的动手能力和思维能力。【知识要点】1、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如果用cba和，分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么222abc。（如图）（我国古代把直角三角形较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦。因此，次定理被称为勾股定理。）注意：（1）勾股定理只适用于直角三角形。（2）斜边是直角三角形中直角所对的那条边，应用勾股定理时，要注意哪条边是最大边，也就是哪条边是斜边。2、勾股定理的验证（1）推证勾股定理时，找面积相等是关键。（2）由面积之间的等量关系并结合图形进行代数变形即可推出勾股定理。（3）拼图法德一般步骤：拼出图形找出图形面积的表达式求等量关系变形推导出勾股定理。3、勾股定理的应用知道了勾股定理任意两边的长度，利用勾股定理可以求出第三边的长度。注意：（1）勾股定理是直角三角形所特有的重要定理之一。（2）在运用勾股定理是，一定要分清谁是直角边，谁是斜边。（3）有些图形不能直接用勾股定理解决，我们可以通过添加辅助线的办法构造出直角三角形，再运用勾股定理解答问题。【典型例题】例1、如图，已知直角三角形两个直角边长12,5ba,求斜边c的长。例2、作长为n的线段（以5为例）abcabc共59页，第页2例3、利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为弦图．从图中可以看到：大正方形面积＝小正方形面积＋四个直角三角形面积．因而c2＝＋．化简后即为c2＝．例4、已知直角三角形的两边长为3、4，求另一边长。例5、下图是由两个全等的直角三角形拼成的图形，两直角边和斜边长分别为cba和，，请你开动脑筋，用该图形来证明勾股定理。bccaab例6、飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩头顶5000米，飞机每时飞行多少千米？【经典练习】1、下列语句：（1）若△ABC中，222abc，则△ABC不是直角三角形；（2）若△ABC为直角三角形，∠C=90°，则222abc；（3）若△ABC中，222cab，则∠C=90°；（4）勾股定理的逆定理是“若两边的平方和等于斜边的平方，则此三角形为直角三角形”其中正确的是abc共59页，第页32、在△ABC中，∠C=90°。（1）若a=2，b=5，则c=。（2）若c=61，b=60，则a=。（3）若:3:4ab，10c，则a=，b=3、如图字母B所代表的正方形的面积是4、直角三角形的两边长为5、12，则另一边的长为多少？5、已知△ABC中，AB=AC，AB=6cm，BC=4cm。求（1）S△ABC（2）腰AC上的高BE。6、如图9，在△ABC中，AB=15，AD=12，BD=9,AC=13,求△ABC的周长和面积。【课后作业】1、下列各组数中不能构成直角三角形的一组数是（）A．5，12，13B．7，24，25C．8，15，17D．4，6，92、五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（）图9DCBAB16925共59页，第页4715242520715202425157252024257202415(A)(B)(C)(D)3、已知一直角三角形的木版，三边的平方和为1800cm2,则斜边长为（）.A.80cmB.30cmC.90cmD.120cm4、边长为4的等边三角形的面积等于多少？共59页，第页5第二讲勾股定理逆定理【学习目标】1、经过探究勾股定理逆定理的过程，了解它与勾股定理的关系。2、掌握勾股定理逆定理，并能运用它判断直角三角形。3、培养学生的动手能力和思维能力【知识要点】1、勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足222abc，那么这个三角形是直角三角形。这个定理与勾股定理时互逆的，主要用来判断一个三角形是否为直角三角形。2、利用勾股定理的逆定理判别直角三角形的一般步骤（1）先找出最大边（如c）（2）计算2c与22ab，并验证是否相等。（3）若2c=，则△ABC是直角三角形。（4）若2c≠22ab，则△ABC不是Rt△。3、完成下列常用勾股数1，1，21，3，23，4,55，12，137，24，25【典型例题】例1、求下图中字母所代表的正方形的面积。AB400225abcCA81C225Bacb0.5倍2倍3倍图1共59页，第页6在图1中，SA=a=；b=；c=。在图2中，SB=a=；b=；c=。从中发现：（1）三个正方形的面积之间有什么关系？（2）三个正方形围成的直角三角形三边长度之间有什么关系？例2、判断以下各组线段为边能否组成直角三角形。（1）9、41、40；（2）5、5、52（3）13、14、15；（4）23、24、25（5）2、3、5例3、例3如图所示，在△ABC中，D是BC上一点，AB=10，BD=6，AD=8，AC=17。求△ABC的面积。例4、如图5，一棵大树在一次强台风中于离地面5米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵大树在折断前的高度为多少?例5、已知：如图，∠ABD=∠C=90°，AD=12，AC=BC，∠DAB=30°，求BC的长．*例6、如图折叠长方形的一边BC，使点B落在AD边的F处，已知：AB=3，BC=5，求折痕EF的长．ABCD30°AEBCDF图2共59页，第页7【经典练习】1、下列各组数中不能构成直角三角形的一组数是（）A．5，12，13B．7，24，25C．8，15，17D．4，6，92、适合下列条件的△ABC中，直角三角形的个数为（）A.13a，14b，15c；B.32A，58B；C.7a，24b，25c；D.2.5a，2b，3c。A．1个B.2个C.3个D.4个3、在△ABC中，AB=15,AC=13,高AD=12,则三角形的周长是（）A.42B.32C.42或32D.37或334、如图所示，已知四边形ABCD中，AD=3cm，AB=4cm，DC=12cm，BC=13cm，且AB⊥AD。求四边形ABCD的面积。