2012届高考数学二轮复习精品课件(课标版)专题4 第13讲 点、直线、平面之间的位置关系

第13讲点、直线、平面之间的位置关系第13讲点、直线、平面之间的位置关系主干知识整合第13讲│主干知识整合1．平行关系的转化两平面平行问题常常转化为直线与平面的平行，而直线与平面平行又可转化为直线与直线平行，所以要注意转化思想的应用，以下为三种平行关系的转化示意图．2．解决平行问题时要注意以下结论的应用(1)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．(2)两个平面平行，其中一个平面内的任一直线必平行于另一个平面．第13讲│主干知识整合(3)一条直线与两平行平面中的一个相交，那么它与另一个也相交．(4)平行于同一条直线的两条直线平行．(5)平行于同一个平面的两个平面平行．(6)如果一条直线与两个相交平面都平行，那么这条直线必与它们的交线平行．3．垂直关系的转化与平行关系之间的转化类似，它们之间的转化如下示意图．在垂直的相关定理中，要特别注意记忆面面垂直的性质定理：两个平面垂直，在一个平面内垂直于它们交线的直线必垂直于另一个平面．当题目中有面面垂直的条件时，一般都要用此定理进行转化．要点热点探究第13讲│要点热点探究►探究点一空间线面位置关系的判断例1[2011·四川卷]l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面第13讲│要点热点探究B【解析】对于A，直线l1与l3可能异面；对于C，直线l1、l2、l3可能构成三棱柱三条侧棱所在直线时而不共面；对于D，直线l1、l2、l3相交于同一个点时不一定共面.所以选B.【点评】在直线与直线的位置关系中，要注意平面上两直线位置关系的结论，在空间不一定成立．在解决点线面位置关系的判断时要注意空间问题和平面问题的区别与联系．第13讲│要点热点探究已知a，b，c是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题中正确的是()A．a⊥c，b⊥c⇒a∥bB．a∥α，b∥α⇒a∥bC．α⊥γ，β⊥γ⇒α∥βD．α∥γ，β∥γ⇒α∥βD【解析】选项A中的结论只在平面内成立，在空间不成立；空间线面的平行没有传递性；垂直于同一个平面的两个平面不一定平行；空间平面的平行关系具有传递性．这类空间结论的判断题，只要根据空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理进行，必要时可以利用长方体模型，同时要注意平面几何中的结论不能完全移植到立体几何中．第13讲│要点热点探究►探究点二平行与垂直关系的证明例2[2011·江苏卷]如图13－1，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E、F分别是AP、AD的中点．求证：(1)直线EF∥平面PCD；(2)平面BEF⊥平面PAD.图13－1第13讲│要点热点探究【分析】本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．【解答】证明：(1)在△PAD中，因为E，F分别为AP，AD的中点，所以EF∥PD.又因为EF⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，所以直线EF∥平面PCD.第13讲│要点热点探究(2)连接BD，因为AB＝AD，∠BAD＝60°，所以△ABD为正三角形，因为F是AD的中点，所以BF⊥AD.因为平面PAD⊥平面ABCD，BF⊂平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BF⊥平面PAD.又因为BF⊂平面BEF，所以平面BEF⊥平面PAD.第13讲│要点热点探究【点评】在立体几何的平行关系问题中，“中点”是经常使用的一个特殊点，无论是试题本身的已知条件，还是在具体的解题中，通过找“中点”，连“中点”，即可出现平行线，而线线平行是平行关系的根本．在垂直关系的证明中，线线垂直是问题的核心，可以根据已知的平面图形通过计算的方式证明线线垂直，也可以根据已知的垂直关系证明线线垂直，其中要特别重视两个平面垂直的性质定理，这个定理已知的是两个平面垂直，结论是线面垂直．