2012届高考数学二轮复习精品课件(江苏专用)专题9 三角函数的图象和性质

专题九三角函数的图象与性质专题九三角函数的图象和性质主干知识整合专题九│主干知识整合专题九│主干知识整合专题九│主干知识整合2.三角函数性质的研究三角函数也是函数，研究其函数性质时，可以从三角函数的解析式或三角函数的图象进行研究．在研究函数性质时，首先应将所给三角函数化归为y＝Asin(ωx＋φ)、y＝Acos(ωx＋φ)、y＝Atan(ωx＋φ)，再利用换元t＝ωx＋φ，从而转化为y＝Asint、y＝Acost、y＝Atant的性质进行研究．要点热点探究专题九│要点热点探究►探究点一三角函数的图象与变换三角函数图象的研究主要是根据函数图象求函数的解析式和函数的性质；三角函数图象的变换主要是指平移变换、伸缩变换、对称变换．专题九│要点热点探究例1(1)给出下列六种图象变换方法：①图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变；②图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变；③图象向右平移π3个单位长度；④图象向左平移π3个单位长度；⑤图象向右平移2π3个单位长度；⑥图象向左平移2π3个单位长度．图9－1请用上述变换中的两种变换，将函数y＝sinx的图象变换到函数y＝sinx2＋π3的图象，那么这两种变换的序号依次是．．．________(填上一种你认为正确的答案即可)．专题九│要点热点探究(2)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0，φ∈[0,2π))的图象如图9－1所示，则φ＝________.(1)④②或②⑥(填出其中一种即可)(2)π4【解析】(1)y＝sinx④,y＝sinx＋π3②,y＝sinx2＋π3，或y＝sinx②,y＝sin12x⑥,y＝sin12x＋2π3＝sinx2＋π3.(2)T＝2(7－3)＝8，ω＝2π8＝π4，A＝3，f(x)＝3sinπ4x＋φ，将(3,0)代入得：3π4＋φ＝2kπ＋π，即φ＝2kπ＋π4.又φ∈[0,2π)，所以φ＝π4.专题九│要点热点探究【点评】(1)三角函数图象进行变换时，要注意先伸缩变换后平移变换与先平移变换后伸缩变换的差异．如y＝sin2x向左平移π4个单位得到y＝sin2x＋π4＝sin2x＋π2＝cos2x，而y＝sinx向左平移π2得到y＝sinx＋π2＝cosx，再进行伸缩变换得到y＝cos2x，同样的伸缩变换，但平移的单位却不同．(2)A，ω，φ这三个值求解以φ最困难，其中如果图象上没有给出最高点和最低点坐标，而只给了函数的零点时，要区分对待，如点(3,0)在减区间内，则3ω＋φ＝2kπ＋π，如点(7,0)在增区间内，则7ω＋φ＝2kπ.当然本题也可由对称性得到最低点坐标(5，－3)，此时代入对应的值是惟一的．专题九│要点热点探究►探究点二三角函数的周期性与对称性对于函数y＝Asin(ωx＋φ)的周期是由ω的值来决定，而周期性也影响了三角函数的对称性和单调性．对称轴的方程和对称中心的坐标还要受到φ的值的影响，所以考查时常有由性质求解析式，由解析式来研究性质．例2(1)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω0)的图象关于直线x＝π3对称，且fπ12＝0，则ω的最小值为________．(2)设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为π，且f(－x)＝f(x)，则f(x)的单调减区间为________．专题九│要点热点探究(1)2(2)kπ，kπ＋π2(k∈Z)【解析】(1)由题意得：ωπ3＋φ＝kπ＋π2，又ωπ12＋φ＝k1π，所以ωπ4＝k′π＋π2，即ω＝4k′＋2，又ω0，所以ω的最小值为2.(2)∵f(x)＝2sinωx＋φ＋π4，由题意知2πω＝π且φ＋π4＝kπ＋π2，解得ω＝2，φ＝kπ＋π4.又∵|φ|＜π2，∴φ＝π4，∴f(x)＝2sin2x＋π2＝2cos2x.令2kπ≤2x≤2kπ＋π，得kπ≤x≤kπ＋π2，故f(x)的单调减区间为kπ，kπ＋π2(k∈Z)．专题九│要点热点探究【点评】(1)三角函数的对称轴和对称中心都可以转化为关于ω，φ的二元方程．(2)题干给出的周期性是用来确定ω的值的，第二个条件为f(－x)＝f(x)是为了解决φ的值，确定解析式后，即可求出三角函数的性质．专题九│要点热点探究(1)若f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋1(ω0，|φ|π)对任意实数t，都有ft＋π3＝f－t＋π3.记g(x)＝Acos(ωx＋φ)－1，则gπ3＝________.(2)设ω0，函数y＝sinωx＋π3＋2的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合，则ω的最小值是________．