北邮-工程数学(线性代数)综合练习题整理

1《线性代数》部分一、判断题：1.四阶行列式D=000000000000dcba=abcd.(√)2.n阶行列式D=111111000000000000000000001321nn=.21n()3.设A为n阶矩阵,k为不等于零的常数,则.AkkA()4.设A,B均为n阶矩阵,则.2)(222BABABA()5.若n阶矩阵A,B满足AB=0,则有A=0或者B=0.()6.对n阶矩阵A,若存在n阶矩阵B,使AB=E(E为n阶单位矩阵),则A可逆且有.1BA(√)7.设A,B均为n阶矩阵且AB,则A,B均可逆.()8.若n阶矩阵A,B均为可逆矩阵,则A+B仍为可逆矩阵.()9.设A,B均为n阶可逆矩阵,则)()(111ABAB.(√)10.若n阶矩阵A为对称矩阵,则A为可逆矩阵.()11.若n阶矩阵A为正交矩阵,则A为可逆矩阵.(√)12.若n阶可逆矩阵A=n21,则.112111nA(√)13.若存在),,2,1(0miki使式子02211mmkkk成立,则向量组m,,,21线性无关.()14.若向量组m,,,21线性相关,则m可用121,,,m线性表示.()15.设),,2,1(nii为基本单位向量组,则n,,,21线性无关.(√)216.若)(,,,21mrr是向量组m,,,21的一个极大无关组,则),,2,1(mii均可用r,,,21线性表示.(√)17.等价向量组所含向量个数相同.()18.若)(,,,21mrr是向量组的一个极大无关组,则此极大无关组与原向量组等价.(√)19.若nm矩阵A有一个r(rmn)阶子式不等于零,一个r+1阶子式等于零,则Rank(A)=r.()20.任意nm矩阵A的秩等于它的等价标准形中1的个数.(√)21.任何一个齐次线性方程组都有基础解系.()22.任何一个齐次线性方程组都有解.(√)23.若线性方程组AX=B(A为nm矩阵,X=),,,(,),,,(2121mnbbbBxxx)满足Rank),()(ARankBA则此方程组有解.(√)24若线性方程组AX=0(A为n阶矩阵,X同上)满足0A,则此方程组无解.()25.若线性方程组AX=B(A,X同24题,B=)),,,(21nbbb满足,0A此方程组有无穷多解.()26.若21,都是AX=B(A,X,B同23题)的解,则21仍是此方程组的解.()二、填空题：1.四阶行列式101320235120264371178D_____________________.2.五阶矩阵,0021AAA其中,100010103,542321AA则1A_______,2A________,A_____________.3.设A,B均为n阶矩阵,且,3,2BA则BA2=_______________.4.设矩阵33101321011ijAa,则12a的余子式为_________________,12a的代数余子式为________________,A的顺序主子式为__________________________.35.设三阶矩阵,bacacbcbaA则kA-E=________________(k为不等于零的常数,E为三阶单位矩阵),若,2A则kA=________________.此时A在等价关系下的标准形为____________________.6.已知),3,2,1(),2,0,1(),0,0,1(321当321,,aaa为任意常数时,向量组)3,2,,1(),2,0,,1(),0,0,,1(332211aaa线性________关(相关还是无关).3_______(能还是不能)用21,线性表示.7.设),2,1,2(),1,0,1(),0,1,0(),0,0,1(321则向量用向量321,,线性表示的表达式为_______________________.向量组,,,321_____________(是或不是)线性相关.8.n阶矩阵A可逆的充分必要条件是1)___________________________________,2)___________________.9.设A为五阶矩阵,且,3A则_,__________,__________1AA其中A为A的伴随矩阵.10.设矩阵,0021AAA其中,0121,311121AA则11A=，12A=，1A=。11.设A为n阶正交矩阵,则Rank(A)=__________________,AA_______,1__________________.12.设E为四阶单位矩阵,则初等矩阵E(1,3)=_______________,E(2(3))=________________.13.设A为四阶矩阵且,2AB是由A交换2,3行得到的等价矩阵,则______,BRank(A)_______Rank(B)(等于,大于或小于).14.齐次线性方程组032321xxx的一个基础解系为___________________________,其全部解为____________________________________.15.