初高中数学衔接知识 第七讲 不等式

2020年3月21日星期六龙海市凫溪中学郭泉成2020年3月21日星期六课程标准要求分析：初中我们已经掌握了一元一次不等式（组）的解法，但高中阶段的很多模块内容都要用到一元二次不等式和分式不等式的知识，虽然高中新课程必修⑤有系统学习，但是为了大部分学生能顺利完成高中新课程各模块学习以及少部分学生提前学习（数学竞赛等），很有必要对一元二次不等式和分式不等式的基本知识先作一个介绍，本专题重点掌握一元二次不等式和简单分式不等式的解法。2020年3月21日星期六一元一次不等式的解法【例1】解不等式解：去分母得：整理得：∴原不等式的解集是：评析：（1）一元一次不等式的解题步骤与解一元一次方程相同，注意同乘（除）以同一个负数时，改变不等号的方向。12)1(36)1(2xxx123x61221131xxx两边同除以-3，得：4x4x数轴表示解集如图7-1；（2）有必要用数轴表示解集时，要注意实心与空心的区别。2020年3月21日星期六定义：含有一个未知数并且未知数最高次数是二次的不等式叫一元二次不等式.。一元二次不等式的定义和解法oxy首先，我们可以把任何一个一元二次不等式转化为下列四种形式中的一种：)0(0)1(2acbxax)0(0)2(2acbxax)0(0)3(2acbxax)0(0)4(2acbxax2020年3月21日星期六求解一元二次不等式ax2+bx+c0或ax2+bx+c0(a0,=b24ac0)的步骤:开始判断=b24ac0ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)(x1x2)写出两个等价的不等式组(x-x1)(x-x2)0分别解出两个不等式组的解集是否{x|xx1或xx2}{x|x1xx2}方程组的定义和解法2020年3月21日星期六，设))((212xxxxcbxax可把ax2＋bx＋c分解因式的一元二次不等式的解法，则解不等式02cbxax，即解不等式0))((21xxxx根据同号得正，异号得负，可变形为，0))((21xxxx0021xxxx0021xxxx，或两个一元一次不等式组，从而得到其解集；，则可变形为若0))((21xxxx0021xxxx0021xxxx，或两个一元一次不等式组，从而解之。P36【例2】P36【例3】Oxyx2x12020年3月21日星期六△＝b2－4ac△＞0△＝0△＜0y=f(x)的图象f(x)＞0的解集f(x)＜0的解集f(x)≥0的解集f(x)≤0的解集Oxyx1x212xxxxx或21xxxx12xxxxx或21xxxxabxRx2abxx2OxyRRR一元二次不等式的解的情况Oxyabx22020年3月21日星期六一般的一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0（或＜0），其中a＞0的解法【例4】解不等式6)1)(3(xx解：原不等式可化为：0322xx∴原不等式无解。（原不等式解集为空集）0831422）（无实根。方程0322xx的图象开口向上，322xxyP37评析Oxy2020年3月21日星期六一般的一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0（或＜0），其中a＞0的解法【例5】已知函数，433212xxy解：依题意得：2426,242621xx∴原不等式的解集是0168)3(24122）（有两根，方程031222xx的图象开口向上，31222xxyOxy求使函数值y大于0的x的取值范围，0433212xx，化简得：031222xx2426,2426xx或时，或当24262426xx函数值y大于0。2020年3月21日星期六一般的一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0（或＜0），其中a＞0的解法【例6】已知不等式，的解集是3102xbaxx解：依题意得：23,2321xx的两根是，方程0342x0342的图象开口向上，xyOxy求a、b的值，并写出不等式ax2-b＜0的解集。，的解集是3102xbaxx2323x的两根，是方程和0312baxx，，根据韦达定理得：331431ba此时不等式ax2-b＜0为4x2-3＜0。∴不等式4x2-3＜0的解集为。的解集为，不等式，23230342xbaxba2020年3月21日星期六一般的一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0（或＜0），其中a＞0的解法【例7】没有实根？的一元二次方程为何值时，关于0)1(2mxmmxxm解：依题意得：31,121mm:01232的两根是方程mm01232的图象开口向上，mmyOmy，0m131mm，或224)]1([mm∴不等式的解集为时，方程没有实数根，当01232mm，的不等式解关于01232mmm.01232mm即解不等式的一元二次方程时，关于或当xmm131没有实数根，0)1(2mxmmxP37评析2020年3月21日星期六简单分式不等式的解法【例8】解不等式0113xx解法1：原不等式可化为：Oxy01013).(xxⅠ∴原不等式的解集为：无解；Ⅰ不等式组).(为：，得原不等式组的解集解这个一元二次不等式01013).(xxⅡ或的解集为：Ⅱ不等式组).(311x311x解法2：P38解法3：原不等式等价于：0)1)(13(xx311x2020年3月21日星期六简单分式不等式的解法【例9】解不等式3274xx分析：先将原不等式化为：Oxy原不等式的解集为：解法3：原不等式等价于：020)2)(7(xxx027xx与例8的类似，可用三种解法，模仿完成前两种解法。①②解①得：27xx，或解②得：2x27xx，或2020年3月21日星期六简单分式不等式的解法【例10】解不等式xx1解：原不等式可化为：001).(2xxⅠ∴原不等式的解集为：的解集：Ⅰ不等式组).(001).(2xxⅡ或的解集：Ⅱ不等式组).(1x012xx012xx即∴原不等式可变形为两个不等式组：10x10x1x，或一元二次不等式和分式不等式的解法有多种，应根据自己的熟练程度，通过观察选择自己习惯的方法，做到又快又准！