高三一轮复习课件：2.4平衡物体的临界与极值问题

一、临界问题1．临界状态：是一种物理现象转变为另一种物理现象，或从某一物理过程转入到另一物理过程的转折状态，临界状态也可理解为“恰好出现”或“恰好不出现”某种现象的状态，解决这类问题的关键是要注意“恰好出现”或“恰好不出现”的条件．2．处理临界问题的基本思维方法——假设推理法．二、极值问题1．极值问题是指研究物理问题中某物理量发生变化时出现的最大值或最小值．2．研究平衡物体的极值问题的两种方法．(1)解析法：根据平衡条件列方程，在解方程时采用数学知识求极值．通常用到的数学知识有二次函数极值法、判别式法、配方法、定和定积法、讨论分析三角函数极值以及几何法求极值等．(2)图解法：即根据物体的平衡条件作出力的矢量图，确定最大值和最小值．例1、如图251所示，一个底面粗糙，质量为m的斜面体静止在水平地面上，斜面体斜面是光滑的，倾角为30°.现用一端固定的轻绳系一质量也为m的小球，小球静止时轻绳与斜面的夹角也是30°.试求：(1)当斜面体静止时绳的拉力大小．(2)若地面对斜面体的最大静摩擦力等于地面对斜面体支持力的k倍，为了使整个系统始终保持静止状态，k值必须满足什么条件？图251NN.313TFmgFTmg对小球进行受力分析，其受力如图．根据平衡条件可知，、的合力竖直向上，大小等于，根据几何关系可求得＝＝解析：NNNNmaxNcos30sin30313sin303.92fffFmgFFFFFTmgFkFFFk以斜面体为研究对象，分析其受力：如图所示．竖直方向＝＋水平方向＝根据可知＝＝＝，又由题设可知＝＝综合上述解得变式训练1、如图252所示，用细线AO、BO悬挂重物，BO水平，AO与竖直线成30°角，若AO、BO能承受的最大拉力各为10N和6N，OC能承受足够大的拉力，为使细线不被拉断，重物允许的最大重力为多少？图25221025263cos301053.cos30253.ABAAOTTAONNNAOGTGTNNN以点为研究对象，受力分析如图．由图可知，＝，而能承受的最大拉力为＝，故将先达到最大拉力，所以由＝，得＝＝＝故重物允许的最大重力为解析：22-5-35kg33(10m/s)mg如图所示，将质量为＝的木板置于水平桌面上，其右端三分之一长度伸出桌面边缘外，木板与桌面间的动摩擦因数＝，试求要将木板推回桌面所需要施加的最小推力大小和方向取例2、．图253解析：将木板推回桌面需要施加的最小推力应当满足：①将木板缓慢推回，即木板可视为平衡状态，或者说是推力仅克服摩擦力做功，而不增加木板的动能；②要减小摩擦力，即使木板对桌面的压力减小．根据上述分析，我们作出木板受力分析图，如图所示，其中推力F与水平方向成θ角．运用正交分解法进行求解．NN2222cos0sin0ì+1tancossin1+1+1++1+-FFFFmgmgFcossinmgFcoscossinsinmgcos水平方向－＝竖直方向＋－＝解得＝设＝，则＝、＝通过数学变换得到＝＝1min2cos()1tan3025N.1+FmgF－当－＝，即＝＝＝时，有最小值，＝＝例3、如图254所示，物体的质量为2kg，两根轻绳AB和AC的一端连接于竖直墙上，另一端系于物体上，在物体上另施一个方向与水平线成θ＝60°的拉力F，若要使绳都能伸直，求拉力F的大小范围(g＝10m/s2)．图254解法一：针对临界状态列等式当F较小时，AC是松弛的，当F取最小临界值时，AC恰被拉直．设此时AB绳对它的拉力为F1，作出物体受力示意图及力的合成图如(a)．min12032N3mgFsin根据平衡条件可得：＝＝当F较大时，AB是松弛的，当F取最大临界值时，AB恰被拉直．设此时AC绳对它的拉力为F2，作出物体受力示意图及力的合成图如(b)．max403N3203403NN33mgFsinF根据平衡条件得：＝＝故要使绳都能拉直，拉力的取值范围为解法二：依据题意列不等式作出物体的受力示意图并建立坐标系如(c)，由力的平衡条件有：Fcosθ－F1cosθ－F2＝0①Fsinθ＋F1sinθ－mg＝0②由①②解得：12122cos00203403NN33mgFFsinmgcosFFsinFFFF＝－③＝－④要使两绳都能绷直，则有：，⑤由③④⑤可解得的取值范围为：例4、如图255所示倾角为θ的斜面与水平面保持相对静止，斜面上有一个质量为m的物体A，物体A与斜面间的动摩擦因数为μ(μtanθ)．现给A施加一水平推力F.设最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等,求水平推力F为多大时，物体A能在斜面上静止？图255因为μtanθ，所以当F＝0时，物体不能静止．若物体在力F的作用下刚好不下滑，则物体受沿斜面向上的最大静摩擦力，且此时F最小，对物体受力分析，如图所示，由平衡条件：mgsinθ＝Fcosθ＋f①N＝mgcosθ＋Fsinθ②f＝μN③minmaxsincoscos-++.-sinFFsinmgfFNmgcosFmgsincoscossinFmgcosnFfNsi由①②③得若物体在力的作用下刚好不上滑，则物体受沿斜面向下的最大静摩擦力，且此时最大，对物体受力分析，如图所示，由平衡条件：＋＝④＝＋⑤　　　＝＝　　　　　　＝⑥　由④⑤⑥得变式训练2、直角劈形木块(截面如图256)质量M＝2kg,用外力顶靠在竖直墙上,已知木块与墙之间最大静摩擦力和木块对墙的压力成正比,即fm＝kFN，比例系数k＝0.5,则垂直作用于BC边的外力F应取何值木块才能保持静止?(g＝10m/s2,sin37°=0.6，cos37°＝0.8)图256解析：20N≤F≤100N.静摩擦力向上最大时F有最小值，静摩擦力向下最大时F有最大值．变式训练3、如图257所示，质量为M的小球放在倾角为α的光滑斜面上，小球被与水平面成β角的细线系住，斜面体位于光滑水平面上，用水平力F缓慢地向左推斜面体，β角将减小，当β＝________时细线拉力最小，此时F＝________.图257答案：α；mgsinαcosα变式训练4、如图258所示，两根直木棍AB和CD相互平行，斜靠在竖直墙壁上固定不动，一根水泥圆筒从木棍的上部匀速滑下，若保持两木棍倾角不变，将两棍间的距离减小后固定不动，仍将水泥圆筒放在两木棍上部，则水泥圆筒在两木棍上将()A．仍匀速滑下B．匀加速滑下C．可能静止D．一定静止图258B