2012届高考数学二轮复习精品课件(课标版)专题2 第5讲 三角恒等变换与三角函数

第5讲三角恒等变换与三角函数第6讲解三角形第7讲平面向量专题二三角函数、平面向量专题二三角函数、平面向量知识网络构建专题二│知识网络构建考情分析预测专题二│考情分析预测考向预测该专题是高考重点考查的部分，从最近几年考查的情况看，主要考查三角函数的图象和性质、三角函数式的化简与求值、正余弦定理解三角形、三角形中的三角恒等变换、平面向量的线性运算、平面向量的数量积、平面向量的平行与垂直，以及三角函数、解三角形和平面向量在立体几何、解析几何等问题中的应用．该部分在试卷中一般是2～3个选择题或者填空题，一个解答题，选择题在于有针对性地考查本专题的重要知识点(如三角函数性质、平面向量的数量积等)，解答题一般有三个命题方向，一是以考查三角函数的图象和性质为主，二是把解三角形与三角函数的性质、三角恒等变换交汇，三是考查解三角形或者解三角形在实际问题中的应用．由于该专题是高中数学的基础知识和工具性知识，在试题的难度上不大，一般都是中等难度或者较为容易的试题．基于这个实际情况以及高考试题的相对稳定性，我们预测在2012年的高考中该部分的可能考查情况如下：专题二│考情分析预测(1)在选择题或者填空题部分命制2～3个试题，考查三角函数的图象和性质、通过简单的三角恒等变换求值、解三角形、平面向量线性运算、平面向量的数量积运算等该专题的重点知识中的2～3个方面．试题仍然是突出重点和重视基础，难度不会太大．(2)在解答题的前两题(一般是第一题)的位置上命制一道综合性试题，考查综合运用该部分知识分析解决问题的能力，试题的可能考查方向如我们上面的分析．从难度上讲，如果是单纯的考查三角函数图象与性质、解三角形、在三角形中考查三角函数问题，则试题难度不会大，但如果考查解三角形的实际应用，则题目的难度可能会大一点，但也就是中等难度．专题二│考情分析预测由于该专题内容基础，高考试题的难度不大，经过一轮复习的学生已经达到了高考的要求，二轮复习就是在此基础上进行的巩固和强化，在复习中注意如下几点：(1)该专题具有基础性和工具性，虽然没有什么大的难点问题，但包含的内容非常广泛，概念、公式、定理很多，不少地方容易混淆，在复习时要根据知识网络对知识进行梳理，系统掌握其知识体系．(2)抓住考查的主要题型进行训练，要特别注意如下几个题型：根据三角函数的图象求函数解析式或者求函数值，根据已知三角函数值求未知三角函数值，与几何图形结合在一起的平面向量数量积，解三角形中正弦定理、余弦定理、三角形面积公式的综合运用，解三角形的实际应用问题．(3)注意数学思想方法的应用，该部分充分体现了数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想(变换)，在复习中要有意识地使用这些数学思想方法，强化数学思想方法在指导解题中的应用．备考策略专题二│考情分析预测第5讲三角恒等变换与三角函数第5讲三角恒等变换与三角函数主干知识整合第5讲│主干知识整合1．y＝Asin(ωx＋φ)(A0)的图象特点：①在对称轴处取得最大值或最小值；②对称中心就是函数图象与x轴的交点；③两相邻的对称中心(或对称轴)之间相差半个周期，相邻的一个对称中心和对称轴之间相差四分之一个周期．2．三角函数的恒等变换：从函数名、角、运算三方面进行差异分析，常用的技巧有：切割化弦，降幂，用三角公式转化出现特殊角，异角化同角，异名化同名，高次化低次等．二倍角公式是实现降幂或升幂的主要依据，注意其变形：1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α，cos2α＝1＋cos2α2，sin2α＝1－cos2α2.要点热点探究第5讲│要点热点探究►探究点一简单的三角恒等变换例1(1)[2011·浙江卷]若0απ2，－π2β0，cos（π4＋α）＝13，cos（π4－β2）＝33，则cos（α＋β2）＝()A.33B．－33C.539D．－69(2)[2011·重庆卷]已知sinα＝12＋cosα，且α∈0，π2，则cos2αsinα－π4的值为________．第5讲│要点热点探究(1)C(2)－142【解析】(1)∵cosπ4＋α＝13，0απ2，∴sinπ4＋α＝233.又∵cosπ4－β2＝33，－π2β0，∴sinπ4－β2＝63，∴cosα＋β2＝cosπ4＋α－π4－β2＝cosπ4＋αcosπ4－β2＋sinπ4＋αsinπ4－β2＝13×33＋223×63＝539.第5讲│要点热点探究(2)cos2αsinα－π4＝cos2α－sin2α22sinα－cosα＝cosα＋sinαcosα－sinα22sinα－cosα＝－2(cosα＋sinα)，∵sinα＝12＋cosα，∴cosα－sinα＝－12，两边平方得1－2sinαcosα＝14，所以2sinαcosα＝34.∵α∈0，π2，∴cosα＋sinα＝cosα＋sinα2＝1＋34＝72，∴cos2αsinα－π4＝－142.第5讲│要点热点探究【点评】在进行三角恒等变换时，一个重要的技巧是进行角的变换，把求解的角用已知角表示出来，把求解的角的三角函数使用已知的三角函数表示出来，常见的角的变换有，把π2＋2α变换成2π4＋α，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2α＝(β＋α)－(β－α)，α＋β＝2·α＋β2，α＋β2＝α－β2－α2－β等；在进行三角函数化简或者求值时，如果求解目标较为复杂，则首先要变换这个求解目标，使之简化，以便看出如何使用已知条件．第5讲│要点热点探究(1)已知cos2α2sinα＋π4＝52，则tanα＋1tanα的值为()A．－8B．8C．－18D.18(2)若sinα＋2cosα＝0，则1＋cos2αcos2α＋sin2α的值为()A．