2012届高考数学二轮复习精品课件(江苏专用)专题6 存在性问题

专题六存在性问题专题六存在性问题主干知识整合专题六│主干知识整合1．在代数综合问题中常遇到存在性问题．与恒成立问题类似，存在性问题涉及常见函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法．2．存在性问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：(1)∃x∈D，f(x)C；(2)∃x∈D，f(x)g(x)；(3)∀x1∈D，∃x2∈D，f(x1)＝g(x2)；(4)∀x1∈D，∃x2∈D，f(x1)g(x2)．3．存在性问题处理方法(1)转换求函数的最值；(2)分离参数法；(3)转换成函数图象问题；(4)转化为恒成立问题．要点热点探究专题六│要点热点探究对于∃x∈D，f(x)g(x)的研究，先设h(x)＝f(x)－g(x)，再等价为∃x∈D，h(x)max0，其中若g(x)＝c，则等价为∃x∈D，f(x)maxc.例1已知函数f(x)＝x3－ax2＋10.(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)在区间[1,2]内至少存在一个实数x，使得f(x)0成立，求实数a的取值范围．►探究点一∃x∈D，f(x)g(x)的研究专题六│要点热点探究【解答】(1)当a＝1时，f′(x)＝3x2－2x，f(2)＝14，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率k＝f′(2)＝8，所以曲线y＝f(x)在点(2，f(x))处的切线方程为8x－y－2＝0.(2)解法一：f′(x)＝3x2－2ax＝3xx－23a(1≤x≤2)，当23a≤1，即a≤32时，f′(x)≥0，f(x)在[1,2]上为增函数，故f(x)min＝f(1)＝11－a，所以11－a0，a11，这与a≤32矛盾．当123a2，即32a3时，当1≤x23a，f′(x)0；当23ax≤2，f′(x)0，所以x＝23a时，f(x)取最小值，因此有f23a0，即827a3－49a3＋10＝－427a3＋100，解得a3352，这与32a3矛盾；当23a≥2，即a≥3时，f′(x)≤0，f(x)在[1,2]上为减函数，所以f(x)min＝f(2)＝18－4a，所以18－4a0，解得a92，这符合a≥3.综上所述，a的取值范围为a92.解法二：由已知得：ax3＋10x2＝x＋10x2，设g(x)＝x＋10x2(1≤x≤2)，g′(x)＝1－20x3，∵1≤x≤2，∴g′(x)0，所以g(x)在[1,2]上是减函数．g(x)min＝g(2)，所以a92.专题六│要点热点探究专题六│要点热点探究【点评】解法一在处理时，需要用分类讨论的方法，讨论的关键是极值点与区间[1,2]的关系；解法二是用的参数分离，由于ax2x3＋10中x2∈[1,4]，所以可以进行参数分离，而无需要分类讨论．已知函数f(x)＝x(x－a)2，g(x)＝－x2＋(a－1)x＋a(其中a为常数)．(1)如果函数y＝f(x)和y＝g(x)有相同的极值点，求a的值；(2)设a0，问是否存在x0∈－1，a3，使得f(x0)g(x0)，若存在，请求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．专题六│要点热点探究【解答】(1)f(x)＝x(x－a)2＝x3－2ax2＋a2x，则f′(x)＝3x2－4ax＋a2＝(3x－a)(x－a)，令f′(x)＝0，得x＝a或a3，而g(x)在x＝a－12处有极大值．∴a－12＝a⇒a＝－1，或a－12＝a3⇒a＝3.综上，a＝3或a＝－1.专题六│要点热点探究(2)假设存在，即存在x0∈－1，a3，使得f(x0)－g(x0)＝x0(x0－a)2－[－x20＋(a－1)x0＋a]＝x0(x0－a)2＋(x0－a)(x0＋1)＝(x0－a)[x20＋(1－a)x0＋1]0，当x0∈－1，a3时，又a0，故x0－a0，则存在x0∈－1，a3，使得x20＋(1－a)x0＋10.①当a－12a3，即a3时，由a32＋(1－a)a3＋10得a3或a－32，∴a3；②当－1≤a－12≤a3，即0a≤3时，4－a－1240得a－1或a3，∴a无解．综上，a3.专题六│要点热点探究对于∀x1∈D，∃x2∈D，f(x1)＝g(x2)的研究，若函数f(x)的值域为C1，函数g(x)的值域为C2，则该问题等价为C1⊆C2.例2设函数f(x)＝－13x3－13x2＋53x－4.(1)求f(x)的单调区间；(2)设a≥1，函数g(x)＝x3－3a2x－2a.若对于任意x1∈[0,1]，总存在x0∈[0,1]，使得f(x1)＝g(x0)成立，求a的取值范围．►探究点二∀x1∈D，∃x2∈D，f(x1)＝g(x2)的研究专题六│要点热点探究【解答】(1)f′(x)＝－x2－23x＋53，令f′(x)0，即x2＋23x－530，解得－53x1，∴f(x)的单调增区间为－53，1；单调减区间为－∞，－53和(1，＋∞)．(2)由(1)可知：当x∈[0,1]时，f(x)单调递增，∴当x∈[0,1]时，f(x)∈[f(0)，f(1)]，即f(x)∈[－4，－3]．