初高中数学衔接教材(50页)

1初高中数学衔接教材现有初高中数学知识存在以下“脱节”1.立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。2.因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多,而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求，但高中教材许多化简求值都要用到,如解方程、不等式等。3.二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。4.初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。5.二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）在初中不作要求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容，高中教材却未安排专门的讲授。6.图像的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其图像的上、下；左、右平移，两个函数关于原点，轴、直线的对称问题必须掌握。7.含有参数的函数、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究,而高中这部分内容视为重难点。方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。8.几何部分很多概念（如重心、垂心等）和定理（如平行线分线段比例定理，射影定理，相交弦定理等）初中生大都没有学习，而高中都要涉及。另外，像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化，不利于高中知识的讲授。目录第一章：数与式的运算和因式分解1.1数与式的运算1.1.1绝对值1.1.2.乘法公式1.1.3．二次根式1.1.4.分式1.2分解因式第二章：方程、函数、方程组、不等式组2.1一元二次方程2.1.1根的判别式2.1.2根与系数的关系（韦达定理）2.2二次函数2.2.1二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质2.2.2二次函数的三种表示方式2.2.3二次函数的简单应用2.3方程组不等式2.3.1二元二次方程组解法2.3.2一元二次不等式解法第三章：相似形、圆3.1相似形3.1.1．平行线分线段成比例定理3.1.2相似形3.2三角形3.2.1三角形的“四心”3.2.2几种特殊的三角形3.3圆3.3.1直线与圆，圆与圆的位置关系3.3.2点的轨迹1.1数与式的运算21.１.1．绝对值绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零。即,0,||0,0,,0.aaaaaa或）（）（0aa0aaa绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离。两个数的差的绝对值的几何意义：ba表示在数轴上，数a和数b之间的距离。例1解不等式：13xx＞4。解法一：由01x，得1x；由30x，得3x；①若1x，不等式可变为(1)(3)4xx，即24x＞4，解得x＜0，又x＜1，∴x＜0；②若2x1，不等式可变为(1)(3)4xx，即1＞4，∴不存在满足条件的x；③若3x，不等式可变为(1)(3)4xx，即24x＞4，解得x＞4。又x≥3，∴x＞4。综上所述，原不等式的解为x＜0，或x＞4。解法二：如图1．1－1，1x表示x轴上坐标为x的点P到坐标为1的点A之间的距离|PA|，即|PA|＝|x－1|；|x－3|表示x轴上点P到坐标为2的点B之间的距离|PB|，即|PB|＝|x－3|。所以，不等式13xx＞4的几何意义即为|PA|＋|PB|＞4。由|AB|＝2，可知点P在点C(坐标为0)的左侧、或点P在点D(坐标为4)的右侧。x＜0，或x＞4。练习1．填空：（1）若4x，则x=_________；（2）如果5ba，且1a，则b＝________；（3）若21c，则c＝________。2．选择题：下列叙述正确的是（）A、若ab，则abB、若ab，则abC、若ab，则abD、若ab，则ab3．化简：|x－5|－|2x－13|（6x5）。4、解答题：已知0)5(4232cba，求cba的值。13ABx04CDxP|x－1||x－3|图1．1－131.1.2.乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式22()()ababab；（2）完全平方公式222()2abaabb。【揭示乘法公式的几何意义】从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形，然后将剩余部分剪拼成一个矩形，上述操作所能验证的等式是()A、22))((bababaＢ、2222)(bababaＣ、2222)(bababaＤ、)(2baaaba完全平方公式：1.将字母看作非负数；2.平方式构造正方形，底数即为边长；3.两个字母相乘则构造长方形，两个字母即为长与宽。【设计与创造】请在下面正方形内设计一个方案，使之能解释公式：abbaba4)()(22【利用图形探索】2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个一模一样的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形。若直角三角形的较长直角边为a，较短直角边为b，斜边为c，那么你能得到关于a、b、c的什么等式？