2016-2017学年高中数学人教版选修2-1课件：3.2 第一课时 空间向量与平行、垂直关系

3．2立体几何中的向量方法第一课时空间向量与平行、垂直关系平面的法向量[提出问题]1．如图(1)所示，直线l∥m，在直线l上取两点A，B，在直线m上取两点C，D.2．如图(2)所示，直线l⊥平面α，直线l∥m，在直线m上取向量n.问题1：AB―→与直线l有何关系？CD―→与直线l有何关系？提示：AB―→在直线l上，CD―→与直线l平行．问题2：图(2)中，n与直线l平行吗？提示：平行．问题3：l⊥α，向量n也垂直于α吗？提示：垂直．[导入新知]1．直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线的向量．2．平面的法向量直线l⊥α，取直线l的，则a叫做平面α的法向量．[化解疑难]平面的法向量是指所在的直线与平面垂直的向量，显然一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量.平行或共线方向向量a空间平行关系的向量表示[提出问题]由直线上一点和直线的方向向量可以确定直线的位置；由平面上一点和平面的法向量也可以确定平面的位置．问题1：若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为u，当a∥u时，l与α有什么关系？若a⊥u呢？提示：a∥u时，l⊥α；a⊥u时，l∥α或l⊂α.问题2：若u，v分别是平面α，β的法向量，则u∥v，u⊥v时，α，β分别是什么位置关系？提示：u∥v时，α∥β；u⊥v时，α⊥β.[导入新知]1．线线平行设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，则l∥m⇔a∥b⇔⇔a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．2．线面平行设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔a⊥u⇔⇔.3．面面平行设平面α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔u∥v⇔⇔a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．a＝λba·u＝0a1a2＋b1b2＋c1c2＝0u＝λv[化解疑难]平行关系的判断(1)若证线线平行，则利用方向向量平行来证明；(2)若证线面平行，则证直线的方向向量与平面的法向量垂直；(3)若证面面平行，则证两平面的法向量平行.空间垂直关系的向量表示[提出问题]问题1：直线的方向向量与一平面的法向量平行，则该直线与平面有什么关系？提示：垂直．问题2：若两平面的法向量垂直，则两平面垂直吗？提示：垂直．[导入新知]1．线线垂直设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b＝(b1，b2，b3)，则l⊥m⇔a·b＝0⇔.2．线面垂直设直线l的方向向量是a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量是u＝(a2，b2，c2)，则l⊥α⇔a∥u⇔⇔(λ∈R)．3．面面垂直若平面α的法向量u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量v＝(a2，b2，c2)，则α⊥β⇔u⊥v⇔⇔.a1b1＋a2b2＋a3b3＝0a＝λua1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2u·v＝0a1a2＋b1b2＋c1c2＝0[化解疑难]垂直关系的证明(1)若证线线垂直，则证直线的方向向量垂直；(2)若证线面垂直，则证直线的方向向量与平面的法向量平行；(3)若证面面垂直，则证两平面的法向量垂直.求平面的法向量[例1]已知平面α经过三点A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)，求平面α的一个法向量．[解]因为A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)，所以AB―→＝(1，－2，－4)，AC―→＝(2，－4，－3)．