二项分布与超几何分布

第2讲二项分布与超几何分布★知识梳理★1．条件概率：称)()()|(APABPABP为在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。特别提醒：①0P（B|A）1；②P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)。2.相互独立事件：如果事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。特别提醒：①如果事件A、B是相互独立事件，那么，A与_B、_A与B、_A与_B都是相互独立事件②两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。我们把两个事件A、B同时发生记作A·B，则有P（A·B）=P（A）·P（B）推广：如果事件A1，A2，…An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。即：P（A1·A2·…·An）=P（A1）·P（A2）·…·P(An)3.独立重复试验:在同样的条件下，重复地、各次之间____________的一种试验.在这种试验中，每一次试验只有____________结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的.答案:相互独立地进行,两种4.如果在1次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率计算公式：________________________答案:Pn（k）=CknPk（1－P）n－k,其中，k=0,1,2，…,n.5.离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是knkknnqpCkP)(，（k＝0,1,2,…，n，pq1）．于是得到随机变量ξ的概率分布如下：ξ01…k…nPnnqpC00111nnqpC…knkknqpC…0qpCnnn由于knkknqpC恰好是二项展开式011100)(qpCqpCqpCqpCpqnnnknkknnnnnn中的各项的值，所以称这样的随机变量ξ服从____________，记作ξ～B(n，p)，其中n，p为参数，并记knkknqpC＝b(k；n，p)．答案:二项分布6.两点分布：X01P1－pp特别提醒：若随机变量X的分布列为两点分布,则称X服从两点分布,而称P(X=1)为成功率.7.超几何分布：一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则},,min{,,1,0,)(nMmmkCCCkXPnNknMNkM其中，NMNn,。称分布列X01…mPnNnMNMCCC00nNnMNMCCC11…nNmnMNmMCCC为超几何分布列，称X服从____________答案:超几何分布。★重难点突破★1.重点：理解超几何分布及其导出过程.了解条件概率和两个事件相互独立的概念，能理解n次独立重复实验的模型及二项分布.2.难点：能利用超几何分布,二项分布及n次独立重复实验解决一些简单的实际问题3.重难点：.(1)“互斥”与“独立”混同问题1:甲投篮命中率为O．8，乙投篮命中率为0.7，每人投3次，两人恰好都命中2次的概率是多少?错解设“甲恰好投中两次”为事件A，“乙恰好投中两次”为事件B，则两人都恰好投中两次为事件A+B，P(A+B)=P(A)+P(B)：2222330.80.20.70.30.825cc点拨:本题错误的原因是把相互独立同时发生的事件当成互斥事件来考虑，将两人都恰好投中2次理解为“甲恰好投中两次”与“乙恰好投中两次”的和．正确解答：设“甲恰好投中两次”为事件A，“乙恰好投中两次”为事件B，且A，B相互独立，则两人都恰好投中两次为事件A·B，于是P(A·B)=P(A)×P(B)=2222330.80.20.70.30.169cc．（2）“条件概率P(B/A)”与“积事件的概率P(A·B)”混同问题2:袋中有6个黄色、4个白色的乒乓球，作不放回抽样，每次任取一球，取2次，求第二次才取到黄色球的概率．错解记“第一次取到白球”为事件A，“第二次取到黄球”为事件B,”第二次才取到黄球”为事件C,所以P(C)=P(B/A)=6293.点拨：本题错误在于P(AB)与P(B/A)的含义没有弄清,P(AB)表示在样本空间S中,A与B同时发生的概率；而P（B/A）表示在缩减的样本空间SA中，作为条件的A已经发生的条件下事件B发生的概率。正确答案：P（C）=P(AB)=P（A）P（B/A）=46410915。★热点考点题型探析★考点一：条件概率,相互独立事件和独立重复试验题型1.条件概率[例1]一张储蓄卡的密码共有6位数，每位数字都可从0～9中任选，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求：⑴按第一次不对的情况下，第二次按对的概率；⑵任意按最后一位数字，按两次恰好按对的概率；⑶若他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率[解题思路]：⑴这是一个一般概率还是条件概率？应选择哪个概率公式？⑵“按两次恰好按对”指的是什么事件？为何要按两次？隐含什么含义？第一次按与第二次按有什么关系？应选择哪个概率公式？⑶“最后一位是偶数”的情形有几种？“不超过2次就按对”包括哪些事件？这些事件相互之间是什么关系？应选择用哪个概率公式？解析：设事件(12)iAi，表示第i次按对密码⑴211()9PAA⑵事件12AA表示恰好按两次按对密码，则12121911()()()10910PAAPAPAA⑶设事件B表示最后一位按偶数，事件112AAAA表示不超过2次按对密码，因为事件1A与事件12AA为互斥事件，由概率的加法公式得：1121412()()()5545PABPABPAAB【名师指引】⑴条件概率相当于随机试验及随机试验的样本空间发生了变化，事件A发生的条件下事件B发生的概率可以看成在样本空间为事件A中事件B发生的概率，从而得出求条件概率的另一种方法——缩减样本空间法⑵将条件概率的计算公式进行变形，可得概率的乘法公式)()()(ABPAPABP【新题导练】2.