(创新设计XXXX届高考江苏专用(理)一轮复习(配套课

第4讲直接证明与间接证明考点梳理(1)综合法定义：从命题的条件出发，利用__________________________，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明．这样的思维方法称为综合法．(2)框图表示：P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Qn⇒Q(其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示要证的结论)．1．直接证明定义、公理、定理及运算法则(3)分析法定义：从求证的结论出发，一步一步地探索_____________________________，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等．这样的思维方法称为分析法．(4)框图表示：Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件.保证前一个结论成立的充分条件(1)反证法定义：在证明数学命题时，要证明的结论要么正确，要么错误，二者必居其一．我们可以先假定命题结论的反面成立，在这个前提下，若推出的结果与定义、公理、定理相矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题的结论成立．这种证明方法叫作反证法．(2)反证法的证题步骤是：①作出否定结论的假设；②进行推理，导出矛盾；③否定假设，肯定结论．2．间接证明综合法与分析法的关系分析法与综合法相辅相成，对较复杂的问题，常常先从结论进行分析，寻求结论与条件、基础知识之间的关系，找到解决问题的思路，再运用综合法证明，或者在证明时将两种方法交叉使用．一个考情解决直接证明与间接证明作为证明和推理数学命题的方法，在高考题中无处不在．主要以不等式、立体几何、解析几何、函数等为载体，考查综合法、分析法及反证法．从题型上看，主要以解答题的形式出现，属于中高档题，难度较大．【助学·微博】答案p≤q考点自测1．已知p＝ab＋cd，q＝ma＋nc·bm＋dn(m、n、a、b、c、d均为正数)，则p、q的大小为________．解析q＝ab＋madn＋nbcm＋cd≥ab＋2abcd＋cd＝ab＋cd＝p.2．当否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设为________．解析∵a，b，c恰有一个偶数，即a，b，c中只有一个偶数，其反面是有两个或两个以上偶数或没有一个偶数即全都是奇数．答案a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数3．若等差数列{an}中公差d≠0，则a1＋a8与a4＋a5的大小关系为________．解析∵{an}为等差数列，∴a1＋a8＝2a1＋7d，a4＋a5＝2a1＋7d，∴a1＋a8＝a4＋a5.答案a1＋a8＝a4＋a54．在用反证法证明数学命题时，如果原命题的否定事项不止一个时，必须将结论的否定情况逐一驳倒，才能肯定原命题的正确．例如：在△ABC中，若AB＝AC，P是△ABC内一点，∠APB＞∠APC，求证：∠BAP＜∠CAP，用反证法证明时应分：假设________和________两类．答案∠BAP＝∠CAP∠BAP＞∠CAP5．(2013·南京29中月考)对于给定的两个函数S(x)＝ex－e－x，G(x)＝ex＋e－x，则下列运算公式：①S(x＋y)＝S(x)G(y)＋G(x)S(y)；②S(x－y)＝S(x)G(y)－G(x)S(y)；③2S(x＋y)＝S(x)G(y)＋G(x)S(y)；④2S(x－y)＝S(x)G(y)－G(x)S(y)．其中正确的是________．解析S(x)G(y)＋G(x)S(y)＝(ex－e－x)(ey＋e－y)＋(ex＋e－x)(ey－e－y)＝ex＋y＋ex－y－e－x＋y－e－x－y＋ex＋y－ex－y＋e－x＋y－e－x－y＝2(ex＋y－e－x－y)＝2S(x＋y)．