则有n·AB―→＝0，n·AC―→＝0，即x－2y－4z＝0，2x－4y－3z＝0，得z＝0，x＝2y.令y＝1，则x＝2，所以平面α的一个法向量为n＝(2,1,0)．[类题通法]利用待定系数法求法向量的解题步骤[活学活用]四边形ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝2，AD＝1.在如图所示的坐标系Axyz中，分别求平面SAB和平面SCD的一个法向量．解：A(0,0,0)，D(1,0,0)，C(2,2,0)，S(0,0,2)．∵AD⊥平面SAB，∴AD―→＝(1,0,0)是平面SAB的一个法向量．设平面SCD的法向量为n＝(1，y，z)，则n·DC―→＝(1，y，z)·(1,2,0)＝1＋2y＝0，∴y＝－12.又∵n·DS―→＝(1，y，z)·(－1,0,2)＝－1＋2z＝0，∴z＝12.∴n＝1，－12，12即为平面SCD的一个法向量.[例2]已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，求证：(1)FC1∥平面ADE；(2)平面ADE∥平面B1C1F.用空间向量证明平行问题[证明]如图所示建立空间直角坐标系Dxyz，则有D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(0,0,1)，B1(2,2,2)，所以FC1―→＝(0,2,1)，DA―→＝(2,0,0)，AE―→＝(0,2,1)．(1)设n1＝(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，则n1⊥DA―→，n1⊥AE―→，即n1·DA―→＝2x1＝0，n1·AE―→＝2y1＋z1＝0，得x1＝0，z1＝－2y1.令z1＝2，则y1＝－1，所以n1＝(0，－1,2)．因为FC1―→·n1＝－2＋2＝0，所以FC1―→⊥n1.又因为FC1⊄平面ADE，所以FC1∥平面ADE.(2)因为C1B1―→＝(2,0,0)，设n2＝(x2，y2，z2)是平面B1C1F的一个法向量．由n2⊥FC1―→，n2⊥C1B1―→，得n2·FC1―→＝2y2＋z2＝0，n2·C1B1―→＝2x2＝0，得x2＝0，z2＝－2y2.令z2＝2，得y2＝－1，所以n2＝(0，－1,2)．因为n1＝n2，所以平面ADE∥平面B1C1F.[类题通法]利用向量法证明几何中的平行问题可以通过两条途径实现(1)利用三角形法则和平面向量基本定理实现向量间的相互转化，得到向量的共线关系；(2)通过建立空间直角坐标系，借助直线的方向向量和平面的法向量进行平行关系的证明．[活学活用]在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2，P，Q，R，S分别是AA1，D1C1，AB，CC1的中点．求证：PQ∥RS.证明：法一：以点D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则P(3,0,1)，Q(0,2,2)，R(3,2,0)，S(0,4,1)，PQ―→＝(－3,2,1)，RS―→＝(－3,2,1)，∴PQ―→＝RS―→，∴PQ―→∥RS―→，∴PQ∥RS.法二：RS―→＝RC―→＋CS―→＝12DC―→－DA―→＋12DD1―→，PQ―→＝PA1―→＋A1Q―→＝12DD1―→＋12DC―→－DA―→，∴RS―→＝PQ―→，∴RS―→∥PQ―→，∴RS∥PQ.利用空间向量证明垂直问题[例3]如图，在四棱锥E­ABCD中，AB⊥平面BCE，CD⊥平面BCE，AB＝BC＝CE＝2CD＝2，∠BCE＝120°.求证：平面ADE⊥平面ABE.[证明]取BE的中点O，连接OC，则OC⊥EB，又∵AB⊥平面BCE，∴以点O为原点建立空间直角坐标系Oxyz，如图所示．则由已知条件有C(1,0,0)，B(0，3，0)，E(0，－3，0)，D(1,0,1)，A(0，3，2)．设平面ADE的法向量为n＝(a，b，c)，则n·EA―→＝(a，b，c)·(0,23，2)＝23b＋2c＝0，n·DA―→＝(a，b，c)·(－1，3，1)＝－a＋3b＋c＝0.令b＝1，则a＝0，c＝－3，∴n＝(0,1，－3)．又∵AB⊥平面BCE，∴AB⊥OC，∴OC⊥平面ABE，∴平面ABE的法向量可取为m＝(1,0,0)．