我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式2233()()abaabbab；（2）立方差公式2233()()abaabbab；（3）三数和平方公式2222()2()abcabcabbcac；（4）两数和立方公式33223()33abaababb；（5）两数差立方公式33223()33abaababb。222()2;abaabb4对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明。例1计算：22(1)(1)(1)(1)xxxxxx。解法一：原式=2222(1)(1)xxx=242(1)(1)xxx=61x。解法二：原式=22(1)(1)(1)(1)xxxxxx=33(1)(1)xx=61x。例2已知4abc，4abbcac，求222abc的值。解：2222()2()8abcabcabbcac。例3、试探索,)(3ba,)(4ba,)(5ba,)(6ba……练习：1．填空：（1）221111()9423abba（）；（2）(4m22)164(mm)；(3)2222(2)4(abcabc)。2．选择题：（1）若212xmxk是一个完全平方式，则k等于（）A、2mB、214mC、213mD、2116m（2）不论a，b为何实数，22248abab的值（）A、总是正数B、总是负数C、可以是零D、可以是正数也可以是负数3、计算：（1）103×97（2）1999199719982（3）(1－2x)(1＋2x)(241x)(4161x)4、找规律与为什么观察下列等式：10122，31222，52322，73422，……用含自然数n的等式表示这种规律:_______________________________并证明这一规律。5、观察下列等式：,......122535,62525,22515222个位数字是5的两位数平方后，末尾两个数有什么规律？你能证明这一规律吗？6、一个特殊的式子7、公式的拓展（1）完全平方公式的拓展一推导2)(cba=___________________________________练习：2)32(cba=___________________________________已知：=2，求：的值。1xx221xx已知：=2，求：的值。1xx221xx变式：=2，求：的值。1xx221xx变式：=2，求：的值。1xx221xx再变：=2，求：的值。1xx221xx再变：=2，求：的值。1xx221xx5（2）完全平方公式的拓展二观察下面的式子（Ⅰ）432234432233222464)(,33)(,2)(babbabaabababbaababababa根据前面的规律，5)(ba___________________________________（3）平方差公式的拓展推导(a＋b＋c)(a－b－c)=___________________________________练习：化简（2a－b－3c)(2a－b－3c)1.1.3．二次根式一般地，形如(0)aa的代数式叫做二次根式。根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式。例如232aabb，22ab等是无理式，而22212xx，222xxyy，2a等是有理式。1.分母（子）有理化：把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化。为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念。两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如2与2，3a与a，36与36，2332与2332，等等。一般地，ax与x，axby与axby，axb与axb互为有理化因式。分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程。在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式(0,0)ababab；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式。2．二次根式2a的意义2aa,0,,0.aaaa例1将下列式子化为最简二次根式：（1）12b；（2）2(0)aba；（3）64(0)xyx。解：（1）1223bb；（2）2(0)abababa；111121133114641………………6（3）633422(0)xyxyxyx。例2计算：3(33)。解法一：3(33)＝333＝3(33)(33)(33)＝33393＝3(31)6＝312。解法二：3(33)＝333＝33(31)＝131＝31(31)(31)＝312。例3试比较下列各组数的大小：（1）1211和1110；（2）264和226－。解：（1）∵1211(1211)(1211)11211112111211，1110(1110)(1110)11110111101110，又12111110，∴1211＜1110。（2）∵226(226)(226)2226,1226226－－+－++又4＞22，∴6＋4＞6＋22，∴264＜226－。例4化简：20042005(32)(32)。解：20042005(32)(32)＝20042004(32)(32)(32)＝2004(32)(32)(32)＝20041(32)＝32。例5化简：（1）945；（2）2212(01)xxx。解：（1）原式545422(5)22522(25)2552。（2）原式=21()xx1xx，∵01x，∴11xx，所以，原式＝1xx。例6已知3232,3232xy，求22353xxyy的值。解：∵223232(32)(32)103232xy，323213232xy，22223533()1131011289xxyyxyxy。练习1．填空：（1）1313