设100件产品中有70件一等品，25件二等品，规定一、二等品为合格品．从中任取1件，求(1)取得一等品的概率；(2)已知取得的是合格品，求它是一等品的概率．解:设B表示取得一等品，A表示取得合格品，则（1）因为100件产品中有70件一等品，70()0.7100PB(2)方法一:因为95件合格品中有70件一等品，所以BAABB70()0.736895PBA方法二:()()()PABPBAPA701000.736895100题型2。相互独立事件和独立重复试验[例2](2008四川省成都市一诊)某公司是否对某一项目投资，由甲、乙、丙三位决策人投票决定．他们三人都有“同意”、“中立”、“反对”三类票各一张．投票时，每人必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为13，他们的投票相互没有影响．规定：若投票结果中至少有两张“同意”票，则决定对该项目投资；否则，放弃对该项目投资．（Ⅰ）求此公司一致决定对该项目投资的概率；（Ⅱ）求此公司决定对该项目投资的概率；[解题思路]：注意相互独立事件和独立重复试验恰有k次发生的区别解析：（Ⅰ）此公司一致决定对该项目投资的概率P=(13)3＝127（Ⅱ）此公司决定对该项目投资的概率为P＝C32(13)2(23)＋C33(13)3＝727答:（Ⅰ）此公司一致决定对该项目投资的概率为127（Ⅱ）此公司决定对该项目投资的概率为727.【名师指引】除注意事件的独立性外,还要注意恰有k次发生与指定第k次发生的区别,对独立重复试验来说,前者的概率为(1)kknknCpp,后者的概率为(1)knkpp【新题导练】1.（湖南卷16）.（本小题满分12分）甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约.乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设每人面试合格的概率都是12，且面试是否合格互不影响.求：至少有1人面试合格的概率;解:用A，B，C分别表示事件甲、乙、丙面试合格.由题意知A，B，C相互独立，且P（A）＝P（B）＝P（C）＝12.至少有1人面试合格的概率是3171()1()()()1().28PABCPAPBPC2．（山东卷18）甲乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分。假设甲队中每人答对的概率均为32，乙队中3人答对的概率分别为21,32,32且各人正确与否相互之间没有影响.用ε表示甲队的总得分.（Ⅰ）求随机变量ε分布列；(Ⅱ)用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P(AB).解:(Ⅰ)由题意知，ε的可能取值为0，1，2，3,且所以ε的分布列为ε0123P2719294278（Ⅱ）用C表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用D表示“甲得3分乙得0分”这一事件，所以AB=C∪D,且C、D互斥，又,34)213131()32()(,310213132213231213132)321()32()(52324232CDPCCP由互斥事件的概率公式得24334334354310)()()(54DPCPABP考点二:两点分布与超几何分布题型1:两点分布与超几何分布的应用[例3]高二（十）班共50名同学，其中35名男生，15名女生，随机从中取出5名同学参加学生代表大会，所取出的5名学生代表中，女生人数X的频率分布如何？[解题思路]：5名学生代表中，女生人数有6种情况.解析：从50名学生中随机取5人共有550C种方法，没有女生的取法是051535CC，恰有1名女生的取法是141535CC，恰有2名女生的取法是231535CC，恰有3名女生的取法是321535CC，恰有4名女生的取法是411535CC，恰有5名女生的取法是501535CC，因此取出的5名学生代表中，女生人数X的频率分布为：.278)32()3(,94)321()32()2(,92)321(32)1(,271)321()0(3333232231330CPCPCPCPX012345P051535550CCC141535550CCC231535550CCC321535550CCC411535550CCC501535550CCC[例4]若随机事件A在1次试验中发生的概率是p，用随机变量表示A在1次实验中发生的次数。（1）求方差D的最大值；（2）求ED12的最大值。[解题思路]：（1）由两点分布，分布列易写出，而要求方差D的最大值需求得D的表达式，转化为二次函数的最值问题；（2）得到pppppED1221)(2122后自然会联想均值不等式求最值。解析：（1）的分布列如表：所以pE，41)21()1()1()1()0(2222pppppppD所以21p时，D有最大值41。（2）由22212221221)(2122pppppppED，当且仅当pp12即22p时取等号，所以ED12的最大值是222。【名师指引】在超几何分布中,只要知道N,M和n,就可以根据公式求出X取不同m值时的概率P(X=m).【新题导练】1．在一个口袋中装有30个球，其中有10个红球，其余为白球，这些球除颜色外完全相同.游戏者一次从中摸出5个球.摸到4个红球就中一等奖，那么获一等奖的概率是多少？解：由题意可见此问题归结为超几何分布模型由上述公式得411020530(4)0.029CCPXC2．假定一批产品共100件，其中有4件不合格品，随机取出的6件产品中，不合格品数X的概率分布如何？解:从100件产品中随机取6件产品