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《概率论与数理统计》内容提要及习题详解第三章多维随机变量及其概率分布第17页共13页17第三章多维随机变量及其概率分布【内容提要】一、二维随机变量及其分布函数【定义】设(),()XXYY是定义于随机试验E的样本空间上的两个随机变量，则称(,)XY为二维随机变量，称(,)(),()FxyPXxYy为其联合分布函数，而称:1()()FxPXx及2()()FyPYy分别为,XY的边缘分布函数。二维随机变量(,)XY的联合分布函数(,)Fxy具有如下性质:⑴．非负性:,xyR，有0(,)1Fxy；⑵．规范性:,xyR，有(,)(,)0,(,)1FxFyF；⑶．单调性:当()xy或固定不变时，(,)Fxy是()yx或的单增函数；⑷．右连续性:,xyR，有(0,0)(,)FxyFxy；⑸．相容性:,xyR，有12(,)(),(,)()FxFxFyFy；⑹．特殊概率:若1212,xxyy，则121222122111(,)(,)(,)(,)(,)0PxXxyYyFxyFxyFxyFxy。二、二维离散型随机变量1．二维离散型随机变量及其概率分布律若二维随机变量(,)XY的一切可能取值为离散值2(,)ijxyR，其中,1,2,...ij，且取到这些值的概率(,)(,)0,,1,2,...ijijpxyPXxYyij满足1,(,)1ijijpxy，则称(,)XY为二维离散型随机变量，而称(,),1ijpxyij为其联合概率分布律，记为:(,)(,),,1,2,...ijXYpxyij。⑴.,XY的边缘概率分布律:1211()()(,),()()(,)iiijjiijjiXpxPXxpxyYpyPYypxy；⑵.,XY的条件概率分布律:12(,)(,)(),()()()ijijYXjiXYijijijpxypxyYXpyxpxyXxYypxpy；⑶.XY与的相互独立12,1,(,)()()ijijijpxypxpy恒有。二维离散型随机变量(,)XY的联合分布律及其边缘分布律也可用下表来表示:《概率论与数理统计》内容提要及习题详解第三章多维随机变量及其概率分布第18页共13页18YX1y2yny()PX1x11(,)pxy12(,)pxy1(,)npxy11()px2x21(,)pxy22(,)pxy2(,)npxy12()pxmx1(,)mpxy2(,)mpxy(,)mnpxy1()mpx()PY21()py22()py2()npy1设2DR为平面区域，则二维离散型随机变量(,)XY的联合分布函数及其取值落在D内的概率为:,(,),(,)ijijxxyyFxyPXxYypxy，(,)(,)(,)ijijxyDPXYDpxy。2．常用二维离散型分布⑴．三项式分布:设1n为自然数，12120,1pppp为常数，则三项式分布的联合分布律为：1212!(1)(,)!!()!ijnijnppppPXiYjijnij，其中0,ijijn，而其边缘分布律、条件分布律为：1212110!(1)()(1)!!()!ijnijiininjninppppPXiCppijnij，1212220!(1)()(1)!!()!ijnijjjnjninjnppppPYjCppijnij，1212(,)()(1)()jjnijniPXiYjPYjXiCppPXi，其中2121011ppp，2121(,)()(1)()iinijnjPXiYjPXiYjCppPYj，其中1212011ppp。⑵．二维超几何分布:设121,,nMMN为自然数，则二维超几何分布的联合分布律为：1212(,)ijnijMMNMMnNCCCPXiYjC，其中0,ijijn；而其边缘分布律、条件分布律为：1212110()ijnijiniMMNMMMNMnnjniNNCCCCCPXiCC，《概率论与数理统计》内容提要及习题详解第三章多维随机变量及其概率分布第19页共13页191212220()ijnijjnjMMNMMMNMnninjNNCCCCCPYjCC，2121(,)()()jnijMNMMniNMCCPXiYjPYjXiPXiC，1122(,)()()inijMNMMnjNMCCPXiYjPXiYjPYjC。⑶．二维Poisson分布:设12,0为常数，则二维Poisson分布的联合分布律为:12()12,0!()!(,)0,jijejijijPXiYj若其它,而其边缘分布律、条件分布律为：1212()()12120()()!()!!jijijiPXieejiji，121()121()!()!!jijjjiPYjeejijj，11(,)()(1)()jjijiPXiYjPYjXiCppPXi，其中111201p，22(,)()()()!ijPXiYjPXiYjePYjij。三、二维连续型随机变量1．