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第3次课提纲2010年3月11日(2学时)第1页共5页§1．3Bolzano定理与Cauchy收敛原理P40Ex1．34（2），5，6（1）（3），9，10，一、数列极限与子列极限的关系二、区间套定理（Cantor准则）1．区间套的概念；2．区间套定理（Cantor准则）三、Bolzano—Weierstrass定理（定理证明由W—氏给出）Note：紧致性的另一个形式是闭区间的有限覆盖定理．四*、有限覆盖定理1.覆盖的概念：设{}),(nnba是一个开区间集合，I是一个数集．若对于任意的xI∈，总存在{}00(,)(,)nnnnabab∈，使得00(,)nnxab∈，则称{}),(nnba是I的一个覆盖．2.定理（有限覆盖定理）：若{}),(nnba是闭区间],[ba的一个覆盖，则存在Nnnn,,,21，使得{}),(],[1kknnNkbaba≤≤⊂∪．证明：反证法．设{}),(nnba是闭区间],[ba的一个覆盖，且其中的任意有限个区间都不能覆盖],[ba．记],[],[11badc=．令2111dcm+=，若],[11mc不能被{}),(nnba中的任意有限个区间覆盖，则取],[],[1122mcdc=，否则取],[],[1122dmdc=；令2222dcm+=，若],[22mc不能被{}),(nnba中的任意有限个区间覆盖，则取],[],[2233mcdc=，否则取],[],[2233dmdc=；依次得到区间套{}[,]kkcd，满足任意的[,]kkcd都不能被{}),(nnba中的任意有限个区间覆盖．根据区间套定理，存在唯一的实数limlim[,][,]kkkkkkcdcdabξ→∞→∞==∈⊂．由于{}),(nnba是闭区间],[ba的一个覆盖，所以存在),(00nnba，使得),(00nnba∈ξ，从而当k充分大时，就有00[,](,)kknncdab⊂．这与“任意的[,]kkcd都不能被{}),(nnba中的任意有限个区间覆盖”矛盾．第3次课提纲2010年3月11日(2学时)第2页共5页Note：开区间没有有限覆盖定理．例如3{(,)}22xx((0,1))x∈就是开区间(0,1)的一个覆盖，但没有有限覆盖．例：利用有限覆盖定理证明：若函数)(xf在],[ba上无界，则存在],[bac∈，对任意的0δ，函数)(xf在],[),(bacc∩δδ+−上无界．证明：反证法．若对任意的],[bac∈，总存在0cδ，使得函数)(xf在],[),(bacccc∩δδ+−上有界．由于{}),(ccccδδ+−是],[ba的一个覆盖，所以存在有限个区间{}),,2,1(),(nkcckkckck=+−δδ，使得{}),(],[1kkckcknkccbaδδ+−⊂≤≤∪，从而得到函数)(xf在],[ba上有界．矛盾．Note：本题的证明过程说明闭区间上的连续函数一定是有界函数。五、Cauchy收敛准则1．Cauchy列的概念（Cauchy列又称为基本列）定义：设{}na是一个数列，若对于任意的0ε，总存在正整数N，当NnNm,时，有ε−mnaa成立，则称{}na是一个Cauchy列．Note：{}na是一个Cauchy列又可以表述为：对于任意的0ε，总存在正整数N，当nN时，对任意的正整数p，总有npnaaε+−成立．例1：当1q时，证明{}nq是一个Cauchy列．“因为nnmnmnqqqqq21−=−−（不妨假设mn），且0lim=∞→nnq，所以对任意的0ε，总存在正整数N，当Nnm时，有ε−mnaa成立．”例2：证明211nnkak==∑是一个Cauchy列．“npnnpnpnnnnnkpnnk111))(1(1)2)(1(1)1(11012+−=+−+++++++∑++=”2．{}na不是Cauchy列的表述：存在00ε，对任意的0N，总存在00,nNmN，第3次课提纲2010年3月11日(2学时)第3页共5页使得000nmaaε−．例3：设11nnkak==∑，证明数列{}na不是Cauchy列．“21212121121=+++∑+=nnnknnk”Note：数列11nnkak==∑满足：对任意的正整数p，对于任意的0ε，总存在正整数N，当nN时，总有111npnpnknpaaknε++=+−=+∑成立．注意这种描述与Cauchy列定义的不同．3．Cauchy收敛准则定理：{}na收敛⇔{}na是Cauchy列．证明：必要性易证．nmnmaaaAAaε−≤−+−．充分性证明．“证明过程为：“Cauchy列”⇒“有界列”⇒“收敛子列”⇒“收敛”，只证最后一步．设Aaknk=∞→lim．任给0ε，由于{}na是一个Cauchy列，所以存在正整数1N，当11,NnNm时，有ε−mnaa；又因为Aaknk=∞→lim，所以存在正整数K，当Kk时，有ε−Aakn．取},max{1KNN=，则当NkNn,时，有ε2−+−≤−AaaaAakknnnn．即Aann=∞→lim．例4：若数列{}na满足Caaaaaann≤+−++−+−−12312，证明nna∞→lim存在．“12312−−++−+−=nnnaaaaaab单调有界”⇒“{}nb是Cauchy列”，由1123121++−++++++++−=−++−+−≤−npnpnpnnnnnpnnbbaaaaaaaa第3次课提纲2010年3月11日(2学时)第4页共5页可知{}na也是Cauchy列．Note：若数列{}na满足Caaaaaann≤+−++−+−−12312，则称其为有界变差数列．例4说明有界变差数列一定收敛，那么收敛的数列是否一定是有界变差数列呢？例如数列nann)1(−=，易知此数列收敛，但由于21321111112231nnaaaaaann−⎛⎞−+−++−=++++⎜⎟−⎝⎠无界，所以其不是有界变差数列．Note：判断数列极限存在的常用方法．（1）夹逼定理；（2）单调有界收敛定理；（3）数列极限与子列的关系；（4）Bolzano定理；（5）Cauchy准则；（6）有界变差§1．4函数极限与连续函数的性质一、函数极限1．函数极限的严格定义定义：0,0)(lim0∃∀⇔=→δεAxfxx，当δ−00xx时，有ε−Axf)(．关于极限定义要注意：（1）δ−00xx；（2）)(lim0xfxx→与)(0xf的关系；（3）δ与ε及0x的关系．另外，还要注意：（1）Axfxx≠→)(lim0的严格描述：00ε∃，对0δ∀，xδ∃，使得00xxδδ−，但0()fxAδε−≥成立．（2）函数极限的性质（极限值的唯一性、极限存在函数的局部有界性、极限的保序性、函数极限的四则运算）．例：利用极限定义证明下列极限（1）4lim22=→xx；（2）0sin1lim=∞→xxx；（3）若0)(lim0=→Axfxx，则Axfxx=→)(lim0．第3次课提纲2010年3月11日(2学时)第5页共5页2．复合函数的极限定理：若Aufuu=→)(lim0，0)(lim0uxgxx=→，且0xx≠时，0)(uxg≠，则Axgfxx=→))((lim0．证明：0∀ε，由于Aufuu=→)(lim0，所以01∃δ，当100δ−uu时，ε−Auf)(；对于上述01δ，因为0)(lim0uxgxx=→，且0xx≠时，0)(uxg≠，所以0∃δ，当δ−00xx时，有10)(0δ−uxg．从而ε−Axgf))((．