第4章根轨迹法(4)

第四章根轨迹法Chapter4ROOTLOCUS4.4用根轨迹分析闭环控制系统的性能自动控制系统的稳定性由它的闭环极点唯一确定，其动态性能与系统的闭环极点和零点在s平面上的分布有关。根轨迹图直观、完整地反映系统特征方程的根在s平面上分布的大致情况，通过一些简单的作图和计算，就可以看到系统参数的变化对系统闭环极点的影响趋势。这对分析研究控制系统的性能和提出改善系统性能的合理途径都具有重要意义。4.4.1用根轨迹分析系统的稳定性闭环系统稳定的充分必要条件是闭环极点必须位于s平面的左半平面，即根轨迹要全部落于左半S平面系统才稳定。参数在一定范围内取值才能稳定的系统称为条件稳定系统。对于条件稳定系统，可由根轨迹图确定使系统稳定的参数取值范围。例4-11设某单位反馈系统的开环传递函数如下：*22(24)()(4)(6)(1.41)KssGssssss试绘制根轨迹并讨论使闭环系统稳定的*K的取值范围。解：利用前面介绍的根轨迹绘制方法可以画出根轨迹，如图4-22所示。*014K64*195K由图可见，当及时，闭环系统是稳定。*1464K*195K但是当及时，系统不稳定。用根轨迹分析系统稳定性的方法和步骤：（1）根据系统的开环传递函数和绘制根轨迹的基本规则绘制出系统的根轨迹图。（2）由根轨迹在s平面上的分布情况分析系统的稳定性。如果全部根轨迹都位于s平面左半部，则说明无论开环根轨迹增益为何值，系统都是稳定的；如根轨迹有一条（或一条以上）的分支全部位于s平面的右半部，则说明无论开环根轨迹增益如何改变，系统都是不稳定的；如果有一条（或一条以上）的根轨迹从s平面的左半部穿过虚轴进入s面的右半部（或反之），而其余的根轨迹分支位于s平面的左半部，则说明系统是有条件的稳定系统，即当开环根轨迹增益大于临界值时系统便由稳定变为不稳定（或反之）。*cK此时，关键是求出开环根轨迹增益的临界值*cK4.4.2用根轨迹分析系统的动态性能对于一阶、二阶系统，很容易在它的根轨迹上确定对应参数的闭环极点，对于三阶以上的高阶系统，通常用简单的作图法（如作等阻尼比线等）求出系统的主导极点（如果存在的话），将高阶系统近似地简化成由主导极点（通常是一对共轭复数极点）构成的二阶系统，最后求出其各项性能指标。这种分析方法简单、方便、直观，在满足主导极点条件时，分析结果的误差很小。如果求出离虚轴较近的一对共轭复数极点不满足主导极点的条件，如它到虚轴的距离不小于其余极点到虚轴距离的1/5或在它的附近有闭环零点存在等，这时还必须进一步考虑和分析这些闭环零、极点对系统瞬态响应性能指标的影响。例4-12已知负反馈系统的框图如右图所示，其根轨迹如右下图所示。设系统闭环主导极点的阻尼比0.5试求：（1）系统的闭环极点和相应的根轨迹增益*K（2）在单位阶跃信号作用下的输出响应。解：由图所示的根轨迹可知，系统的一对闭环主导极点位于经过坐标原点且与负实轴组成夹角为arccos0.560°的两条射线上。12330.33j0.580.33j0.583ssss所以，。由于极点s3距虚轴的距离是极点s1,2距虚轴距离的7倍多，因而s1,2是系统的闭环主导极点。34.23s系统的特征方程为32320sssK根据规则8可得1s将带入到特征方程中，求得1.05K1,2j3,(0)saaa≥10.33j0.58s若令则式中，，于是上式改写为22()1.05()(2.34)[(0.33)0.58]CsRsssssR1)(2201221.05()(2.34)[(0.33)0.58]2.34(0.33)0.58CssssAABsCsss83.09.01.0110CBAA，，，与相应的闭环传递函数为1.05K对上式取拉氏反变换，求得222210.10.90.83()2.34(0.33)0.5810.1(0.33)0.580.92.34(0.33)0.58sCssssssss2.340.33()10.1e0.9e(cos0.58sin0.58)ttCttt式中，等号右边第一项是输出的稳态分量，第二、三项为瞬态分量。基于第二项的幅值小、衰减速度快，因而它对系统的响应仅在起始阶段起作用。对系统响应起主导作用的是式中的第三项。利用根轨迹分析系统的稳态性能时，可由开环传递函数求出系统型别，由根轨迹增益求出系统的开环增益，从而可以估算系统的稳态误差。4.4.3用根轨迹分析系统的稳态性能(1)单位斜坡输入时，系统的稳态误差ess≤0.35。(2)闭环极点的阻尼比ζ≥0.707。(3)调整时间例4-13设一反馈系统如图所示。试选择参数K1和K2，使系统同时满足下列性能指标的要求。s3(2%)ts≤，解：系统的开环传递函数为)2()(211KKssKsG2112KKKKv12121ssvKKeKK≤0.35由题意得可知系统为I型系统，其静态速度误差系数为：由上式可知，若要满足系统稳态误差的要求,K2必须取最小值，K1必须取较大值。