初高中数学知识衔接

第1页初高中知识衔接1.1.1．绝对值1.绝对值的意义：代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零.即,0,||0,0,,0.aaaaaa或）（）（0aa0aaa.几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离.2.两个数的差的绝对值的几何意义：ba表示在数轴上，数a和数b之间的距离.例.解不等式：13xx＞4.解：（法一）由01x，得1x；由30x，得3x；①若1x，不等式可变为(1)(3)4xx，即24x＞4，解得x＜0，又x＜1，∴x＜0；②若2x1，不等式可变为(1)(3)4xx，即1＞4，∴不存在满足条件的x；③若3x，不等式可变为(1)(3)4xx，即24x＞4，解得x＞4.又x≥3，∴x＞4.综上所述，原不等式的解为x＜0，或x＞4.（法二）如图1，1x表示x轴上坐标为x的点P到坐标为1的点A之间的距离|PA|，即|PA|＝|x－1|；|x－3|表示x轴上点P到坐标为2的点B之间的距离|PB|，即|PB|＝|x－3|.所以，不等式13xx＞4的几何意义即为|PA|＋|PB|＞4.由|AB|＝2，可知点P在点C(坐标为0)的左侧、或点P在点D(坐标为4)的右侧，则x＜0，或x＞4.13ABx04CDxP|x－1||x－3|图1第2页练习：1．填空：（1）若4x，则x=_________；（2）如果5ba，且1a，则b＝________；（3）若21c，则c＝________.2．选择题：下列叙述正确的是（）A、若ab，则abB、若ab，则abC、若ab，则abD、若ab，则ab3．化简：|x－5|－|2x－13|（6x5）.4、解答题：已知0)5(4232cba，求cba的值.第3页1.1.2.乘法公式1.我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式22()()ababab；(2）完全平方公式222()2abaabb(3)提取公因式)(2baaaba变形公式：abbaba4)()(222.高中需要用到的新公式：（1）立方和公式2233()()abaabbab；（2）立方差公式2233()()abaabbab；（3）三数和平方公式2222()2()abcabcabbcac；（4）两数和立方公式33223()33abaababb；（5）两数差立方公式33223()33abaababb例1计算：22(1)(1)(1)(1)xxxxxx解法一：原式=2222(1)(1)xxx=242(1)(1)xxx=61x解法二：原式=22(1)(1)(1)(1)xxxxxx=33(1)(1)xx=61x例2已知4abc，4abbcac，求222abc的值解：2222()2()8abcabcabbcac练习：1．填空：（1）221111()9423abba（）；（2）(4m22)164(mm)；(3)2222(2)4(abcabc)2．选择题：（1）若212xmxk是一个完全平方式，则k等于（）A、2mB、214mC、213mD、2116m第4页（2）不论a，b为何实数，22248abab的值（）A、总是正数B、总是负数C、可以是零D、可以是正数也可以是负数3、计算：（1）103×97（2）1999199719982（3）(1－2x)(1＋2x)(241x)(4161x)4、找规律与为什么观察下列等式：10122，31222，52322，73422，……用含自然数n的等式表示这种规律:_______________________________思考：你能证明这一规律吗？5、已知：=2，求：的值。1xx221xx已知：=2，求：的值。1xx221xx变式：=2，求：的值。1xx221xx变式：=2，求：的值。1xx221xx再变：=2，求：的值。1xx221xx再变：=2，求：的值。1xx221xx第5页1.1.3．二次根式一般地，形如(0)aa的代数式叫做二次根式。根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式。例如232aabb，22ab等是无理式，而22212xx，222xxyy，2a等是有理式。1.分母（子）有理化：把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化。为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念。两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如2与2，3a与a，36与36，2332与2332，等等。一般地，ax与x，axby与axby，axb与axb互为有理化因式。分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程。在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式(0,0)ababab；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式。2．