高三一轮复习平面向量复习教案

1既然选择了远方，便只顾风雨兼程。平面向量第一课时平面向量的概念【重要知识】知识点一：向量的概念既有大小又有方向的量叫向量。注意数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.知识点二：向量的表示法①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示；①用有向线段表示；③用有向线段的起点与终点字母：AB；④向量AB的大小――长度称为向量的模，记作|AB|.知识点三：有向线段（1）有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度.（2）向量与有向线段的区别：①向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；②有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.知识点四：两个特殊的向量（1）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作0r.0r的方向是任意的.注意0r与0的含义与书写区别.（2）单位向量：长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小。知识点五：平行向量、共线向量（1）定义：方向相同或相反的非零向量叫平行向量。（2）规定：规定0r与任一向量平行.（3）共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）.说明：①综合(1)、(2)才是平行向量的完整定义;②向量,,abcrrr平行，记作ar∥br∥cr③平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；④共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.知识点六：相等向量2既然选择了远方，便只顾风雨兼程。（1）定义长度相等且方向相同的向量叫相等向量.（2）向量ar与br相等，记作abrr；（3）零向量与零向量相等；（4）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.【典型例题】1．下列命题正确的是（）A．向量AB与BAB．若ba、都是单位向量,则abrrC．若AB=DC,则A、B、C、DD．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同2．若ba、都是单位向量，则||ba的取值范围是（）A．（1，2）B．（0，2）C．［1，2］D．［0，2］3.在正六边形ABCDEF中，O为其中心，则2FAABBOEDuuruuuruuuruuur等于（）A．FEuurB.ACuuurCDCuuurDFCuuur4.如图，在△ABC中，AB=ar,BC=br，AD为边BC的中线，G为△ABC的重心，求：向量AG．5．已知△ABC及一点O，求证：O为△ABC的重心的充要条件是.OOCOBOADABMCMabG·3既然选择了远方，便只顾风雨兼程。6.设平面内有四边形ABCD和O点，,,,OAaOBbOCcODduurruuurruuurruuurur，若acbdrrrur，则四边形ABCD的形状为。【同步练习】1．在四边形ABCD中，AB=a+2b，BC=－4a－b，CD=－5a－3b，其中a、b不共线，则四边形ABCD为（）A.平行四边形B.矩形C.梯形D.菱形2.已知菱形ABCD，点P在对角线AC上（不包括端点A、C），则AP等于（）A.λ(AB+AD),λ∈(0,1)B.λ(AB+BC),λ∈(0,22)C.λ(AB－AD),λ∈(0,1)D.λ(BCAB),λ∈(0,22)3.已知两点3,2M，5,5N12MPMNuuuruuur，则P点坐标是（）4.已知△ABC中，cABbCAaBC,,，若accbba，求证：△ABC为正三角形.5.已知平行四边形ABCD的两条对角线AC与BD交于E，O是任意一点，求证OEODOCOBOA4.4既然选择了远方，便只顾风雨兼程。第二课时平面向量的线性运算【重要知识】知识点一：向量的加法（1）定义已知非零向量,abrr，在平面内任取一点A，作AB＝ar，BC＝br，则向量AC叫做ar与br的和，记作abrr，即abrr＝AB＋BC＝AC．求两个向量和的运算，叫做叫向量的加法．这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则．说明：①运用向量加法的三角形法则时，要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点，则由第一个向量的起点指向第二个向量终点的向量即为和向量.②两个向量的和仍然是一个向量，其大小、方向可以由三角形法则确定．③位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型．（2）向量加法的平行四边形法则以点O为起点作向量aOA，OBbuuurr，以OA,OB为邻边作OACBY，则以O为起点的对角线所在向量OCuuur就是,abrr的和，记作abrr=OCuuur。说明：①三角形法则适合于首尾相接的两向量求和，而平行四边形法则适合于同起点的两向量求和，但两共线向量求和时，则三角形法则较为合适.②力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型．③对于零向量与任一向量00aaaarrrrrr，（3）特殊位置关系的两向量的和①当向量a与b不共线时，a+b的方向不同向，且|a+b||a|+|b|；②当a与b同向时，则a+b、a、b同向，且|a+b|=|a|+|b|，③当a与b反向时，若|a||b|，则a+b的方向与a相同，且|a+b|=|a|-|b|；若|a||b|，则a+b的方向与b相同，且|a+b|=|b|-|a|.（4）向量加法的运算律①向量加法的交换律：a+b=b+a②向量加法的结合律：(a+b)+c=a+(b+c)知识点二：向量的减法5既然选择了远方，便只顾风雨兼程。（1）相反向量：与ar长度相同、方向相反的向量.记作ar。（2）①向量ar和-ar互为相反向量，即–(-ar).②零向量的相反向量仍是零向量．