又g′(x)＝3x2－3a2，且a≥1，∴当x∈[0,1]时，g′(x)≤0，g(x)单调递减，∴当x∈[0,1]时，g(x)∈[g(1)，g(0)]，即g(x)∈[－3a2－2a＋1，－2a]，又对于任意x1∈[0,1]，总存在x0∈[0,1]，使得f(x1)＝g(x0)成立⇔[－4，－3]⊆[－3a2－2a＋1，－2a]，即－3a2－2a＋1≤－4，－3≤－2a，解得1≤a≤32.专题六│要点热点探究【点评】对于∀x∈D，f(x)＝c要成立，c的取值集合就是函数f(x)的值域，对于∃x∈D，使得c＝g(x)，c应该属于g(x)的取值集合，所以函数f(x)的值域为g(x)的值域的子集．专题六│要点热点探究对于∀x1∈D，∃x2∈D，f(x1)g(x2)的研究，第一步先转化为∃x2∈D，f(x1)ming(x2)，再将该问题按照探究点一转化为f(x1)ming(x2)min.例3已知函数f(x)＝2|x－m|和函数g(x)＝x|x－m|＋2m－8.(1)若方程f(x)＝2|m|在[－4，＋∞)上恒有惟一解，求实数m的取值范围；(2)若对任意x1∈(－∞，4]，均存在x2∈[4，＋∞)，使得f(x1)g(x2)成立，求实数m的取值范围．►探究点三∀x1∈D，∃x2∈D，f(x1)g(x2)的研究专题六│要点热点探究【解答】(1)由f(x)＝2|m|在x∈[－4，＋∞)上恒有惟一解，得|x－m|＝|m|在x∈[－4，＋∞)上恒有惟一解．当x－m＝m时，得x＝2m，则2m＝0或2m－4，即m－2或m＝0.综上，m的取值范围是m－2或m＝0.(2)f(x)＝2x－mx≥m，2m－xxm，原命题等价为f(x1)ming(x2)min.①当4≤m≤8时，f(x)在(－∞，4]上单调递减，故f(x)≥f(4)＝2m－4，g(x)在[4，m]上单调递减，[m，＋∞)上单调递增，故g(x)≥g(m)＝2m－8，所以2m－42m－8，解得4m5或m6.所以4m5或6m≤8.②当m8时，f(x)在(－∞，4]上单调递减，故f(x)≥f(4)＝2m－4，g(x)在4，m2单调递增，m2，m上单调递减，[m，＋∞)上单调递增，专题六│要点热点探究g(4)＝6m－24g(m)＝2m－8，故g(x)≥g(m)＝2m－8，所以2m－42m－8，解得4m5或m6.所以m8.③0m4时，f(x)在(－∞，m]上单调递减，[m,4]上单调递增，故f(x)≥f(m)＝1.g(x)在[4，＋∞)上单调递增，故g(x)≥g(4)＝8－2m，所以8－2m1，即72m4.④m≤0时，f(x)在(－∞，m]上单调递减，[m,4]上单调递增，故f(x)≥f(m)＝1.g(x)在[4，＋∞)上单调递增，故g(x)≥g(4)＝8－2m，所以8－2m1，即m72(舍去)．综上，m的取值范围是72，5∪(6，＋∞)．专题六│要点热点探究【点评】对于∀x∈D，f(x)c，可以转化为f(x)minc；∃x∈D，cg(x)，可以转化为cg(x)min，所以本问题类型可以分两步处理，转化为f(x)ming(x)min.规律技巧提炼专题六│规律技巧提炼1．对于恒成立问题或存在性问题常见基本类型为∀x∈D，f(x)c，可以转化为f(x)minc；∃x∈D，cg(x)，可以转化为cg(x)min，∃x∈D，c＝g(x)，可以转化为c∈{y|y＝g(x)}，对于由这些含有量词的命题组合而成的含有两个量词命题的问题，可以采取分步转化的方法来处理．2．对于含有参数的恒成立问题或存在性问题，常用的处理方法有分类讨论或参数分离，并借助于函数图象来解决问题．专题六│课本挖掘提升课本挖掘提升(教材选修2－1P20复习题5改编)例命题“∃x∈(0，＋∞)，x2－ax＋1≤0”为真命题，则a的取值范围为________．【分析】本题可以参数分离，等价为∃x∈D，f(x)≤a，即f(x)min≤a.【答案】a≥2【解析】原命题等价为∃x∈(0，＋∞)，x2＋1x≤a，令f(x)＝x2＋1x＝x＋1x≥2，所以a≥2.已知命题“∃x∈R，|x－a|＋|x＋1|≤2”是假命题，则实数a的取值范围是________．专题六│课本挖掘提升(－∞，－3)∪(1，＋∞)【解析】由题意知，原命题的否定“∀x∈R，|x－a|＋|x＋1|2”为真命题，又|x－a|＋|x＋1|≥|a＋1|，所以|a＋1|2，解得a1或a－3.已知函数f(x)＝mx33＋x2－x，m∈R，函数f(x)在(2，＋∞)上存在单调递增区间，求m的取值范围．专题六│课本挖掘提升【分析】本题先等价为f′(x)在(2，＋∞)上存在子区间使f′(x)0，并借助于图象进行研究．由于参数m出现在x3项上，故还需要讨论m是否等于0.【解答】①当m0时，f′(x)＝mx2＋2x－1是开口向上的抛物线，显然f′(x)在(2，＋∞)上存在子区间使得f′(x)0，所以m的取值范围是(0，＋∞)．②当m＝0时，显然成立．③当m0时，f′(x)＝mx2＋2x－1是开口向下的抛物线，要使f′(x)在(2，＋∞)上存在子区间使f′(x)0，应满足m0－1m≥2，f′－1m0，或m0，－1m2，f′20.解得－12≤m0，或－34m－12，所以m的取值范围是－34，0.综上，m的取值范围是－34，＋∞.专题六│课本挖掘提升