广东省惠州市2016届高三第一次调研考试理科数学试题

理科数学试题第1页（共12页）机密★启用前考试时间：2015年7月1日15：00-17：00惠州市2016届高三第一次调研考试理科数学注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号等考生信息填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分。（1）已知全集，，，，，43210U集合，，，321A，，42B则UCAB（）为（）．（A）421，，（B）432，，（C）420，，（D）4320，，，（2）复数i251（i是虚数单位）的模等于（）．（A）10（B）10（C）5（D）5（3）下列命题中的假命题是（）．（A）0lg,xRx（B）0tan,xRx（C）02,xRx（D）0,2xRx（4）已知向量(,2),(1,1)mana，且//mn，则实数a＝（）．（A）－1（B）2或－1（C）2（D）－2（5）ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，若7,3,2,abcA则＝（）．（A）30（B）45（C）60（D）90（6）已知函数0,20,log)(3xxxxfx，则))91((ff=（）.（A）12（B）14（C）16（D）18（7）已知某几何体的三视图如右图所示，正视图和侧视图是边长为1的正方形，俯视图是腰长为1的等腰直角三角形，则该几何体的体积是（）．11主视图侧视图11俯视图1理科数学试题第2页（共12页）（A）2（B）1（C）21（D）13（8）已知实数,xy满足约束条件10100xyxyx，则2zxy的最大值为（）．（A）2（B）2（C）1（D）1（9）函数xxxf32cos32sin)(的图象中相邻的两条对称轴间距离为（）．（A）3（B）34（C）23（D）67（10）设,,为不同的平面，,,mnl为不同的直线，则m的一个充分条件为（）．（A），l，ml（B）m，，（C），，m（D）n，n，m（11）将甲，乙等5位同学分别保送到北京大学，上海交通大学，中山大学这3所大学就读，则每所大学至少保送1人的不同保送方法数为（）种。（A）150（B）180（C）240（D）540（12）已知抛物线281xy与双曲线)0(1222axay有共同的焦点F，O为坐标原点，P在x轴上方且在双曲线上，则OPFP的最小值为（）．（A）323（B）332（C）47（D）43第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。第13题～第21题为必考题，每个考生都必须做答。第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。（13）若3sin()25，则cos2．（14）4)31(xx的展开式中常数项为．（用数字表示）（15）221cosxdx()=．（16）如下面数表为一组等式：某学生猜测221(21)()nSnanbnc，若该学生回答正确，则3ab．123451,235,45615,7891034,111213141565,sssss理科数学试题第3页（共12页）CC1B1AA1BD三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分12分）已知{}na为等差数列，且满足138aa，2412aa．（Ⅰ）求数列{}na的通项公式；（Ⅱ）记{}na的前n项和为nS，若31,,kkaaS成等比数列，求正整数k的值．18．（本小题满分12分）一个盒子中装有大量．．形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为5,15，15,25，25,35，35,45，由此得到样本的重量频率分布直方图（如右图），（Ⅰ）求a的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；（Ⅱ）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在5,15内的小球个数为X，求X的分布列和数学期望.(以直方图中的频率作为概率).19．（本小题满分12分）如右图,三棱柱111ABCABC中,112ABACAABC,1160AAC,平面1ABC平面11AACC,1AC与1AC相交于点D.（Ⅰ）求证:BD平面11AACC；（Ⅱ）求二面角1CABC的余弦值.理科数学试题第4页（共12页）20．（本小题满分12分）如图，曲线C由上半椭圆22122:1(0,0)yxCabyab和部分抛物线22:1Cyx(0)y连接而成，12,CC的公共点为,AB，其中1C的离心率为32.（Ⅰ）求,ab的值；（Ⅱ）过点B的直线l与12,CC分别交于,PQ（均异于点,AB），若APAQ，求直线l的方程.21．（本小题满分12分）已知函数2fxxxa，21gxxaxa(其中aR).（Ⅰ）如果函数yfx和ygx有相同的极值点，求a的值，并直接写出函数fx的单调区间；（Ⅱ）令()Fxfxgx，讨论函数()yFx在区间1,3上零点的个数。xyOAB理科数学试题第5页（共12页）请考生在第22、23、24题中任选一题做答。如果多做，则按所做的第一题计分，答题时请写清题号。（22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，连接AE，BE.证明：（Ⅰ）FEBCEB；（Ⅱ）2EFADBC.