∵n·m＝(0,1，－3)·(1,0,0)＝0，∴n⊥m，∴平面ADE⊥平面ABE.[类题通法](1)用向量法判定线面垂直，只需直线的方向向量与平面的法向量平行，或直线的方向向量与平面内两相交的直线的方向向量垂直．(2)用向量法判定两个平面垂直，只需求出这两个平面的法向量，再看它们的数量积是否为0.[活学活用]在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，D1B1的中点，求证：EF⊥平面B1AC.证明：设正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A(2,0,0)，C(0,2,0)，B1(2,2,2)，E(2,2,1)，F(1,1,2)．法一：EF―→＝(－1，－1,1)，AB1―→＝(0,2,2)，AC―→＝(－2,2,0)，∴EF―→·AB1―→＝(－1，－1,1)·(0,2,2)＝0，EF―→·AC―→＝(－1，－1,1)·(－2,2,0)＝0，∴EF⊥AB1，EF⊥AC，又AB1∩AC＝A，∴EF⊥平面B1AC.法二：设平面B1AC的法向量为n＝(x，y，z)．又AB1―→＝(0,2,2)，AC―→＝(－2,2,0)，则n⊥AB1―→，n⊥AC―→⇒n·AB1―→＝2y＋2z＝0，n·AC―→＝－2x＋2y＝0.令x＝1，可得平面B1AC的一个法向量为n＝(1,1，－1)．又∵EF―→＝－n，∴EF―→∥n，∴EF⊥平面B1AC.[典例](12分)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E是棱BC的中点，试在棱CC1上求一点P，使得平面A1B1P⊥平面C1DE.6.明析空间向量加减运算的失误[解题流程][活学活用]如图，在底面为直角梯形的四棱锥P­ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，PD⊥平面ABCD，AD＝1，AB＝3，BC＝4.(1)求证：BD⊥PC；(2)设点E在棱PC上，PE―→＝λPC―→，若DE∥平面PAB，求λ的值．解：如图，在平面ABCD内过点D作直线DF∥AB，交BC于点F，以D为坐标原点，DA，DF，DP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Dxyz，则A(1,0,0)，B(1，3，0)，D(0，0,0)，C(－3，3，0)．(1)证明：设PD＝a，则P(0,0，a)，BD―→＝(－1，－3，0)，PC―→＝(－3，3，－a)，∵BD―→·PC―→＝3－3＝0，∴BD⊥PC.(2)由题意知，AB―→＝(0，3，0)，DP―→＝(0,0，a)，PA―→＝(1,0，－a)，PC―→＝(－3，3，－a)，∵PE―→＝λPC―→，∴PE―→＝(－3λ，3λ，－aλ)，DE―→＝DP―→＋PE―→＝(0,0，a)＋(－3λ，3λ，－aλ)＝(－3λ，3λ，a－aλ)．设n＝(x，y，z)为平面PAB的法向量，则AB―→·n＝0，PA―→·n＝0，即3y＝0，x－az＝0.令z＝1，得x＝a，∴n＝(a,0,1)．∵DE∥平面PAB，∴DE―→·n＝0，∴－3aλ＋a－aλ＝0，即a(1－4λ)＝0.∵a≠0，∴λ＝14.[随堂即时演练]1．若两个不同平面α，β的法向量分别为u＝(1,2，－1)，v＝(－3，－6,3)，则()A．α∥βB．α⊥βC．α，β相交但不垂直D．以上均不正确解析：∵v＝－3u，∴α∥β.答案：A2．已知AB―→＝(1,5，－2)，BC―→＝(3,1，z)，若AB―→⊥BC―→，BP―→＝(x－1，y，－3)，且BP―→⊥平面ABC，则BP―→等于()A.337，－157，4B.337，－157，－3C.407，－157，4D.407，157，－3解析：由AB―→·BC―→＝0得3＋5－2z＝0，∴z＝4.又∵BP―→⊥平面ABC，∴BP―→·AB―→＝0，BP―→·BC―→＝0，即x－1＋5y＋6＝0，3x－3＋y－12＝0，解得x＝407，y＝－157.∴BP―→＝337，－157，－3.答案：B3．已知直线l的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为1，12，2，且l∥α，则m＝________.解析：∵