2020年高考文科数学《直线与圆》题型归纳与训练

12020年高考文科数学《直线与圆》题型归纳与训练【题型归纳】题型一倾斜角与斜率例1直线l的方程为3310xy，则直线l的倾斜角为（）A.0150B.0120C.060D.030【答案】A【解析】由直线l的方程为3310xy，可得直线的斜率为33k，设直线的倾斜角为,0，则33tan，∴150．故选：A．【易错点】基础求解问题注意不要算错【思维点拨】直线方程的基础问题（倾斜角，斜率与方程，注意倾斜角为为2，即斜率k不存在的情况）应对相关知识点充分理解，熟悉熟练例2已知三点0,aA、7,3B、aC9,2在一条直线上，求实数a的值.【答案】2a或92a【解析】597,35akakCBAB∵A、B、C三点在一条直线上，∴BCABkk，即59735aa，解得2a或92a．题型二直线方程例1经过点1,1M且在两坐标轴上截距相等的直线是（）．A.2xyB.1xyC.1x或1yD.2xy或xy【答案】D2【解析】若直线过原点，则直线为yx符合题意，若直线不过原点设直线为1xymm，代入点1,1解得2m，直线方程整理得20xy，故选D．【易错点】截距问题用截距式比较简单，但截距式1nymx中要求m，n均非零。故做题时应考虑此情形【思维点拨】求解基本直线方程问题通常比较简单，考虑时注意每种形式的适用范围即可。不要漏解。题型三直线位置关系的判断例1直线1:3230lkxky和2:2220lkxky互相垂直，则实数k的值是（）A.2或1B.2或1C.2或1D.2或1【答案】D【解析】根据直线垂直的充要条件得到：3*22*20kkkk化简为23201kkk或2故选择D【易错点】本题若采用斜率之积为-1求解，则容易错误。首先求斜率变形时分母不为0，分母为零，实际上上是一条竖线（k不存在）；其次垂直时应为：121kk（斜率均存在）或21kk，中一为0，一不存在若用0:1cbyaxl，0:2tnymxl垂直的充要条件：0bnam，则避免上述问题【思维点拨】直线位置关系问题（平行与垂直）应熟练掌握其判断方法。一般而言，除一般式其他形式可能漏解（忽略了k不存在的情况）。在做题时应该考虑全面，避免少解题型四对称与直线恒过定点问题例1点2,4关于直线230xy的对称点的坐标为_________．【答案】2,2【解析】设对称点坐标为00,xy，则对称点与已知点连线的中点为0024,22xy，由题意可得00004122{2423022yxxy，解得002{2xy3所以对称点坐标为2,2．【易错点】此题求点可以设点，利用对称（实则用中垂线），建立方程组求解；亦可先求过该点与已知线垂直的直线方程，联立求交点，反推对称点（中点坐标公式）即可【思维点拨】对称问题像点关于点对称点关于直线对称，直线关于直线对称，其本质都是点点对称。当点运动则轨迹（曲线）得到而已。点点对称根据中点坐标公式转化，有时候利用中垂线特性（垂直，平分）进行求解例2直线32ykxkkR必过定点（）．A.3,2B.3,2C.3,2D.3,2【答案】A【解析】32ykx，当3x时，2y，直线过3,2定点，故选A．【易错点】对直线方程的常见表达式应熟悉熟练，并能进行恰当变形【思维点拨】直线过定点关键是把所有参数提出来，保证参数后面为零。即可求得题型五圆的方程例1若圆心在x轴上、半径为5的圆O位于y轴左侧，且与直线20xy相切，则圆O的方程是A．22(5)5xyB．22(5)5xyC．22(5)5xyD．22(5)5xy【答案】D【解析】设圆心(,0)(0)Oaa，则22||512a，即||5a，解得5a，所以圆O的方程为22(5)5xy．例2圆心在直线20xy上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为23，则圆C的标准方程为．【答案】22(2)(1)4xy4【解析】设圆心为(2,)bb，则圆的半径为2b，圆心到x轴的距离为b，所以222423,0bbb，解得1b，所以圆C的标准方程为22(2)(1)4xy．例3已知圆经过点1,2A，圆心在直线02yx上且与直线:1l01yx相切，求圆的方程.【答案】见解析【解析】设圆的方程为0222rrbyax.∵圆心在直线xy2上，∴ab2，即圆心为aa2,.又圆与直线01yx相切，且过点1,2，∴raa212，222212raa，即2222122213aaa，解得1a或9a.∴1a，2b，2r或9a，18b，338r，故所求圆的方程为：22122yx，或33818922yx.此题也可设出圆心所在直线方程0:2tyxl，联立21ll与求圆心P,利用P到A的距离与到1l距离相等求解t。则方程可求【易错点】圆方程求解需要对圆的方程形式（标准式与一般式，其适用范围，两者转化）充分熟悉。在解题时采用合适的方法（或代数法，或几何法）进行相关求解【思维点拨】求解圆的方程问题可以采用代数方法：设合适的方程，根据条件进行转换。变形解方程等求解；也可以采用几何法（勾股定理，相似等）进行求解题型六直线、圆的综合问题例1直线被圆截得的弦长为()A．1B．2C．4D．