第13讲│要点热点探究如图13－2，已知四棱锥P－ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝60°，点E、G分别是CD、PC的中点，点F在PD上，且PF∶FD＝2∶1.(1)证明：EA⊥PB；(2)证明：BG∥平面AFC.图13－2第13讲│要点热点探究【解答】证明：(1)因为底面ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，所以△ACD为等边三角形．又因为E是CD的中点，所以EA⊥AB.又PA⊥平面ABCD，所以EA⊥PA.由PA∩AB＝A，所以EA⊥平面PAB，所以EA⊥PB.(2)取PF中点M，所以PM＝MF＝FD.连接MG，MG∥CF，所以MG∥平面AFC.连接BM，BD，设AC∩BD＝O，连接OF，所以BM∥OF，所以BM∥平面AFC.所以平面BGM∥平面AFC，所以BG∥平面AFC.第13讲│要点热点探究►探究点三空间角与距离的求法例3[2011·全国卷]已知点E，F分别在正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于________．23【解析】方法一：在平面BC1内延长FE与CB相交于G，过B作BH垂直AG，则EH⊥AG，故∠BHE是平面AEF与平面ABC所成二面角的平面角．设正方体的棱长为a，可得BE＝a3，BG＝a，所以BH＝22a，则tan∠BHE＝BEBH＝a322a＝23.第13讲│要点热点探究方法二：设正方体的棱长为3，建立以B1A1为x轴，B1C1为y轴，B1B为z轴的空间直角坐标系，则A(3,0,3)，E(0,0,2)，F(0,3,1)，则EA→＝(3,0,1)，EF→＝(0,3，－1)，设平面AEF的法向量为n＝(x，y，z)，则n⊥EA→，n⊥EF→，即3x＋z＝0且3y－z＝0，取z＝3，则x＝－1，y＝1，所以n＝(－1,1,3)．又平面ABC的法向量为m＝(0,0,3)，所以面AEF与面ABC所成的二面角的余弦值为cosθ＝m·n|m||n|＝31111，∴sinθ＝1－311112＝2211，所以tanθ＝23.第13讲│要点热点探究例4[2011·全国卷]已知直二面角α－l－β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足．点B∈β，BD⊥l，D为垂足．若AB＝2，AC＝BD＝1，则D到平面ABC的距离等于()A.23B.33C.63D．1C【解析】∵α⊥β，AC⊥l，∴AC⊥β，则平面ABC⊥β，在平面β内过D作DE⊥BC，则DE⊥平面ABC，DE即为D到平面ABC的距离，在△DBC中，运用等面积法得DE＝63，故选C.第13讲│要点热点探究第13讲│要点热点探究(1)在三棱柱ABC－A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是()A．30°B．45°C．60°D．90°(2)如图13－3，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H分别为DE，AF的中点，将△ABC沿DE，EF，DF折成正四面体P－DEF，则四面体中异面直线PG与DH所成的角的余弦值为________．图13－3第13讲│要点热点探究(1)C(2)23【解析】(1)如图，E为BC中点，设三棱柱的棱长为2，则DE＝1，AE＝3且AE⊥平面B1BCC1，则tan∠ADE＝3，故所求的角是60°.第13讲│要点热点探究(2)折成的四面体是正四面体，画出立体图形，根据中点找平行线，把所求的异面直线角转化到一个三角形的内角来计算．如图，连接HE，取HE的中点K，连接GK，则GK∥DH，故∠PGK即为所求的异面直线所成的角或者其补角．设这个正四面体的棱长为2，在△PGK中，PG＝3，GK＝32，PK＝12＋322＝72，故cos∠PGK＝32＋322－7222×3×32＝23.即异面直线PG与DH所成的角的余弦值是23.第13讲│规律技巧提炼1．