5、如图14.2.7，已知CD＝6m，AD＝8m，∠ADC＝90°，BC＝24m，AB＝26m．求图中阴影部分的面积．6、如果ΔABC的三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断ΔABC的形状。【课后作业】1、已知：如图（1），在Rt△ABC中，∠B=90°，D、E分别是边AB、AC的中点，DE=4，AC=10，则AB=_____________.ABEDC共59页，第页82、以下各组数为三边的三角形中，不是直角三角形的是（）．A．3+1，3-1，22B．7，24，25C．4，7.5，8.5D．3.5，4.5，5.53、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=5cm，AC=12cm，CD⊥AB，D为垂足，求CD的长。共59页，第页9第三讲勾股定理的应用（一）【学习目标】1、能熟练、灵活地应用勾股定理及其逆定理2、能将实际问题转化为“应用勾股定理及其逆定理解直角三角形的数学问题”3、培养同学们的思维能力和转化思想【知识要点】1、把实际问题转化为一个含有直角三角形的计算问题，应用勾股定理来加以解决，其间关健在于找出这个直角三角形。2、在运用勾股定理解决实际问题的过程中，感受数学的“转化”思想(把解斜三角形问题转化为解直角三角形的问题)，进一步发展有条理思考和有条理表达的能力，体会数学的应用价值。【典型例题】例1、如图，从电杆离地面8米处向地面拉一条10米长的钢缆，求地面钢缆固定点A到电杆底部B的距离．例2、有两棵树，一棵树高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少要飞行多少米？例3、如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高AB为4cm，BC是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程．共59页，第页10例4、一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图14.2.3的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?例5、已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，求△ABE的面积【经典练习】1、如图，一根旗杆在离地面9m处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12m处，旗杆在折断之前有多高？(10分)2、一个门框的尺寸如图所示，一块长3m，宽2.2m的薄木板能否从门框内通过？为什么？3、如图正方形ABCD，E为BC中点，F为AB上一点，且BF=41AB。请问FE与DE。是否垂直?请说明。4、机场入口的铭牌上说明，飞机的行李架是一个56cm×36cm×23cm的长方体9m12mD1m2mCBAABEFDC例5图共59页，第页11DACB空间。一位旅客携带一件长60cm的画卷，这件画卷能放入行李架吗？5、某楼房三楼失火，消防队员赶来救火，了解到每层楼高3米，消防队员取来6.5米长的云梯，为了安全起见梯子的底部与墙基的距离是2.5米。请问消防队员能否进入三楼灭火？【课后作业】1、小米妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机。小米量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了。你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？2、有一块四边形地ABCD（如图）∠B=o90，AB=4m，BC=3m，CD=12m，DA=13m，求该四边形地的面积。3、一直一个长方体的长、宽、高分别为6cm，4cm和3cm，一只蚂蚁从点A出发，要到对角点B，求蚂蚁要走的最短路程第四讲勾股定理的应用（二）ABb共59页，第页12EFDCBA【学习目标】1、能熟练、灵活地应用勾股定理及其逆定理2、能将实际问题转化为“应用勾股定理及其逆定理解直角三角形的数学问题”3、熟悉所学知识，如全等三角形，简单三角函数4、培养同学们的思维能力和转化思想【知识要点】1、把实际问题转化为一个含有直角三角形的计算问题，应用勾股定理来加以解决，其间关健在于找出这个直角三角形。2、在运用勾股定理解决实际问题的过程中，感受数学的“转化”思想(把解斜三角形问题转化为解直角三角形的问题)，进一步发展有条理思考和有条理表达的能力，体会数学的应用价值。3、有时候还要结合全等三角形或简单三角函数等相关知识来解决勾股定理相关实际应用问题，要灵活运用所学知识。【典型例题】例1、如图，设四边形ABCD是边长为1的正方形，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去．（1）记正方形ABCD的边长为a1=1，按上述方法所作的正方形的边长依次为a2，a3，a4，……，an，请求出a2，a3，a4的值；（2）根据以上规律写出an的表达式．例2、如图所示,有一条小路穿过长方形的草地ABCD,若AB=60m,BC=84m,AE=100m,则这条小路的面积是多少?例3、如图，一架长2.5m的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯足B到墙底端C的距离为0.7m，AA1共59页，第页13若梯子的顶端沿墙下滑0.4m。那么梯足将外移多少米？例4、古时候有这么一道数学题：风动红莲平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边，渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？例5、如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？例6、如图，某沿海开放城市A接到台风警报，在该市正南方向260km的B处有一台风中心，沿BC方向以15km/h的速度向D移动，已知城市A到BC的距离AD=100km，那么台风中