隐函数求导法则

第5节隐函数求导法则0),(.1yxF0),,(.2zyxF一、一个方程情形隐函数存在定理1设函数),(yxF在点),(00yxP的某一邻域内具有连续的偏导数，且0),(00yxF，0),(00yxFy，则方程0),(yxF在点),(00yxP的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数)(xfy，它满足条件)(00xfy，并有yxFFdxdy.隐函数的求导公式0),(.1yxF1、.)(0e2的导数所确定的隐函数求由方程xfyyxyx解则令,e),(2yxyxyxF,e1,e21222yxyyxxxFxyF因此yxFFxydd.e1e21222yxyxxxy例题方法12e0,xyxy方程两边对x求导得22dd1e(2)0xyyyxyxdxdx.e1e21dd222yxyxxxyxy由此可求得方法2222d(1e)2e1xyxyyxxydx2已知xyyxarctanln22，求dxdy.解令则,arctanln),(22xyyxyxF,),(22yxyxyxFx,),(22yxxyyxFyyxFFdxdy.xyyx练习验证方程sin10xyexy在点(0,0)某邻域可确定一个可导隐函数(),yfx并求22dd,00ddyyxxxx解令(,)sin1,xFxyyexy,xxFeycosyFyxd0dyxxddcosxxyFyeyxFyx1练习验证方程sin10xyexy在点(0,0)某邻域可确定一个可导隐函数(),yfx并求d,0dyxxddcosxxyFyeyxFyx练习解d0dyxx1定理2设函数),,(zyxF在点,(0xP),00zy的某一邻域内有连续的偏导数，且,(0xF0),00zy，0),,(000zyxFz，则方程,,(yxF0)z在点),,(000zyxP的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数),(yxfz，它满足条件),(000yxfz，并有zxFFxz，zyFFyz.0),,(.2zyxF解令则,4),,(222zzyxzyxF,2xFx,42zFzxzFzxF例题2yFyyzFzyF04222zzyx22,,zzzxyx1.设求22()2zxxxz22(2)zzxxz22()2(2)xzxzz2232(2)zxz2xz2yz.,sin),(yzxzxyzzyxfz及求函数所确定的隐是由方程设解则令,sin),,(xyzzzyxF,cosxyzFz,xzFy,yzFx有时当,0cosxyzFzzxFFxzzyFFyz,cosxyzyz.cosxyzxz练习