③任一向量与其相反向量的和是零向量，即ar＋(-ar)＝(-ar)＋ar＝0r．④如果向量,abrr互为相反向量，那么ar＝-br，br＝-ar，ar＋br＝0r．（3）向量减法的定义：向量ar加上的br相反向量，叫做ar与br的差.即：arbr=ar+(br)求两个向量差的运算叫做向量的减法.（4）向量减法的几何作法在平面内任取一点O，作,OAaOBbuurruuurr，则BAabuurrr．即abrr可以表示为从向量br的终点指向向量ar的终点的向量，这就是向量减法的几何意义．说明：①AB表示abrr.强调：差向量“箭头”指向被减数②用“相反向量”定义法作差向量，arbr=ar+(br)，显然，此法作图较繁，但最后作图可统一.知识点三：向量数乘的定义（1）定义：一般地，我们规定实数与向量ar的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作ar，它的长度与方向规定如下：⑴|λar|＝|λ||ar|⑵当0时，λar的方向与ar的方向相同；当0时，λar的方向与ar的方向相反．当0时，λar＝0r（2）向量数乘的运算律根据实数与向量的积的定义，我们可以验证下面的运算律：设、为实数，那么⑴λ(μar)＝(λμ)ar；⑵(λ＋μ)ar＝λar＋μar；⑶λ(ar＋br)＝λar＋λbr．知识点四：向量共线的条件6既然选择了远方，便只顾风雨兼程。向量ar(ar0r)与br共线，当且仅当有唯一一个实数，使br＝ar．【典型例题】1.下列各式正确的是（）A．若ar，br同向，则|a+b|=|a|+|b|B．abrr与|a|+|b|表示的意义是相同的C．若ar，br不共线，则|a+b|＞|a|+|b|D．aabrrr永远成立2．AOOBOCCABOuuuruuuruuuruuruuur等于（）A．B．0rC．D．3．下列命题①如果ar，br的方向相同或相反，那么abrr的方向必与ar，br之一的方向相同。②△ABC中，必有0r③若0r，则A、B、C为一个三角形的三个顶点。④若ar，br均为非零向量，则|a+b|与|a|+|b|一定相等。其中真命题的个数为（）A．0B．1C．2D．34．已知一点O到平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的向量分别为ar，br，cr，则向量等于（）A．abcrrrB．abcrrrC．abcrrrD．abcrrr7既然选择了远方，便只顾风雨兼程。5．在四边形ABCD中，设,,ABaADbBCcuuurruuurruuurr，则等于（）A．abcrrrB．()bacrrrC．abcrrrD．bacrrr6．设br是ar的相反向量，则下列说法错误的是（）A．ar与br的长度必相等B．ar∥brC．ar与br一定不相等D．ar是br的相反向量7．ACuuur可以写成：①；②；③；④，其中正确的是（）A．①②B．②③C．③④D．①④8.如图所示，在ABCD中，已知,ABaDBbuuurruuurr，用ar与br表示向量ADuuur、。【同步练习】1.在以下各命题中，不正确的命题个数为（）①|a|=|b|是a=b的必要不充分条件；②任一非零向量的方向都是惟一的；③|a-b|＜|a|+|b|④若|a-b|=|a|+|b|，则0brr；⑤已知A、B、C是平面上的任意三点，则0r。A．1B．2C．3D．48既然选择了远方，便只顾风雨兼程。2．某人先位移向量ar：“向东走3km”，接着再位移向量br：“向北走3km”，则abrr（）A．向东南走kmB．向东北走kmC．向东南走kmD．向东北走km3．若，则BCuuur的取值范围是（）A．B．（3，8）C．D．（3，13）4．设ABCDEF为一正六边形，,ABmAEnuuururuuurr，则5．化简：9既然选择了远方，便只顾风雨兼程。第三课时平面向量的基本定理【重要知识】知识点一：平面向量基本定理⑴平面向量基本定理：如果1e，2e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量ar，有且只有一对实数12,使ar=1122eeurur。我们把不共线向量1e，2e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)运用定理时需注意：①1e，2e是同一平面内的两个不共线向量。②该平面内的任一向量都可用1e，2e线性表示，且这种表示是唯一的。③基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可作为基底。知识点二：两向量的夹角与垂直（1）定义：已知两个非零向量,abrr，作,OAaOBbuurruuurr,则∠AOB=叫做向量abrr与的夹角。（2）如果abrr与的夹角是90°，就说abrr与垂直，记作abrr。（3）注意：向量abrr与的夹角的范围是0180，当0时，abrr与同向；当90时，abrr；当180，abrr与反向。知识点三：平面向量的坐标表示（1）如图，在直角坐标系内，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量,ijrr作为基底.任作一个向量ar，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得axiyjrrr…………○1我们把),(yx叫做向量ar的（直角）坐标，记作(,)axyr…………○2其中x叫做ar在x轴上的坐标，y叫做ar在y轴上的坐标，○2式叫做向量的坐标表示.与ar相等的向量的坐标也为),(yx.特别地，(1,0),(0,1),0(0,0)ijrrr，如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作OAauurr，则点A的位置10既然选择了远方，便只顾风雨兼程。由ar唯一确定.设OAxiyjuurrr，则向量OA的坐标),(yx就是点A的坐标；反过来，点A的坐标),(yx也就是向量OA的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.（2）平面向量的坐标运算①若1122(,),(,)axybxyrr，则abrr),(2121yyxx，abrr),(2121yyxx两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.②若),(11yxA，),(22yxB