大学物理学-(第3版.修订版)-北京邮电大学出版社-下册--第九章-习题9-答案

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习题99.1选择题(1)正方形的两对角线处各放置电荷Q,另两对角线各放置电荷q,若Q所受到合力为零,则Q与q的关系为:()(A)Q=-23/2q(B)Q=23/2q(C)Q=-2q(D)Q=2q[答案:A](2)下面说法正确的是:()(A)若高斯面上的电场强度处处为零,则该面内必定没有电荷;(B)若高斯面内没有电荷,则该面上的电场强度必定处处为零;(C)若高斯面上的电场强度处处不为零,则该面内必定有电荷;(D)若高斯面内有电荷,则该面上的电场强度必定处处不为零。[答案:D](3)一半径为R的导体球表面的面点荷密度为σ,则在距球面R处的电场强度()(A)σ/ε0(B)σ/2ε0(C)σ/4ε0(D)σ/8ε0[答案:C](4)在电场中的导体内部的()(A)电场和电势均为零;(B)电场不为零,电势均为零;(C)电势和表面电势相等;(D)电势低于表面电势。[答案:C]9.2填空题(1)在静电场中,电势不变的区域,场强必定为。[答案:相同](2)一个点电荷q放在立方体中心,则穿过某一表面的电通量为,若将点电荷由中心向外移动至无限远,则总通量将。[答案:q/6ε0,将为零](3)电介质在电容器中作用(a)——(b)——。[答案:(a)提高电容器的容量;(b)延长电容器的使用寿命](4)电量Q均匀分布在半径为R的球体内,则球内球外的静电能之比。[答案:5:6]9.3电量都是q的三个点电荷,分别放在正三角形的三个顶点.试问:(1)在这三角形的中心放一个什么样的电荷,就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)?(2)这种平衡与三角形的边长有无关系?解:如题9.3图示(1)以A处点电荷为研究对象,由力平衡知:q为负电荷20220)33(π4130cosπ412aqqaq解得qq33(2)与三角形边长无关.题9.3图题9.4图9.4两小球的质量都是m,都用长为l的细绳挂在同一点,它们带有相同电量,静止时两线夹角为2,如题9.4图所示.设小球的半径和线的质量都可以忽略不计,求每个小球所带的解:如题9.4图示220)sin2(π41sincoslqFTmgTe解得tan4sin20mglq9.5根据点电荷场强公式204rqE,当被考察的场点距源点电荷很近(r→0)时,则场强→∞,这是没有物理意义的,对此应如何理解?解:020π4rrqE仅对点电荷成立,当0r时,带电体不能再视为点电荷,再用上式求场强是错误的,实际带电体有一定形状大小,考虑电荷在带电体上的分布求出的场强不会是无限大.9.6在真空中有A,B两平行板,相对距离为d,板面积为S,其带电量分别为+q和-q.则这两板之间有相互作用力f,有人说f=2024dq,又有人说,因为f=qE,SqE0,所以f=Sq02.试问这两种说法对吗?为什么?f到底应等于多少?解:题中的两种说法均不对.第一种说法中把两带电板视为点电荷是不对的,第二种说法把合场强SqE0看成是一个带电板在另一带电板处的场强也是不对的.正确解答应为一个板的电场为SqE02,另一板受它的作用力SqSqqf02022,这是两板间相互作用的电场力.9.7长l=15.0cmAB上均匀地分布着线密度=5.0x10-9C·m-1(1)在导线的延长线上与导线B端相距1a=5.0cm处P点的场强;(2)在导线的垂直平分线上与导线中点相距2d=5.0cm处Q点的场强.解:如题9.7图所示(1)在带电直线上取线元xd,其上电量qd在P点产生场强为20)(dπ41dxaxEP2220)(dπ4dxaxEEllPP题9.7图]2121[π40lala)4(π220lal用15lcm,9100.51mC,5.12acm代入得21074.6PE1CN方向水平向右(2)2220ddπ41dxxEQ方向如题9.7图所示由于对称性lQxE0d,即QE只有y分量,∵22222220ddddπ41dxxxEQy22π4ddlQyQyEE2223222)d(dllxx2220d4π2ll以9100.51cmC,15lcm,5d2cm代入得21096.14QyQEE1CN,方向沿y轴正向9.8一个半径为R的均匀带电半圆环,电荷线密度为,求环心处O点的场强.解:如9.8图在圆上取Rddl题9.8图dddRlq,它在O点产生场强大小为20π4ddRRE方向沿半径向外则dsinπ4sindd0REExdcosπ4)cos(dd0REEy积分RREx000π2dsinπ40dcosπ400REy∴REEx0π2,方向沿x轴正向.9.9均匀带电的细线弯成正方形,边长为l,总电量为q.(1)求这正方形轴线上离中心为r处的场强E;(2)证明:在lr处,它相当于点电荷q产生的场强E解:如9.9图示,正方形一条边上电荷4q在P点产生物强PEd方向如图,大小为4π4coscosd22021lrEP∵22cos221lrl12coscos∴24π4d22220lrllrEPPEd在垂直于平面上的分量cosddPEE∴424π4d2222220lrrlrlrlE题9.9图由于对称性,P点场强沿OP方向,大小为2)4(π44d422220lrlrlrEEP∵lq4∴2)4(π422220lrlrqrEP方向沿OP9.10(1)点电荷q位于一边长为a的立方体中心,试求在该点电荷电场中穿过立方体的一个面的电通量;(2)如果该场源点电荷移动到该立方体的一个顶点上,这时穿过立方体各面的电通量是多少?