求二面角问题中，如果图形中没有显示出二面角的棱，则要根据平面的三个公理作出这个二面角的棱．2．在空间中线线平行和面面平行都有传递性，但线面平行没有传递性．在空间任意平移两条直线不改变两条直线所成的角，同时注意两直线所成角的范围是0，π2.3．两异面直线所成的角归结到一个三角形中的内角时，容易忽视这个三角形中的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角．规律技巧提炼第13讲│规律技巧提炼4．面面垂直的性质定理在立体几何中是一个极为关键的定理，这个定理的主要作用是作一个平面的垂线，在一些垂直关系的证明中，在线面角、二面角的求解中很多情况都要借助这个定理作出平面的垂线．垂直问题的关键是线面垂直，通过线面垂直证明线线垂直(线面垂直的定义)，通过线线垂直证明线面垂直(线面垂直的判定定理)、面面垂直(面面垂直的判定定理)，在解决垂直问题中要把这些垂直关系理清，确定合理的推理论证顺序．第13讲│教师备用例题教师备用例题备选理由：例1训练学生对空间平行关系的综合运用；例2训练学生使用综合几何的方法解决立体几何问题．第13讲│教师备用例题例1设m，n是平面α内的两条不同直线；l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是()A．m∥β且l1∥αB．m∥l1且n∥l2C．m∥β且n∥βD．m∥β且n∥l2第13讲│教师备用例题【解析】B选项A作条件，由于这是两个平面中各有一条直线与另一个平面平行，是不能得到α∥β的，但α∥β却能得到选项A，故选项A是必要而不充分条件；选项B作条件，此时m，n一定是平面α内的两条相交直线(否则，根据公理4得直线l1∥l2，与已知矛盾)，这就符合两个平面平行判定定理的推论“一个平面内如果有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则这两个平面平行”，故条件是充分的，但是在α∥β时，由于直线m，n在平面α内的位置不同，只能得到m，n与平面β平行，得不到m∥l1，n∥l2的结论，故条件是不必要的，故选项B中的条件是充分而不必要的；第13讲│教师备用例题选项C作条件，由于m，n只是平面α内的两条不同直线，这两条直线可能相互平行，故得不到α∥β的必然结论，这个条件是不充分的，但α∥β却能得到选项C，故选项C是必要而不充分条件；选线D作条件，由n∥l2可得n∥β，这样平面α的直线m，n分别与平面β平行，由于m，n可能平行，故也得不到α∥β的必然结论，故这个条件是不充分的，当α∥β时，只能得到m∥β但得不到n∥l2，故条件也不是必要的，选项D中的条件是既不充分也不必要的．第13讲│教师备用例题例2如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，AB＝PA＝2，PA⊥平面ABCD，E是PC的中点，F是AB中点．(1)求证：BE∥平面PDF；(2)求证：平面PDF⊥平面PAB；(3)求BE与平面PAC所成的角．第13讲│教师备用例题【解答】(1)证明：取PD中点为M，连ME，MF.∵E是PC的中点，∴ME是△PCD的中位线，∴ME12CD.∵F是AB的中点且四边形ABCD是菱形，ABCD，∴MEFB，∴四边形MEBF是平行四边形，∴BE∥MF.∵BE⊄平面PDF，MF⊂平面PDF，∴BE∥平面PDF.(2)证明：∵PA⊥平面ABCD，DF⊂平面ABCD，∴DF⊥PA.∵底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，∴△DAB为正三角形．∵F是AB中点，∴DF⊥AB.∵PA、AB是平面PAB内的两条相交直线，∴DF⊥平面PAB.∵DF⊂平面PDF，∴平面PDF⊥平面PAB.第13讲│教师备用例题(3)连BD交AC于O、连EO，∵底面ABCD是菱形，∴BO⊥AC.∵PA⊥平面ABCD，BO⊂平面ABCD，∴BO⊥PA.∵PA、AC是平面PAC内的两条相交直线，∴BO⊥平面PAC，∴EO是BE在平面PAC内的射影，∴∠BEO是BE与平面PAC所成的角．∵O是AC、BD的中点，∴BO＝1，EO是△PAC的中位线，∴EO＝12PA＝1.∴在直角△BEO中，tan∠