专题九│要点热点探究(1)－1(2)32【解析】(1)由于任意实数t，函数f(x)有ft＋π3＝f－t＋π3成立，故f(x)的图象关于直线x＝π3对称，即sinπ3ω＋φ＝±1，从而cosπ3ω＋φ＝0，故gπ3＝－1.(2)将y＝sinωx＋π3＋2的图象向右平移4π3个单位后为y＝sinωx－4π3＋π3＋2＝sinωx＋π3－4ωπ3＋2，所以有4ωπ3＝2kπ，即ω＝3k2.又因为ω0，所以k≥1，故ω＝3k2≥32，所以ω的最小值是32.专题九│要点热点探究►探究点三三角函数的单调性与值域对于函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调性和值域求解，首先应该将所给三角函数进行化归后，通过设t＝ωx＋φ的换元处理，从而转化为y＝sinx的单调性进行研究，明确单调性后，值域即可求出．专题九│要点热点探究例3已知函数f(x)＝sin2x－π6＋cos2x－π3＋sinxcosx，x∈R.(1)求f(x)的最大值及取得最大值时的x的值；(2)求f(x)在[0，π]上的单调增区间．专题九│要点热点探究【解答】(1)f(x)＝1－cos2x－π32＋1＋cos2x－2π32＋12sin2x＝1＋12(sin2x－cos2x)＝22sin2x－π4＋1.当2x－π4＝2kπ＋π2，即x＝kπ＋3π8，k∈Z时，f(x)得最大值为22＋1.(2)由2kπ－π2≤2x－π4≤2kπ＋π2，得kπ－π8≤x≤kπ＋3π8，k∈Z.又因为0≤x≤π，所以f(x)在[0，π]上的增区间为0，3π8和7π8，π.专题九│要点热点探究【点评】三角函数性质的研究，重点是三角函数的化简，本题所给函数的解析式中方次均为二次，故需要用二倍角公式进行降幂，再观察角分别为2x－π3与2x，还需要用和差角公式进行统一，最终化归为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，即可将ωx＋φ看做整体，研究函数的性质．专题九│要点热点探究已知函数f(x)＝sin2x＋π6－cos2x＋π3＋2cos2x.(1)求fπ12的值；(2)求f(x)的最大值及相应x的值．【解析】本小题考查三角函数的求值以及运用三角函数中的两角和与差公式进行化简的能力，考查考生对基础知识、基本技能的掌握情况．专题九│要点热点探究【解答】(1)fπ12＝sin2×π12＋π6－cos2×π12＋π3＋2cos2π12＝sinπ3－cosπ2＋1＋cosπ6＝32－0＋1＋32＝3＋1.(2)∵f(x)＝sin2x＋π6－cos2x＋π3＋2cos2x＝sin2xcosπ6＋cos2xsinπ6－cos2xcosπ3＋sin2xsinπ3＋cos2x＋1＝3sin2x＋cos2x＋1＝2sin2x＋π6＋1，当sin2x＋π6＝1时，f(x)max＝2＋1＝3，此时，2x＋π6＝2kπ＋π2，即x＝kπ＋π6(k∈Z)．规律技巧提炼专题九│规律技巧提炼1．三角函数的图象和性质的研究主要涉及的方向为正余弦函数叠加后所得函数的研究，首先需要对所给函数进行化归，在化归的过程中要注意“角”“名”“次”的统一，化归后的函数需要整体处理(换元)，再研究其性质，故对y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的性质必须掌握．2．在三角函数的性质研究时，要注意“形”和“式”之间的联系，即A，ω，x，φ对函数性质和图象的影响．3．三角函数图象的变换中要注意先伸缩变换后平移变换与先平移变换后伸缩变换的差异．专题九│江苏真题剖析江苏真题剖析例[2011·江苏卷]函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A0，ω0)的部分图象如图9－2所示，则f(0)的值是________．图9－2【分析】本题根据三角函数的图象先求出三角函数解析式，再代入自变量求出函数值．在高考题中较为基础，其中要注意代入函数零点时，要区别零点所在的单调区间．专题九│江苏真题剖析【答案】62【解析】由图象可得A＝2，周期为4×7π12－π3＝π，所以ω＝2，将7π12，－2代入得2×7π12＋φ＝2kπ＋32π，即φ＝2kπ＋π3，所以f(0)＝2sinφ＝2sinπ3＝62.图9－3专题九│要点热点探究若函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的部分图象如图9－3所示，则ω的值为________．π4【解析】由图可知3T4＝6，得T＝8，故2πω＝8⇒ω＝π4.专题九│要点热点探究定义在区间0，π2上的函数y＝6cosx的图象与y＝5tanx的图象的交点为P，过点P作PP1⊥x轴于点P1，直线PP1与y＝sinx的图象交于点P2，则线段P1P2的长为________．23【解析】画出函数的图象，如图所示，由y＝6cosx与y＝5tanx联立成方程组得：6cosx＝5tanx，即6cosx＝5sinxcosx，也即6sin2x＋5sinx－6＝0，解得sinx＝23或sinx＝－32(舍去)，故P1P2＝sinx＝23.