－23B.25C.23D．－83第5讲│要点热点探究(1)A(2)A【解析】(1)cos2α2sinα＋π4＝52，即cosα－sinα＝52，即sinαcosα＝－18，所以tanα＋1tanα＝1sinαcosα＝－8.(2)由已知sinα＋2cosα＝0得tanα＝－2，1＋cos2αcos2α＋sin2α＝2cos2αcos2α＋2sinαcosα＝2cos2αcos2αcos2αcos2α＋2sinαcosαcos2α＝21＋2tanα＝－23.正确选项为A.第5讲│要点热点探究例2(1)[2011·辽宁卷]已知函数f(x)＝Atan(ωx+φ)ω＞0，|φ|＜π2，y＝f(x)的部分图象如图5－1，则fπ24＝________.图5－1►探究点二三角函数的图象第5讲│要点热点探究(2)要得到函数y＝cos（2x＋π3）的图象，只需将函数y＝12sin2x＋32cos2x的图象()A．向左平移π8个单位B．向右平移π2个单位C．向右平移π3个单位D．向左平移π4个单位【分析】(1)根据正切函数的周期性和已知函数图象上的特殊点的坐标，求出函数的解析式；(2)化函数y＝12sin2x＋32cos2x为余弦型函数，再根据两个函数解析式之间的差异确定变换的方法．第5讲│要点热点探究(1)3(2)D【解析】(1)由图象知πω＝2×3π8－π8＝π2，ω＝2.又由于2×π8＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)，φ＝kπ＋π4(k∈Z).又|φ|π2，所以φ＝π4.这时f(x)＝Atan2x＋π4.又图象过(0,1)，代入得A＝1，故f(x)＝tan2x＋π4.所以fπ24＝tan2×π24＋π4＝3.(2)y＝12sin2x＋32cos2x＝cos2x－π6，故只要把这个函数的x换为x＋π4即可，即把这个函数的图象向左平移π4个单位长度即得函数y＝cos2x＋π3的图象第5讲│要点热点探究【点评】(1)根据函数图象求函数的解析式，主要是根据函数的图象发现函数的性质，如周期性、对称性、特殊点等，然后根据这些性质求出函数解析式中的未知数，在本题中的函数y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期是π|ω|，注意这是近几年来考查的为数不多的一个正切型函数；(2)在进行三角函数的图象变换时，要把需要变换的两个函数化为同一种类型的函数，再根据两个函数解析式的差别确定变换方法．第5讲│要点热点探究(1)[2011·江苏卷]函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A0，ω0)的部分图象如图5－2所示，则f(0)的值是________．图5－2第5讲│要点热点探究(2)给出下列六种图象变换方法：①图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变；②图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变；③图象向右平移π3个单位；④图象向左平移π3个单位；⑤图象向右平移2π3个单位；⑥图象向左平移2π3个单位．请用上述变换中的两种变换，将函数y＝sinx的图象变换到函数y＝sinx2＋π3的图象，那么这两种变换的序号依次是．．．________(填上一种你认为正确的答案即可)．第5讲│要点热点探究(1)62(2)④②或②⑥(填出其中一种即可)【解析】(1)由图象可得A＝2，周期为4×7π12－π3＝π，所以ω＝2，将7π12，－2代入得2×7π12＋φ＝2kπ＋32π，即φ＝2kπ＋π3，所以f(0)＝2sinφ＝2sinπ3＝62.(2)y＝sinx――→④y＝sinx＋π3――→②y＝sinx2＋π3，或y＝sinx――→②y＝sin12x――→⑥y＝sin12x＋2π3＝sinx2＋π3.第5讲│要点热点探究例3[2011·安徽卷]已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ为实数，若f(x)≤fπ6对x∈R恒成立，且fπ2f(π)，则f(x)的单调递增区间是()A.kπ－π3，kπ＋π6(k∈Z)B.kπ，kπ＋π2(k∈Z)C.kπ＋π6，kπ＋2π3(k∈Z)D.kπ－π2，kπ(k∈Z)►探究点三三角函数的性质第5讲│要点热点探究C【解析】对x∈R时，f(x)≤fπ6恒成立，所以fπ6＝sinπ3＋φ＝±1，可得φ＝2kπ＋π6或φ＝2kπ－5π6，k∈Z.因为fπ2＝sin(π＋φ)＝－sinφf(π)＝sin(2π＋φ)＝sinφ，故sinφ0.所以φ＝2kπ－5π6，所以f(x)＝sin2x－5π6.由－π2＋2kπ≤2x－5π6≤π2＋2kπ，得函数f(x)的单调递增区间为kπ＋π6，kπ＋2π3(k∈Z)，答案为C.第5讲│要点热点探究例4设函数f(x)＝sinωx＋sinωx－π2，x∈R.(1)若ω＝12，求f(x)的最大值及相应的x的集合；(2)若x＝π8是f(x)的一个零点，且0ω10，求ω的值和f(x)的最小正周期．【分析】(1)通过三角恒等变换把函数f(x)＝sinωx＋sinωx－π2化为正弦型函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式，然后根据正弦函数的性质解决；(2)即满足fπ8＝0，根据这个方程确定ω的通解，再根据限制条件得出具体的ω值即可．第5讲│要点热点探究【解答】(1)f(x)＝sinωx＋sinωx－π2＝sinωx－cosωx，当ω＝12时，f(x)＝sinx2－cosx2＝2sinx2－π4.而－1≤sinx2－π4≤1，所以f(x)的最大值为2，此时，x2－π4＝π2＋2kπ，k∈Z，即x＝3π2＋4k