2016年上海高考数学(理科)真题含解析

12016年上海高考数学（理科）真题一、解答题（本大题共有14题，满分56分）1.设xR，则不等式31x的解集为________________【答案】(2,4)【解析】131x，即24x，故解集为(2,4)2.设32iiz，其中i为虚数单位，则Imz_________________【答案】3【解析】i(32i)23iz，故Im3z3.1l:210xy,2l:210xy,则12,ll的距离为__________________【答案】255【解析】221125521d4.某次体检，6位同学的身高（单位:米）分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77，则这组数据的中位数是___（米）【答案】1.765.已知点(3,9)在函数()1xfxa的图像上，则()fx的反函数1()fx____________【答案】2log(1)x【解析】319a，故2a，()12xfx∴2log(1)xy∴12()log(1)fxx6.如图，在正四棱柱1111ABCDABCD中，底面ABCD的边长为3，1BD与底面所成角的大小为2arctan3，则该正四棱柱的高等于____________________【答案】22【解析】32BD,12223DDBD7.方程3sin1cos2xx在区间[0,2π]上的解为________________2【答案】π5π,66x【解析】23sin22sinxx，即22sin3sin20xx∴(2sin1)(sin2)0xx∴1sin2x∴π5π,66x8.在32nxx的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_______________【答案】112【解析】2256n，8n通项88433882()(2)rrrrrrCxCxx取2r常数项为228(2)112C9.已知ABC的三边长为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于________________【答案】733【解析】3,5,7abc，2221cos22abcCab∴3sin2C∴732sin3cRC10.设0,0ab，若关于,xy的方程组11axyxby无解，则ab的取值范围是_____________【答案】(2,)【解析】由已知，1ab，且ab，∴22abab11.无穷数列na由k个不同的数组成，nS为na的前n项和，若对任意*nN，{2,3}nS，则k的最大值为___________【答案】412.在平面直角坐标系中，已知(1,0)A,(0,1)B,P是曲线21yx上一个动点，则BPBA的取值范围是____________【答案】[0,12]【解析】设(cos,sin)P,[0,π]，(1,1)BA,(cos,sin1)BPπcos[0,12]sin12sin()14BPBA313.设,,abR,[0,2π)c，若对任意实数x都有π2sin(3)sin()3xabxc，则满足条件的有序实数组(,,)abc的组数为______________【答案】4【解析】(i)若2a若3b，则5π3c；若3b，则4π3c(ii)若2a，若3b，则π3c；若3b，则2π3c共4组14.如图，在平面直角坐标系xOy中，O为正八边形128AAA的中心，1(1,0)A，任取不同的两点,ijAA，点P满足0ijOPOAOA，则点P落在第一象限的概率是_______________【答案】528【解析】285528C二、选择题（本大题共有4题，满分20分）15.设aR，则“1a”是“21a”的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件【答案】A16.下列极坐标方程中，对应的曲线为右图的是()A.65cosB.65sinC.65cosD.65sin【答案】D【解析】π2时，达到最大17.已知无穷等比数列na的公比为q，前n项和为nS，且limnnSS，下列条件中，使得*2()nSSnN恒成立的是()4A.10a,0.60.7qB.10a,0.70.6qC.10a,0.70.8qD.10a,0.80.7q【答案】B【解析】1(1)1nnaqSq,11aSq,11q2nSS，即1(21)0naq若10a，则12nq，不可能成立若10a，则12nq，B成立18.设(),(),()fxgxhx是定义域为R的三个函数，对于命题:①若()()fxgx，()()fxhx，()()gxhx均为增函数，则(),(),()fxgxhx中至少有一个为增函数；②若()()fxgx，()()fxhx，()()gxhx均是以T为周期的函数，则(),(),()fxgxhx均是以T为周期的函数，下列判断正确的是()A.①和②均为真命题B.①和②均为假命题C.①为真命题，②为假命题D.①为假命题，②为真命题【答案】D【解析】①不成立，可举反例2,1)1(3,xxfxxx,03,023,21()1,xxxxxxgx,0(0)2,,xhxxxx②()()()()fxgxfxTgxT()()()()fxhxfxThxT()()()()gxhxgxThxT前两式作差，可得()()()()gxhxgxThxT结合第三式，可得()()gxgxT,()()hxhxT也有()()fxfxT∴②正确故选D三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19.