设线性方程组为2124321xxxx,它的导出组的一个基础解系为________________________________________,此方程组的全部解为________________________________.16.设nm矩阵A的秩为)(,,12121n都是线性方程组AX=B(X=)),,,(,),,,(2121mnbbbBxxx的解,则它的一个基础解系为___________,全部解为________________________________________________.417.设向量组),0,21,1(),1,,0(),1,2,0(tt则实数t=________时,,,线性相关.三、单项选择题：1．下列5级排列是偶排列的是（A）。A．32415B．41523C．51324D．231542．n阶行列式12311111000000000000000000000nD=（C）。A．12nB．12nC．112(1)nnD．12(1)nn3．设3阶行列式2333231232221131211aaaaaaaaa，则333231232221131211kakakakakakakakaka（D）。A．2kB．6kC．18kD．32k4．已知4阶行列式D中的第2行的元素依次为1，0，-1，2，它们的余子式依次为3，8，5，4，则D=（B）。A．6B．10C．-10D．-65．如果线性方程组05040332132321xxkxxxxkxx有非零解，则k=（C）。A．0或1B．1或-1C．-1或-3D．-1或36．n阶矩阵A可逆的充分必要条件是（D）。A．A=0B．A≠0C．|A|=0D．|A|≠07．如果n阶矩阵A，B均可逆，则必有（D）。A．111()ABABB．111()ABABC．111()ABABD．111()ABBA8．如果n阶矩阵A可逆，则1(2)A=（A）。5A．112AB．12AC．11()2AD．12A9．设A，B都为n阶矩阵，如果|AB|=0，则必有（C）。A．AB=0B．A=0或B=0C．|A|=0或|B|=0D．0AB10．当ad-cb=1时，1dcba=（B）。A．dbcaB．dbcaC．acbdD．dcba11．设A为m×n矩阵，如果r(A)=r（min(m,n)），则（B）。A．A有一个r阶子式不等于零，一个r+1阶子式等于零。B．A有一个r阶子式不等于零，所有r+1阶子式都等于零。C．A的所有r阶子式都不等于零，一个r+1阶子式等于零。D．A的r阶子式不全为零，一个r+1阶子式等于零。12．向量组12,,,m(m2)线性相关的充分必要条件是（A）。A．12,,,m中至少有一个向量可以用其余向量线性表示。B．12,,,m中有一个零向量。C．12,,,m中的所有向量都可以用其余向量线性表示。D．12,,,m中每一个向量都不能用其余向量线性表示。13．向量组s,21，，的部分组rjjj,21，，)(sr是向量组s,21，，的一个极大无关组，则其必须满足（C）。A．rjjj,21，，线性无关，s,21，，中至少有一个向量可以用rjjj,21，，线性表示。B．s,21，，线性相关，s,21，，中所有向量都可以用rjjj,21，，线性表示。C．rjjj,21，，线性无关，s,21，，中所有向量都可以用rjjj,21，，线性表示。D．rjjj,21，，线性无关，s,21，，中所有向量都不可以用rjjj,21，，线性表示。14．设A为n阶矩阵，TnTxxxX),,,(21，如果|A|=0，则齐线性方程组AX=0（B）。A．无解B．有非零解C．仅有零解D．不能确定是否有非零解615．三元线性方程组1231xxx的全部解为（A）。A．12111010001kk（12,kk为任意常数）B．12011110101kk（12,kk为任意常数）C．12111110001kk（12,kk为任意常数）D．12111110101kk（12,kk为任意常数）四、计算题：1.解方程08112132322132112xxx.2.设2131111101100132D,求.2D3.计算n阶行列式D=110000011000000110000011100001.4.设矩阵A，B分别为A=231131001,011102101B.求12)(BAB.75.设,0021AAA其中1230132,010,45001AA试求.1A6.求x，y，t，u，使得.342163utyxuxutyx7.求矩阵X使XA=B，其中011133210,432.111125AB8.设X为n阶矩阵且满足AX-B=0,试求X,其中.100002100023100122101321,1000011000111001111011111nnnnnnBA9.设向量组),1,1,1,0(),0,0,1,1(),3,1,1,2(),1,0,1,1(4