2012届高考数学二轮复习精品课件(大纲版)专题7 第21讲 函数与方程思想和数形结合思想

第21讲函数与方程思想和数形结合思想第22讲分类与整合思想和转化与化归思想专题七数学思想方法专题七数学思想方法知识网络构建专题七│知识网络构建考情分析预测专题七│考情分析预测考向预测对数学思想和方法的考查是对数学知识在更高层次上的抽象和概括的考查，考查时必须与数学知识相结合，高考命题是通过数学知识的考查，来反映对数学思想方法的理解和掌握程度．四种数学思想方法是每年高考的必考内容，是高考考查的重点，各种题型都有，难度中等偏上．(1)与函数和方程思想有关的常见题型有：①与不等式、方程有关的最值问题；②建立目标函数，求最值或最优解问题；③在含有多个变量的问题中，选择合适的自变量构造函数解题；④实际应用问题，建立函数关系，利用函数性质、导数、不等式性质等知识解答；⑤利用函数思想解决数列中的问题．(2)与数形结合思想有关的常见题型：①集合间关系利用韦恩图求解；②以数学公式、数学概念的几何意义、函数图象为载体的综合题，如截距、斜率、距离、导数的几何意义，借助图象求解．专题七│考情分析预测(3)与分类与整合思想有关的常见题型：①含有参数的函数性质问题、交点问题；②对由数学概念引起的分类讨论问题，如对指数函数、对数函数的底数的讨论，对一元二次不等式的二次项系数的讨论；③由公式定理引起的讨论问题，如绝对值、等比数列前n项和的计算问题．(4)与转化与化归思想有关的常见题型：①未知转化为已知(复杂转化为简单)；②函数与方程的相互转化；③正与反、一般与特殊的转化，即正难则反、特殊化原则；④空间与平面的相互转化；⑤常量与变量的转化；⑥数与形的转化；⑦相等与不等的相互转化；⑧实际问题与数学模型的转化．专题七│考情分析预测备考策略二轮复习时，要有效地掌握以下几个方面：数学思想与方法是通过数学知识体现的，在复习中，要养成利用数学思想分析问题、思考问题、解答问题的习惯意识．(1)对于函数与方程思想，在解题中要善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数与方程的相互转化的关系是应用函数与方程思想解题的关键．(2)数形结合的实质是把抽象的数学语言和直观的图象语言结合起来，即将代数问题几何化，几何问题代数化．在运用数形结合思想分析问题时，要注意三点：①理解一些概念与运算法则的几何意义以及曲线的代数特征，对题目中的条件和结论既分析其几何意义，又分析其代数意义；②恰当设参、合理用参，建立关系，由形思数，以数想形，做好数形转化；③确定参数的取值范围，参数的范围决定图形的范围．专题七│考情分析预测(3)分类与整合思想实质上是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略．利用好分类与整合思想可以优化解题思路，降低问题难度．复习中要养成分类与整合的习惯，常见的分类情形有：概念分类型，运算需要型，参数变化型，图形变动型．(4)转化与化归思想是高中数学学习中最基本、最重要的思想方法，它无处不在．比如：解不等式时，将分式不等式转化为整式不等式来求解；处理立体几何问题时，将空间的问题转化到一个平面上解决；在解析几何中，通过建立坐标系将几何问题划归为代数问题；复数问题化归为实数问题等．专题七│近年高考纵览专题七│近年高考纵览第21讲函数与方程思想和数形结合思想第21讲函数与方程思想和数形结合思想主干知识整合第21讲│主干知识整合1．函数与方程思想在解题应用中主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；二是通过建立函数关系式或构造中间函数把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易、化繁为简的目的．数列是一种特殊的函数，它的通项或前n项和都是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题十分重要；函数f(x)＝(ax＋b)n(n∈N*)与二项式定理是密切相关的，利用这个函数用赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题；解析几何的许多问题，如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，涉及二次方程与二次函数的有关理论；立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决．第21讲│主干知识整合2．数形结合的思想方法就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法．数形结合思想通过“以形助数，以数析形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合．使用数形结合的方法，很多问题能够迎刃而解，且解法简捷．数形结合思想方法的应用十分广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，运用数形结合思想，不仅直观，易发现解题途径，而且能够避免复杂的数学计算与推理，大大简化解题过程．数形结合的重点是“以形助数”，在解选择题、填空题中更显其优越性．例1[2011·福建卷]已知函数f(x)＝ex＋x.对于曲线y＝f(x)上横坐标成等差数列的三个点A、B、C，给出以下判断：①△ABC一定是钝角三角形；②△ABC可能是直角三角形；③△ABC可能是等腰三角形；④△ABC不可能是等腰三角形．其中，正确的判断是()A．①③B．①④C．②③D．②④要点热点探究第21讲│要点热点探究►探究点一利用函数性质解题第21讲│要点热点探究【分析】注意到函数f(x)＝ex＋x是单调递增的函数，从分析函数的图象特征入手，画出大致图形，利用函数的相关性质，再去分析讨论△ABC的形状．