解:(1)由高斯定理0dqSEs立方体六个面,当q在立方体中心时,每个面上电通量相等∴各面电通量06qe.(2)电荷在顶点时,将立方体延伸为边长a2的立方体,使q处于边长a2的立方体中心,则边长a2的正方形上电通量06qe对于边长a的正方形,如果它不包含q所在的顶点,则024qe,如果它包含q所在顶点则0e.如题9.10图所示.题9.10图9.11均匀带电球壳内半径6cm,外半径10cm,电荷体密度为2×510C·m-3求距球心5cm,8cm,12cm各点的场强.解:高斯定理0dqSEs,02π4qrE当5rcm时,0q,0E8rcm时,q3π4p3(r)3内r∴2023π43π4rrrE内41048.31CN,方向沿半径向外.12rcm时,3π4q3(外r)内3r∴420331010.4π43π4rrrE内外1CN沿半径向外.9.12半径为1R和2R(2R>1R)的两无限长同轴圆柱面,单位长度上分别带有电量和-,试求:(1)r<1R;(2)1R<r<2R;(3)r>2R处各点的场强.解:高斯定理0dqSEs取同轴圆柱形高斯面,侧面积rlSπ2则rlESESπ2d对(1)1Rr0,0Eq(2)21RrRlq∴rE0π2沿径向向外(3)2Rr0q∴0E题9.13图9.13两个无限大的平行平面都均匀带电,电荷的面密度分别为1和2,试求空间各处场解:如题9.13图示,两带电平面均匀带电,电荷面密度分别为1与2,两面间,nE)(212101面外,nE)(212102面外,nE)(21210n:垂直于两平面由1面指为2面.9.14半径为R的均匀带电球体内的电荷体密度为,若在球内挖去一块半径为r<R的小球体,如题9.14图所示.试求:两球心O与O点的场强,并证明小球空腔内的电场是均匀的.解:将此带电体看作带正电的均匀球与带电的均匀小球的组合,见题9.14图(a).(1)球在O点产生电场010E,球在O点产生电场'dπ4π3430320OOrE∴O点电场'd33030OOrE;(2)在O产生电场'dπ4d3430301OOE球在O产生电场002E∴O点电场003E'OO题9.14图(a)题9.14图(b)(3)设空腔任一点P相对O的位矢为r,相对O点位矢为r(如题8-13(b)图)则03rEPO,03rEOP,∴0003'3)(3dOOrrEEEOPPOP∴腔内场强是均匀的.9.15一电偶极子由q=1.0×10-6Cd=0.2cm,把这电偶极子放在1.0×105N·C-1解:∵电偶极子p在外场E中受力矩EpM∴qlEpEMmax代入数字4536max100.2100.1102100.1MmN9.16两点电荷1q=1.5×10-8C,2q=3.0×10-8C,相距1r=42cm,要把它们之间的距离变为2r=25cm,需作多少功?解:22210212021π4π4ddrrrrqqrrqqrFA)11(21rr61055.6J外力需作的功61055.6AAJ题9.17图9.17如题9.17图所示,在A,B两点处放有电量分别为+q,-q的点电荷,AB间距离为2R,现将另一正试验点电荷0q从O点经过半圆弧移到C点,求移动过程中电场力作的解:如题9.17图示0π41OU0)(RqRq0π41OU)3(RqRqRq0π6∴RqqUUqAoCO00π6)(9.18如题9.18图所示的绝缘细线上均匀分布着线密度为的正电荷,两直导线的长度和半圆环的半径都等于R.试求环中心O解:(1)由于电荷均匀分布与对称性,AB和CD段电荷在O点产生的场强互相抵消,取ddRl则ddRq产生O点Ed如图,由于对称性,O点场强沿y轴负方向题9.18图cosπ4dd2220RREEyR0π4[)2sin(2sin]R0π2(2)AB电荷在O点产生电势,以0UAB200012lnπ4π4dπ4dRRxxxxU同理CD产生2lnπ402U半圆环产生0034π4πRRU∴0032142lnπ2UUUUO9.19一电子绕一带均匀电荷的长直导线以2×104m·s-1的匀速率作圆周运动.求带电直线上的线电荷密度.(电子质量0m=9.1×10-31kg,电子电量e=1.60×10-19C)解:设均匀带电直线电荷密度为,在电子轨道处场强rE0π2电子受力大小reeEFe0π2∴rvmre20π2得1320105.12π2emv1mC9.20空气可以承受的场强的最大值为E=30kV·cm-1,超过这个数值时空气要发生火花放电.今有一高压平行板电容器,极板间距离为d=0.5cm解:平行板电容器内部近似为均匀电场4105.1dEUV9.21证明:对于两个无限大的平行平面带电导体板(题9.21图)来说,(1)相向的两面上,电荷的面密度总是大小相等而符号相反;(2)相背的两面上,电荷的面密度总是大小相等而符证:如题9.21图所示,设两导体A、B的四个平面均匀带电的电荷面密度依次为1,2,3,4题9.21图(1)则取与平面垂直且底面分别在A、B内部的闭合柱面为高斯面时,有0)(d32SSEs∴203说明相向两面上电荷面密度大小相等、符号相反;(2)在A内部任取一点P,则其场强为零,并且它是由四个均匀带电平面产生的场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