二维连续型随机变量及其概率密度函数若二维随机变量(,)XY的一切可能取值充满了某一平面区域，且存在一个函数(,)0pxy，使其联合分布函数可表为(,),(,)yxFxyPXxYypuvdudv，且(,)1pxydxdy，则称(,)XY为二维连续型随机变量，而称(,)pxy为其联合密度函数，记为(,)(,)XYpxy。设2DR为平面区域，则二维连续型随机变量(,)XY的联合分布函数、联合密度函数满足：2(,),(,),(,)xyFFxyPXxYypuvdudvpxyxy，而(,)XY的取值落在D内的概率为(,)(,)DPXYDpxydxdy。2．常用二维连续型分布《概率论与数理统计》内容提要及习题详解第三章多维随机变量及其概率分布第20页共13页20⑴．均匀()UD:1,(,)()(,)0,(,)xyDSDpxyxyD若若，其中0()SD平面区域D的面积；⑵．二维指数分布(,,)er:二维指数分布的联合分布为:()1,,0(,)0,xyxyrxyeeexyFxy若其它，()2(1)(1),,0(,)0,xyrxyrxryrexyFpxyxy若其它，其中12001r,及为常数，而其边缘分布及条件分布为:1111,0,0()(,),()()0,0,xxexexXFxFxpxFx若若其它其它，2221,0,0()(,),()()0,0,yyexeyYFyFypyFy若若其它其它，(1)1(1)(1),,0(,)(,)()0,yrxYXrxryrexypxyYpxyXxpx若其它，(1)2(1)(1),,0(,)(,)()0,xryXYrxryrexypxyXpxyYypy若其它。⑶．二维分布:其联合密度、边缘密度及条件密度分别为(其中,,0均为常数)11(),0()()(,)(,)0,xyxyeyxXYpxy若其它,11,0()()(,)0,0xxexXpxpxydyx若若，12,0()()(,)0,0yyeyYpypxydxy若若，《概率论与数理统计》内容提要及习题详解第三章多维随机变量及其概率分布第21页共13页211()2(),0(,)()(,)()0,xyYXxyeyxpxyXpxyYypy若其它，1111()(),0(,)()()(,)()0,YXyxyyxpxyYxpxyXxpx若其它。⑷．二维正态分布221212(,,,,)Nr:二维正态分布的联合密度为:2211222211221211(,)exp()2()()()2(1)21xxyypxyrrr，其中121212,,,,,1,,0rRr为常数且而，而其边缘分布及条件分布为:211211()1()(,)exp22xXpxpxydy，即211(,)XN，222222()1()(,)exp22yYpypxydx，即222(,)YN，212211222122()(,)1(,)exp()2(1)2(1)YXyrxpxyYpxyXxpxrr，即2222121(),(1)YNrxrXx。四、二维随机变量函数的分布设(,)XY为二维随机变量，而(,)fxy为连续的确定型函数。⑴．若(,)XY为离散型随机变量，且(,)(,),1ijXYpxyij，，则(,)ZfXY的分布律为:(,)()()(,)ijkkkijfxyzZgzPZzpxy；⑵．若(,)XY为连续型随机变量，且(,)(,)XYpxy，则(,)ZfXY的概率密度函数为:(,)()()(,)fxyzddZgzPZzpxydxdydzdz；⑶．若连续型随机变量12,,...,nXXX独立，且具有相同的分布函数为()Fx，将12,,...,nXXX按其取值由小到大的顺序重新排为12nXXX，称12,,,nXXX为12,,...,nXXX的顺序统计量，则第k个顺序统计量kX的分布函数为(其中()()fxFx为kX的密度，1kn):《概率论与数理统计》内容提要及习题详解第三章多维随机变量及其概率分布第22页共13页22()10()(1)FxkknkkknXFxkCuudu，特别：1111min()11()max()()nkknnknnknXXFxFxXXFxFx。五、m维随机变量及其分布【定义】设(),1,2,...,kkXXkm是定义于随机试验E的样本空间上的m个随机变量，则称12(,,...,)mXXXX为m维随机变量，而称1122(),,...,mmFxPXxXxXx为其联合概率分布函数；m维随机变量12(,,...,)mXXXX也可分离散型与连续型，也有边缘分布、条件分布等概念。常用n维随机变量的分布有:1．m维多项式分布:设,1mn为自然数，12120,,...,1mmpppppp为常数，则m维多项式分布的联合分布律为(其中12120,,,mmxxxxxxn为整数)：1212121211221212!(1)(,,...,)!!!()!mmxnxxxxxmmmmmmnppppppPXxXxXxxxxnxxx