同理可得2S(x－y)＝S(x)G(y)－G(x)S(y)．答案③④(1)求a3，a4，a5的值；(2)设cn＝a2n－1＋a2n＋1，n∈N*，证明{cn}是等比数列．考向一综合法的应用【例1】(2011·天津卷)已知数列{an}与{bn}满足bnan＋an＋1＋bn＋1an＋2＝0，bn＝3＋－1n2，n∈N*，且a1＝2，a2＝4.(1)解由bn＝3＋－1n2，n∈N*，可得bn＝1，n为奇数，2，n为偶数.又bnan＋an＋1＋bn＋1an＋2＝0，当n＝1时，a1＋a2＋2a3＝0，由a1＝2，a2＝4，可得a3＝－3；当n＝2时，2a2＋a3＋a4＝0，可得a4＝－5；当n＝3时，a3＋a4＋2a5＝0，可得a5＝4.(2)证明对任意n∈N*，a2n－1＋a2n＋2a2n＋1＝0，①2a2n＋a2n＋1＋a2n＋2＝0，②a2n＋1＋a2n＋2＋2a2n＋3＝0，③②－③，得a2n＝a2n＋3，④将④代入①，可得a2n＋1＋a2n＋3＝－(a2n－1＋a2n＋1)，即cn＋1＝－cn(n∈N*)．又c1＝a1＋a3＝－1，故cn≠0，因此cn＋1cn＝－1.所以{cn}是等比数列．[方法总结]综合法是一种由因导果的证明方法，即由已知条件出发，推导出所要证明的等式或不等式成立．因此，综合法又叫做顺推证法或由因导果法．其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法，这就要保证前提正确，推理合乎规律，才能保证结论的正确性．【训练1】设x，y，z是空间的不同直线或不同平面，且直线不在平面内，下列条件中能保证“若x⊥z，且y⊥z，则x∥y”为真命题的是________(填写所有正确条件的代号)．①x为直线，y，z为平面；②x，y，z为平面；③x，y为直线，z为平面；④x，y为平面，z为直线；⑤x，y，z为直线．解析①中x⊥平面z，平面y⊥平面z，∴x∥平面y或x⊂平面y.又∵x⊄平面y，∴x∥y成立．②中若x，y，z均为平面，则x可与y相交，故②不成立．③x⊥z，y⊥z，x，y为不同直线，故x∥y成立．④z⊥x，z⊥y，z为直线，x，y为平面可得x∥y，④成立．⑤x，y，z均为直线x，y可平行、异面、相交，故⑤不成立．答案①③④【例2】(2011·湖北卷)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足：a1＝a(a≠0)，an＋1＝rSn(n∈N*，r∈R，r≠－1，r≠0)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若存在k∈N*，使得Sk＋1，Sk，Sk＋2成等差数列，试判断：对于任意的m∈N*，且m≥2，am＋1，am，am＋2是否成等差数列，并证明你的结论．考向二分析法的应用解(1)当n≥2时，由an＝Sn－Sn－1＝1ran＋1－1ran，得(1＋r)an＝an＋1.因为1＋r≠0，r≠0，所以an＋1an＝r＋1，所以a2，a3，…，an，…成等比数列，即n≥2时，an＝r(r＋1)n－2a.所以an＝a，n＝1，rr＋1n－2a，n≥2.(2)对于任意的m∈N*，且m≥2，am＋1，am，am＋2成等差数列．证明如下：当r≠0，r≠－1时，∵Sk＋2＝Sk＋ak＋1＋ak＋2，Sk＋1＝Sk＋ak＋1.若存在k∈N*，使得Sk＋1，Sk，Sk＋2成等差数列，则Sk＋1＋Sk＋2＝2Sk，∴2Sk＋2ak＋1＋ak＋2＝2Sk，即ak＋2＝－2ak＋1.由(1)知，a2，a3，…，an，…的公比r＋1＝－2，于是对于任意的m∈N*，且m≥2，am＋1＝－2am，从而am＋2＝4am，∴am＋1＋am＋2＝2am，即am＋1，am，am＋2成等差数列．综上，对于任意的m∈N*，且m≥2，am＋1，am，am＋2成等差数列．[方法总结]逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件，正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键．