（本题满分12分）将边长为1的正方形11AAOO（及其内部）绕1OO旋转一周形成圆柱，如图，AC长为23，11AB长为3，其中1B与C在平面11AAOO的同侧(1)求三棱锥111COAB的体积(2)求异面直线1BC与1AA所成角的大小【解析】(1)连11OB，则111113AOABB∴111OAB为正三角形∴11134OABS∴111111113312COABOABVOOS(2)设点1B在下底面圆周的射影为B，连1BB，则11BBAA∥5∴1BBC为直线1BC与1AA所成角（或补角）111BBAA连,,BCBOOC113ABAB,23AC∴3BC∴3BOC∴BOC为正三角形∴1BCBO∴11tan1BCBBCBB∴145BBC∴直线1BC与1AA所成角大小为4520．（本题满分14分）有一块正方形菜地EFGH,EH所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到F点或河边运走。于是，菜地分为两个区域1S和2S，其中1S中的蔬菜运到河边较近，2S中的蔬菜运到F点较近，而菜地内1S和2S的分界线C上的点到河边与到F点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点O为EF的中点，点F的坐标为(1,0)，如图(1)求菜地内的分界线C的方程(2)菜农从蔬菜运量估计出1S面积是2S面积的两倍，由此得到1S面积的“经验值”为83。设M是C上纵坐标为1的点，请计算以EH为一边，另一边过点M的矩形的面积，及五边形EOMGH的面积，并判断哪一个更接近于1S面积的经验值【解析】(1)设分界线上任一点为(,)xy，依题意221(1)xxy可得2(01)yxx(2)设00(,)Mxy，则01y∴200144yx∴设所表述的矩形面积为3S，则315(1)422S设五边形EMOGH面积为4S，则43512113111144224OMPMGQSSSS13851326SS,411181143126SS∴五边形EOMGH的面积更接近1S的面积21．（本题满分14分）本题共2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分双曲线2221(0)yxbb的左、右焦点分别为1F、2F，直线l过2F且与双曲线交于,AB两点(1)若l的倾斜角为2，1FAB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程6(2)设3b，若l的斜率存在，且11()0FAFBAB，求l的斜率【解析】(1)由已知21(1,0)Fb,22(1,0)Fb取21xb，得2yb1223FFFA∵21221FFb,22FAb∴22213bb即4222344(32)(2)0bbbb∴2b∴渐近线方程为2yx(2)若3b，则双曲线为2213yx∴1(2,0)F,2(2,0)F设11(,)Axy,22(,)Bxy，则111(2,)FAxy,122(2,)FBxy,2121(,)ABxxyy∴111212(4,)FAFBxxyy222211212121()4()0FAFBABxxxxyy(*)∵22221212133yyxx∴222221213()yyxx∴代入(*)式，可得2221214()4()0xxxx直线l的斜率存在，故21xx∴121xx设直线l为(2)ykx，代入2233xy得2222(3)4(43)0kxkxk∴230k，且4222164(3)(43)36(1)0kkkk2122413kxxk∴235k∴155k∴直线l的斜率为15522．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分已知aR，函数21()log()fxax(1)当5a时，解不等式()0fx(2)若关于x的方程2()log[(4)25]0fxaxa的解集中恰有一个元素，求a的取值范围(3)设0a，若对任意1[,1]2t，函数()fx在区间[,1]tt上的最大值和最小值的差不超过1，求a的取值范围7【解析】(1)21log(5)0x151x410(41)0xxxx∴不等式的解为{|0xx或1}4x(2)依题意，221log()log[(4)25]aaxax∴1(4)250aaxax①可得2(4)(5)10axax即(1)[(4)1]0xax②当4a时，方程②的解为1x，代入①式，成立当3a时，方程②的解为1x，代入①式，成立当3a且4a时，方程②的解为11,4xa若1x为方程①的解，则110aax，即1a若14xa为方程①的解，则1240aax，即2a要使得方程①有且仅有一个解，则12a综上，若原方程的解集有且只有一个元素，则a的取值范围为12a或3a或4a(3)()fx在[,1]tt上单调递减依题意，()(1)1ftft即2211log()log()11aatt∴112()1aatt，即1211(1)tatttt设1tr，则1[0,]2r21(1)(1)(2)32trrttrrrr当0r时，2032rrr当102r时，212323rrrrr∵函数2yxx在(0,2)递减∴219422rr∴112293332rr∴a的取值范围为23a23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分若无穷数列na满足：只要*(),pqaapqN，必有11pqaa，则称na具有性质P.(1)若na具有性质P.且11a,22a,43a,52a,678