二次根式2a的意义2aa,0,,0.aaaa例1将下列式子化为最简二次根式（1）12b；（2）2(0)aba；（3）64(0)xyx解：（1）1223bb；（2）2(0)abababa；（3）633422(0)xyxyxyx例2计算：3(33)解法一：3(33)＝333＝3(33)(33)(33)＝33393＝3(31)6＝312解法二：3(33)＝333＝33(31)＝131＝31(31)(31)＝312例3试比较下列各组数的大小：（1）1211和1110；（2）264和226－解：（1）∵1211(1211)(1211)11211112111211，1110(1110)(1110)11110111101110，又12111110，∴1211＜1110第6页（2）∵226(226)(226)2226,1226226－－+－++又4＞22，∴6＋4＞6＋22，∴264＜226－例4化简：20042005(32)(32)解：20042005(32)(32)＝20042004(32)(32)(32)＝2004(32)(32)(32)＝20041(32)＝32例5化简：（1）945；（2）2212(01)xxx原式545422(5)22522(25)2552原式=21()xx1xx，∵01x，∴11xx，所以，原式＝1xx例6已知3232,3232xy，求22353xxyy的值解：∵223232(32)(32)103232xy，323213232xy，22223533()1131011289xxyyxyxy练习1．填空：（1）1313＝_____；（2）4246543962150__（3）若2(5)(3)(3)5xxxx，则x的取值范围是_____；（4）若52x，则11111111xxxxxxxx________2．选择题：等式22xxxx成立的条件是_____________3．比较大小：2－35－4（填“＞”，或“＜”）4、解答：设231,231yx，求代数式yxyxyx22的值第7页1.1.4分式1．分式的意义：形如AB的式子，若B中含有字母，且0B，则称AB为分式.当M≠0时，分式AB具有下列基本性质：AAMBBM；AAMBBM.2．繁分式：像abcd，2mnpmnp这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式.例1若54(2)2xABxxxx，求常数,AB的值.解：∵(2)()2542(2)(2)(2)ABAxBxABxAxxxxxxxxx，∴5,24,ABA解得32BA.例2（1）试证：111(1)1nnnn（其中n是正整数）；（2）计算：1111223910；（3）证明：对任意大于1的正整数n，有11112334(1)2nn（1）证明：∵11(1)11(1)(1)nnnnnnnn，∴111(1)1nnnn（其中n是正整数）成立（2）解：由（1）可知111122391011111(1)()()2239101110＝910（3）证明：∵1112334(1)nn＝111111()()()23341nn＝1121n，又n≥2，且n是正整数，∴1n＋1一定为正数，∴1112334(1)nn＜12.例3.设ac，且1，025222aacc，求的值.解：在025222aacc两边同除以22a，得02522，∴(2－1)(－2)＝0，∴＝12＜1（舍去），或＝2∴＝2第8页练习1．对任意的正整数n，1(2)nn(112nn)；2．若223xyxy，则xy＝（）（A）１（B）54（C）45（D）653．正数,xy满足222xyxy，求xyxy的值4、若22442xbxaxx，则22ba的值是5、计算1111...12233499100第9页1．2分解因式因式分解的主要方法有：提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法，另外还应了解求根法及待定系数法.一、提取公因式法例：（1）baba552（2）32933xxx解：（1）baba552=5b52aba=)1)(5(aba（2）32933xxx=32(3)(39)xxx=2(3)3(3)xxx=2(3)(3)xx.或32933xxx＝32(331)8xxx＝3(1)8x＝33(1)2x＝22[(1)2][(1)(1)22]xxx＝2(3)(3)xx.练习：（一）、填空题：1、多项式xyzxyyx42622中各项的公因式是_______________2、yxxynyxm__________________3、222yxxynyxm____________________4、zyxxzynzyxm_____________________5、zyxzyxzyxm______________________6、523623913xbaxab分解因式得_____________________7．计算99992=（二）、判断题：（正确的打上“√”，错误的打上“×”）1、baababba24222（）2、bammbmam（）3、5231563223xxxxxx（）4、111xxxxnnn（）二、公式法例（分解因式）（1）164a（2）2223yxyx解：(1)164a=)2)(2)(4()4)(4()(4222222aaaaaa(2)2223yx