（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线1C的参数方程为1(2xttyt为参数），以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系下，圆2C的方程为sin32cos2．（Ⅰ）求直线1C的普通方程和圆2C的圆心的极坐标；（Ⅱ）设直线1C和圆2C的交点为A、B，求弦AB的长．（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知1m且关于x的不等式|2|1mx的解集为[0,4].（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）若a，b均为正实数，且满足abm，求22ab的最小值.理科数学试题第6页（共12页）惠州市2016届高三第一次调研考试理科数学参考答案与评分标准一．选择题：本大题共12小题，每小题5分。题号123456789101112答案CADBCBCBCDAA（1）【解析】40，ACU，又42，B，故选C．（2）【解析】ii3251，故模为10，故选A．（3）【解析】对选项D，由于当0x时，02x，故选D．（4）【解析】因为//mn，所以2)1(aa，解得022aa，故21aa或，故选B．（5）【解析】由余弦定理2229471cos22322bcaAbc，又由(0,180)A，得60A，故选C．（6）【解析】291log)91(3f，412)2(2f，所以41))91((ff，故选B．（7）【解析】该几何体为直三棱柱，故体为1111122VSh，故选C．（8）【解析】由于可行域为三角形，且三角形的三个顶点分别为(0,1)，(1,0)，(0,1)，所以最优解为(0,1)时可使目标函数取得最大值为2，故选B．（9）【解析】222()sincos2sin3334fxxxx，周期23T，相邻的两条对称轴间距离为12T，所以距离为32，故选C．（10）【解析】对于选项A，根据面面垂直的判定定理可知，缺少条件m⊂α，故不正确；对于选项B，因为α与β可能平行，也可能相交，所以m与β不一定垂直，故不正确；对于选项C，因为α与β可能平行，也可能相交，所以m与β不一定垂直，故不正确；对于选项D，由n⊥α，n⊥β，可得α∥β，而m⊥α，则m⊥β，故正确，故选D．（11）【解析】分为两类，第一类为2+2+1即有2所学校分别保送2名同学，方法数为90241513CCC，第二类为3+1+1即有1所学校保送3名同学，方法数为60223513ACC，故不同保送的方法数为150种，故选A．理科数学试题第7页（共12页）（12）【解析】抛物线22188yxxy，焦点F为(0,2)，则双曲线2221yxa的2c，则23a，即双曲线方程为2213yx，设(,)Pmn，(3)n，则2233nm22113mn，则(,)(,2)OPFPmnmn222212123mnnnnn2437()344n，因为3n，故当3n时取得最小值，最小值为323，故选A．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。（13）725（14）23（15）2（16）4（13）【解析】33sin()cos255，则cos2272cos125．（14）【解析】4)31(xx的展开式的通项为rrrrrrrrxCxxCT)31()31(244441，故常数项为32)31(2243CT（15）【解析】22221cos(sin)2xdxxx（）（16）【解析】可由待定系数法求得13395241cbacbacba，解得1,2,2cba，所以43ba三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分12分）【解】（Ⅰ）设数列{}na的公差为d，由题意知112282412adad………………2分解得12,2ad…………………………………………………………4分所以1(1)22(1)2naandnn,得2nan…………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得21()(22)(1)22nnaannnSnnnn……………8分∴3236a，12(1)kak，2kSkk因31,,kkaaS成等比数列，所以213kkaaS，从而22(22)6()kkk，………10分即220kk，*kN,解得2k或1k（舍去）理科数学试题第8页（共12页）CC1B1AA1BDH第18题∴2k……………………………………………………………………12分（18）（本小题满分12分）【解】（Ⅰ）由题意，得0.020.0320.018101a，解得0.03a；………………………1分又由最高矩形中点的的横坐标为20，可估计盒子中小球重量的众数约为20（克），………2分而50个样本小球重量的平均值为：0.2100.32200.3300.184024.6X（克）故由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克；…………………………4分（Ⅱ）利用样本估计总体，该盒子中小球重量在5,15内的概率为0.2，………………………………5分则1(3,)5XB.X的可能取值为0、1、2、3，…………………………………………………6分03031464055125PXC，2131448155125PXC，2231412255125PXC，3033141355125PXC.………………10分X的分布列为：6448121301231251251251255