B【解析】解法一：(1)设A、B、C三点的横坐标分别为x1，x2，x3(x1x2x3),∵f′(x)＝ex＋10，∴f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f(x1)f(x2)f(x3)，且fx1＋x32fx1＋fx32，∵BA→＝(x1－x2，f(x1)－f(x2))，BC→＝(x3－x2，f(x3)－f(x2))，∴BA→·BC→＝(x1－x2)(x3－x2)＋(f(x1)－f(x2))(f(x3)－f(x2))0，∴∠ABC为钝角，判断①正确，②错；第21讲│要点热点探究(2)若△ABC为等腰三角形，则只需AB＝BC，即(x1－x2)2＋(f(x1)－f(x2))2＝(x3－x2)2＋(f(x3)－f(x2))2，∵x1，x2，x3成等差数列，即2x2＝x1＋x3，且f(x1)f(x2)f(x3)，只需f(x2)－f(x1)＝f(x3)－f(x2)，即2f(x2)＝f(x1)＋f(x3)，即fx1＋x32＝fx1＋fx32，这与fx1＋x32fx1＋fx32相矛盾，∴△ABC不可能是等腰三角形，判断③错误，④正确，故选B.第21讲│要点热点探究解法二：(1)设A、B、C三点的横坐标为x1，x2，x3(x1x2x3),∵f′(x)＝ex＋10，∴f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，画出f(x)的图象(大致)．∴f(x1)f(x2)f(x3)，且fx1＋x32fx1＋fx32，第21讲│要点热点探究如图，设直线AB、BC的倾斜角分别为α和β，由0kABkBC，得αβπ2，故∠ABC＝π－(β－α)为钝角，判断①正确，②错误；由x1，x2，x3成等差数列，得x2－x1＝x3－x2，若△ABC为等腰三角形，只需AB＝BC，则f(x2)－f(x1)＝f(x3)－f(x2)，由0kABkBC，知上式不成立，判断③错误，④正确，故选B.【点评】本题主要考查函数的单调性、直线斜率及三角形形状的判断等知识，解答问题的基本方法就是灵活理解函数思想，应用函数性质解题．第21讲│要点热点探究(1)已知函数y＝f(x)的图象与函数y＝log21x＋1的图象关于直线y＝x对称，则f(1)的值为()A．1B．－1C.12D．－12(2)若函数f(x)对定义域内的任意x都有f(x)＝f(2－x)，且当x≠1时，其导函数f′(x)满足xf′(x)＞f′(x)，若1＜a＜2，则()A．f(2a)＜f(2)＜f(log2a)B．f(2)＜f(log2a)＜f(2a)C．f(log2a)＜f(2)＜f(2a)D．f(log2a)＜f(2a)＜f(2)第21讲│要点热点探究(1)D(2)C【解析】(1)由原函数与反函数的对称性质知，点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)．所以要求f(1)的值即求满足1＝log21x＋1的x的值，解得x＝－12.(2)由xf′(x)＞f′(x)得(x－1)f′(x)＞0，∴当x＞1时，f′(x)＞0，即函数f(x)在(1，＋∞)上为增函数．又1＜a＜2得2a＞2，log2a∈(0,1)，∴2－log2a∈(1,2)．由f(x)＝f(2－x)知f(log2a)＝f(2－log2a)．于是，由2a＞2＞2－log2a＞1得f(2a)＞f(2)＞f(2－log2a)＝f(log2a)．第21讲│要点热点探究►探究点二变函数为方程解题例2[2011·浙江卷]若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝________.【分析】一个函数为偶函数，则由偶函数的性质得f(－x)＝f(x)对自变量x在定义域内的每一个值都成立．0【解析】∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，即x2－|x＋a|＝(－x)2－|－x＋a|⇒x＋a＝x－a，∴a＝0.【点评】本题考查函数奇偶性的概念和绝对值的性质．对于函数中一类求参数值的问题，其实质就是建立方程(或方程组)，变函数问题为方程问题求解．函数与方程很多时候都是密切联系、相互转化的．第21讲│要点热点探究(1)[2011·湖北卷]已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2(a0，且a≠1)．若g(2)＝a，则f(2)＝()A．2B.154C.174D．a2(2)函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a，则a的值为()A.14B.12C．2D．4第21讲│要点热点探究(1)B(2)B【解析】(1)因为函数f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，所以由f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2①，得－f(x)＋g(x)＝a－x－ax＋2②，①＋②，得g(x)＝2，①－②得f(x)＝ax－a－x.又g(2)＝a，所以a＝2，所以f(x)＝2x－2－x，所以f(2)＝154.(2)∵函数y＝ax与y＝loga(x＋1)具有相同的单调性，∴函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上单调，则f(0)＋f(1)＝a，即a0＋loga1＋a1＋loga2＝a，化简得loga2＝－1，解得a＝12.第21讲│要点热点探究►探究点三函数问题中的数形结合例3[2011·山东卷]已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为()A．6B．7C．8D．9B【解析】当0≤x2时，f(x)＝x3－x＝x(x2－1)＝0，所以当0≤x2时，f(x)与x轴交点的横坐标为x1＝0，x2＝1.当2≤x4时，0≤x－22，则f(x－2)＝(x－2)3－(x－2)，又周期为2，所以f(x－2)＝f(x)，所以f(x)＝(x－2)(x－1)(x－3)，所以当2≤x4时，f(x)与x轴交点的横坐标为x3＝2，x4＝3；同理当4≤x≤6时，f(x)与x轴交点的横坐标分别为x5＝4，x6＝5，x7＝6，所以共有7个交点．第21讲│要点热点探究【点评】本题考查函数的周期性、奇偶性以及函数图象等知识，体现了数形结合思想在解题中的应用．熟记基本函数图象，熟练运用函数图象的变换，利用函数图象解题往往是解决函数问题的一条捷径．第21讲│要点热点探究(1)[2011·重庆卷]下列区间中，函数f(x)＝ln2－x在其上为增函数的是()A．(－∞，1]B.－1，43C.0，32D．[1,2)(2)设f(x)＝sinπx是[0,1]上的函数，且定义f1(x)＝f(x)，f2(x