在s的左半平面上，过坐标原点作与负实轴成45°角的直线，在此直线上闭环极点的阻尼比均为0.707。阴影区内0.707。要求调整时间（设Δ=0.02）443ssnt≤因而闭环极点的实部(绝对值)必须大于4/3。为了同时满足和ts要求，闭环极点应位于图中所示的阴影区域内，即。0.707≥令121KKK，，则图所示系统的特征方程式为02)(12ssssG这是参量根轨迹问题设0，则式变为022ss0)2(1ss据此，做出以α为参变量的根轨迹为了满足静态性能(staticcharacteristic)要求，试取201K，式(4-45)则改写为020212sss(4-47)式中，开环传递函数的极点为1j4.36s以β为参变量的根轨迹如图4-28所示（圆弧）。经过该图的坐标原点作一与负实轴成45°角的直线，发现（计算）与根轨迹相交于。3.15j3.17由根轨迹的幅值条件，求出2203.4K215.02K即由于所求闭环极点的实部（绝对值），因而系统的调整时间为3.15441.27s3s3.15st在单位斜坡输入时，系统的稳态误差为35.0315.020215.02022121KKKess由此可知，,能使系统达到预定的性能要求。215.02021KK，4.4.4附加开环零、极点的作用既然根轨迹是系统特征方程的根随着某个参数变动在s平面上移动的轨迹，那么，根轨迹的形状不同，闭环特征根就不同，系统的性能就不一样。工程上为了改善系统的性能，往往需要对根轨迹进行改造。从前面的分析可知，系统根轨迹的形状、位置完全取决于系统的开环传递函数中的零点和极点。因此，可通过增加开环零、极点的手段来改造根轨迹，从而实现改善系统性能的目的。1．附加开环零点设系统开环传递函数为：*12()()()(22)KszGsHssss1z1z1z式中，其值可在s左半平面内任意选择。当时，表示有限零点不存在的情况。为附加的开环实数零点，令1z对应于式（4-48）的闭环系统根轨迹如图4-29所示。为不同数值，（4-48）由图可见，当开环极点位置不变，而在系统中附加开环负实数零点时，可使系统根轨迹向s左半平面方向弯曲，或者说，附加开环负实数零点将使系统的根轨迹图发生趋向附加零点方向的变形，而且这种影响将随开环零点接近坐标原点的程度而加强。根据图4-29，利用劳斯判据的方法不难证明，当12z时，系统的根轨迹与虚轴存在交点；而当12z≥时，系统的根轨迹与虚轴不存在交点。因此，在s左半平面内的适当位置上附加开环零点，可以显著改善系统的稳定性。从以上定性分析可以看出，增加一个开环零点，对系统的根轨迹有以下影响：（1）改变了根轨迹在实轴上的分布。（2）改变了根轨迹渐近线的条数、倾角及与实轴的交点。（3）若增加的开环零点和某个极点重合或距离很近，构成开环偶极子，则两者相互抵消。因此，可加入一个零点来抵消有损于系统性能的极点。（4）根轨迹曲线向左偏移，有利于改善系统的稳定性和动态性能，而且，所加的零点越靠近虚轴，影响越大。2．附加开环极点设系统的开环传递函数为：*1()()KGsssa10a（4-49）则可绘制系统的根轨迹，如图4-30（a）所示。若增加一个开环极点2a根据这时的开环传递函数*112()()()KGsssasa20a（4-50）可绘制系统的根轨迹，如图4-30（b）所示。由图可见，增加开环极点使根轨迹的复数部分向右半平面弯曲。11a22a若取90°60°则渐近线的倾角由原来的变为分离点由原来的−0.5向右移至-0.422；与分离点相对应的开环增益由原来的0.25*K0.5*0.50.25（即）减少到0.19（即*110.4220.5781.5780.192K），这意味着，对于具有同样的振荡倾向，增加开环极点后使开环增益值下降。一般来说，增加的开环极点越靠近虚轴，其影响越大，使根轨迹向右半平面弯曲就越严重，因而系统稳定性能的降低便越明显。从上例可以看出，增加一个开环极点，对系统的根轨迹有以下影响：（1）改变了根轨迹在实轴上的分布。（2）改变了根轨迹渐近线的条数、倾角及与实轴的交点。（3）改变了根轨迹的分支数。（4）根轨迹曲线向右偏移，不利于改善系统的稳定性和动态性能。所增加的极点越靠近虚轴，这种影响就越大。（1）根轨迹法是一种图解方法，它在已知控制系统开环零点和极点的基础上，研究某一个或某些参数变化时系统闭环极点在平面的分布情况。（2）根轨迹有两个基本条件：相角条件和幅值条件，利用这两个基本条件可以确定根轨迹上的点及相应的增益值。（3）根轨迹绘制有8条基本法则。根据系统开环零、极点在平面的分布，利用基本法则，就能方便地绘制出根轨迹的大致形状。对于一些特殊点（如分离点或汇合点等），如与分析问题无关，则不必准确求出，只要能找出它们的所在范围即可。（4）利用根轨迹法可以分析结构和参数已确定系统的稳定性及动态响应特性；还可以根据对系统动态和静态特性的要求确定可变参数，调整开环零点的位置，甚至改变它们的数目。因此，根轨迹法在控制系统的分析和设计中是一种很实用的工程方法。