【训练2】(2012·盐城二模)对于给定的数列{cn}，如果存在实常数p、q，使得cn＋1＝pcn＋q对于任意n∈N*都成立，我们称数列{cn}是“优美数列”．(1)若an＝2n，bn＝3·2n，n∈N*，数列{an}、{bn}是否为“优美数列”？若是，指出它对应的实常数p、q，若不是，请说明理由；(2)已知数列{an}满足a1＝2，an＋an＋1＝3·2n(n∈N*)．若数列{an}是“优美数列”，求数列{an}的通项公式．解(1)∵an＝2n，则有an＋1＝an＋2，n∈N*.∴数列{an}是“优美数列”，对应的p、q值分别为1、2；∵bn＝3·2n，则有bn＋1＝2bn，n∈N*.∴数列{bn}是“优美数列”，对应的p、q值分别为2、0.(2)∵数列{an}是“优美数列”，∴存在实常数p、q，使得an＋1＝pan＋q对于任意n∈N*都成立，且有an＋2＝pan＋1＋q对于任意n∈N*都成立，因此(an＋1＋an＋2)＝p(an＋an＋1)＋2q对于任意n∈N*都成立，而an＋an＋1＝3·2n(n∈N*)，且an＋1＋an＋2＝3·2n＋1(n∈N*)，则有3·2n＋1＝3·2np＋2q对于任意n∈N*都成立，即3·2n(2－p)＝2q对于任意n∈N*都成立，∴p－2＝0，即p＝2，q＝0.此时，an＋1＝2an，又∵a1＝2，∴an＝2n(n∈N*)．(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)证明：数列{bn}中的任意三项不可能成等差数列．考向三反证法的应用【例3】(2010·湖北卷)已知数列{an}满足a1＝12，31＋an＋11－an＝21＋an1－an＋1，anan＋10(n≥1)；数列{bn}满足bn＝a2n＋1－a2n(n≥1)．(1)解由题意可知，1－a2n＋1＝23(1－a2n)．令cn＝1－a2n，则cn＋1＝23cn.又c1＝1－a21＝34，则数列{cn}是首项为c1＝34，公比为23的等比数列，即cn＝34·23n－1，故1－a2n＝34·23n－1⇒a2n＝1－34·23n－1.又a1＝120，anan＋10，故an＝(－1)n－11－34·23n－1.bn＝a2n＋1－a2n＝1－34·23n－1－34·23n－1＝14·23n－1.(2)证明用反证法证明．假设数列{bn}存在三项br，bs，bt(rst)按某种顺序成等差数列，由于数列{bn}是首项为14，公比为23的等比数列，于是有brbsbt，则只可能有2bs＝br＋bt成立．∴2·1423s－1＝1423r－1＋1423t－1，两边同乘3t－121－r，化简得3t－r＋2t－r＝2·2s－r3t－s.由于rst，所以上式左边为奇数，右边为偶数，故上式不可能成立，导致矛盾．故数列{bn}中任意三项不可能成等差数列．[方法总结]当一个命题的结论是以“至多”，“至少”、“唯一”或以否定形式出现时，宜用反证法来证，反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是：①与已知条件矛盾，②与假设矛盾，③与定义、公理、定理矛盾，④与事实矛盾等方面，反证法常常是解决某些“疑难”问题的有力工具，是数学证明中的一件有力武器．(1)确定b、c的值；(2)设曲线y＝f(x)在点(x1，f(x1))及(x2，f(x2))处的切线都过点(0,2)．证明：当x1≠x2时，f′(x1)≠f′(x2)．【训练3】(2010·湖北卷)设函数f(x)＝13x3－a2x2＋bx＋c，其中a0，曲线y＝f(x)在点P(0，f(0))处的切线方程为y＝1.(1)解由f(x)＝13x3－a2x2＋bx＋c，得f(0)＝c，f′(x)＝x2－ax＋b，f′(0)＝b.又由曲线y＝f(x)在点P(0，f(0))处的切线方程为y＝1，得f(0)＝1，f′(0)＝0，所以b＝0，c＝1.(2)证明f(x)＝13x3－a2x2＋1，f′(x)＝x2－ax.由于点(t，f(t))处的切线y－f(t)＝f′(t)(x－t)经过点(0,2)，所以2－f(t)＝f′(t)(－t)，化简得23t3－a2t2＋1＝0，即t满足的方程为23t3－a2t2＋1＝0.下面用反证法证明：假设f′(x1)＝f′(x2)，则由题意，得