【答案】C【解析】圆心，圆心到直线的距离，半径，所以最后弦长为.例2已知点baM,在圆O：122yx外，则直线1byax与圆O的位置关系是()2550xy22240xyxy46(1,2)1+4-5+5=15d5r222(5)145A．相切B．相交C．相离D．不确定【答案】B【解析】因为baM,在圆O：122yx外，所以122ba，而圆心O到直线1byax的距离1122bad，故直线与圆O相交.例3直线l：21xky与圆C：122yx的位置关系为()A.相交或相切B.相交或相离C.相切D.相交【答案】D【解析】由于圆心0,0，半径等于1，圆心到直线l：21xky的距离为2220011212112121kkdrkkk＜＜，故直线和圆相交，故选D．例4已知圆，圆，分别是圆上的动点，为轴上的动点，则的最小值为A．B．C．D．【答案】D【解析】圆1C，2C的圆心分别为1C，2C，由题意知11PCPM，32PCPN，∴421PCPCPNPM，故所求值为421PCPC的最小值．又1C关于x轴对称的点为3,23C，所以421PCPC的最小值为425423CC，故选A．【易错点】此题可以采用联立方程（）求解；也可以采用圆心到直线的距离与半径大小比较求解；还可以利用直线l恒过21,0，易得（可作草图）该点在圆内，故应为相交。直线（含参数）过定点特征应有所熟悉，高考中常有涉及【思维点拨】直线与圆位置关系通常采用圆心到直线距离d与圆半径r大小确定。221:231Cxy222:349Cxy,MN12,CCPxPMPN524171622176圆:C222xaybr，直线l：0CByAx，圆心baC,到直线l的距离为d，则：1.rd，直线与圆相离。可求圆上动点到直线距离范围（最大最小）问题2.rd，直线与圆相切。依此可求过圆C：222ryx上某点),(00yxP的切线方程：200ryyxx；一般地，过圆C：222rbyax上某点),(00yxP的切线方程：200rbybyaxax.3.rd，直线与圆相交。此时常用勾股定理2222ABdr（AB为相交弦）来求解相关问题.【巩固训练】题型一倾斜角与斜率1.经过0,2A，3,5B两点的直线的斜率是_______，倾斜角是_______．【答案】见解析【解析】经过0,2A，3,5B两点的直线的斜率12503k，故倾斜角为135．2.设点3,2A，2,3B，直线l过点1,1P且与线段AB相交，则l的斜率k的取值范围是()A.43k或4kB.434kC.443kD.以上都不对【答案】A【解析】求得43,4PBPAkk,结合图像知k的范围为434kk或3.直线l过点2,1A，且不过第四象限，则直线l的斜率k的最大值是()A.0B.1C.21D.2【答案】D【解析】如图，2OAk，0lk，只有当直线落在图中阴影部分才符合题意，故2,0k.故直线l的斜率k的最大值为2.题型二直线方程1.过点3,1A且倾斜角为120的直线方程为（）A.34yxB.34yxC.323yxD.323yx7【答案】B【解析】倾斜角为120的直线斜率为3.利用点斜式可得133yx.整理得34yx.2.直线l过点2,1且与直线0432yx垂直，则l的方程是()A．0123yxB．0723yxC．0532yxD．0832yx【答案】A【解析】设023:tyxl，代入2,1.得1t3.已知2,1A,1,3B，则线段AB的垂直平分线的方程是（）．A.0524yxB.0524yxC.052yxD.052-yx【答案】B【解析】AB中点为M)232(，,21ABk.则中垂线斜率2k.方程为).2(223xy化简得：0524yx4.已知直线l过点2,1，且在x轴截距是在y轴截距的2倍，则直线l的方程（）A.052yxB.052yxC.02yx或052yxD.02yx或032yx【答案】C【解析】当直线过原点时，又过点2,1，所求直线方程为02yx.当直线不过原点时，由已知设直线方程为12mymx，又过点2,1，所求直线方程为052yx选C题型三直线位置关系的判断1.已知直线20xy与直线0mxy垂直，那么m的值是（）．A.2B.1C.1D.2【答案】C【解析】利用垂直的条件：0)1(11m，得1m82.若直线1:34350lmxym与直线2:2580lxmy平行，则m的值为（）．A.133B.1或7C.6D.7【答案】D【解析】∵12ll，∴3524mm，解得1m或7，又当1m时，两条直线重合，故7m．3.直线323xy和直线232xy的位置关系是（）．A.垂直B.相交不垂直C.平行D重合．【答案】A【解析】∵3212310，∴两条直线相互垂直．故选A．题型四对称与过定点1.直线2130xmym，当m变化时，所有直线都过定点（）A.1,32B.1,32C.1,32D.1,32【答案】D【解析】直线2130xmym，化为2130xmy，令210{30xy，解得1,32xy，当m变动时，所有直线都通过定点1,32，故选D.2.直线:220lmnxmnymn，对任意,mnR直线l恒过定点_______．【答案】1,19【解析】220mnxmnymn可化为：2120m