高中数学知识点基本概念

高一数学必修1知识网络集合一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集），构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）。一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作Φ。一般地，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集，记作ABBA或，读作“A包含于B”，或“B包含于A”。如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，记作ABBA或，读作“A真包含于B”，或“B真包含A”。一般地，如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，反过来，集合B的每一个元素也都是集合A的元素，那么我们就说集合A等于集合B，记作A=B。一般地，对于两个给定的集合A，B，由属于A又属于B的所有元素构成的集合，叫做A，B的交集，记作BA，读作“A交B”。一般地，对于两个给定的集合A，B，由两个集合的所有元素构成的集合，叫做A与B的并集，记作BA，读作“A并B”。如果给定集合A是全集U的一个子集，由U中不属于A的所有元素构成的集合，叫做A在U中补集，记作CuA，读作“A在U中的补集”。123412nxAxBABABAnA（）元素与集合的关系：属于（）和不属于（）（）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合与元素（）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集（）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法子集：若，则，即是的子集。、若集合中有个元素，则集合的子集有个，注关系集合集合与集合00(2-1)23,,,,.4/nAAABCABBCACABABxBxAABABABABABxxAxBAAAAABBAAB真子集有个。、任何一个集合是它本身的子集，即、对于集合如果，且那么、空集是任何集合的（真）子集。真子集：若且（即至少存在但），则是的真子集。集合相等：且定义：且交集性质：，，，运算,/()()()-()/()()()()()()UUUUUUUUAABBABABAABxxAxBAAAAAABBAABAABBABABBCardABCardACardBCardABCAxxUxAACAACAAUCCAACABCACB，定义：或并集性质：，，，，，定义：且补集性质：，，，，()()()UUUCABCACB1．对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。如：集合|lg|lg(,)|lgAxyxByyxCxyyxABC，，，、、中元素各表示什么？2进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。注重借助于数轴和文氏图解集合问题。空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。如：集合2|230|1AxxxBxax，，若BA，则实数a的值构成的集合为答：1103，，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m3．注意下列性质：（1）集合12naaa，，……，的所有子集的个数是2n（2）若ABABAABB，；4．你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）如：已知关于x的不等式250axxa的解集为M，若3M且5M，求实数a的取值范围。223530531925553505aMaaaMa·∵，∴，，·∵，∴函数函数是一种关系，在一个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定了一个x值，相应地就确定唯一的一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。定义设A，B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对A中的任意一个元素x，在B中有且仅有一个（唯一确定）元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的映射。这时，称y是x在映射f的作用下的象，记作f(x)。于是y=f(x)，x称作y的原象。映射f也可记为：f：A→B，x→f(x).其中A叫做映射f的定义域（函数定义域的推广），由所有象f(x)构成的集合叫做映射f的值域，通常叫作f(A)。注意：1.“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；2.函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示x对应的函数值，一个数，而不是f乘x。3.集合A和B是有先后顺序的，A到B的映射与B到A的映射是截然不同的，其中f表示具体的对应法则，可以用多种形式表示。4.“有且仅有一个（唯一确定）”意思是：一是必有一个，二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思。构成函数的三要素是：定义域、对应关系和值域。构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域。由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）。两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。区间的概念区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间无穷区间区间的数轴表示如果映射f是集合A到集合B的映射，并且对于集合B中的任意一个元素，在集合A中有且只有一个原象，这时我们说这两个集合的元素之间存在一一对应关系，并把这个映射叫做从集合A到集合B的一一映射。在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫作分段函数。函数的单调性定义：对于函数f(x)的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2,（1）若当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，则说f(x)在这个区间上是增函数；（2）若当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，则说f(x)在这个区间上是减函数。若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间。此时也说函数是这一区间上的单调函数。判断函数单调性的方法步骤：利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：任取x1，x2D，且x1x2；作差f(x1)-f(x2)；变形（通常是因式分解和配方）；定号（即判断差f(x1)-f(x2)的正负）；下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）。取值→作差→变形→定号→下结论设函数y=f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有-xD，且f(-x)=-f(x)，则这个函数叫做奇函数。设函数y=f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有-xD，且f(-x)=f(x)，则这个函数叫做偶函数。如果一个函数是奇函数，则这个函数的图像是以坐标原点为对称中心图形；反之，如果一个函数的图像是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数。如果一个函数是偶函数，则它的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图像关于y轴对称，则这个函数是偶函数。,,,ABAxByfBABxyxfyyxy映射定义：设，是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系，使对于集合中的任意一个元素，在集合中都有唯一确定的元素与之对应，那么就称对应：为从集合到集合的一个映射传统定义：如果在某变化中有两个变量并且对于在某个范围内的每一个确定的值，定义按照某个对应关系都有唯一确定的值和它对应。那么就是的函数。记作函数及其表示函数().,,()()(),,1212()()(),,12fxabaxxbfxfxfxababfxfxfxababa近代定义：函数是从一个数集到另一个数集的映射。定义域函数的三要素值域对应法则解析法函数的表示方法列表法图象法单调性函数的基本性质传统定义：在区间上，若如，则在上递增,是递增区间；如，则在上递减,是的递减区间。导数定义：在区间()1()2()()00,()0(),,()0(),,yfxIMxIfxMxIfxMMyfxbfxfxababfxfxabab最大值：设函数的定义域为，如果存在实数满足：（）对于任意的，都有；（）存在，使得。则称是函数的最大值最值最上，若，则在上递增,是递增区间；如则在上递减,是的递减区间。()1()2()()00(1)()(),()(2)()(),()yfxINxIfxNxIfxNNyfxfxfxxDfxfxfxxDfx小值：设函数的定义域为，如果存在实数满足：（）对于任意的，都有；（）存在，使得。则称是函数的最小值定义域，则叫做奇函数，其图象关于原点对称。奇偶性定义域，则叫做偶函数，其图()()()(0)()()1,()112yfxfxTfxTfxTTfxyyxaxyfxaa象关于轴对称。奇偶函数的定义域关于原点对称周期性：在函数的定义域上恒有的常数则叫做周期函数，为周期；的最小正值叫做的最小正周期，简称周期（）描点连线法：列表、描点、连线向左平移个单位：向右平移个平移变换函数图象的画法（）变换法,()11,()11,()1110111/()11)01)1yyxaxyfxabxxybyybfxbxxybyybfxx单位：向上平移个单位：向下平移个单位：横坐标变换：把各点的横坐标缩短（当时）或伸长（当时）到原来的倍（纵坐标不变），即伸缩变换纵坐标变换：把各点的纵坐标伸长（或缩短（到/()1221010(,)2(2)0000221010221010(2)0011112(00221010AyyAyfxxxxxxxxyyyfxxyyyyyyxxxxxxxxyfxxyyyyxxxxyyyyfyyyyyy原来的倍（横坐标不变），即关于点对称：关于直线对称：对称变换关于直线对称：)11()1xxxyxyfxyy关于直线对称：一、函数的定义域的常用求法：1、分式的分母不等于零；2、偶次方根的被开方数大于等于零；3、对数的真数大于零；4、指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1；5、三角函数正切函数tanyx中()2xkkZ；余切函数cotyx中；6、如果函数是由实际意义确定的解析式，应依据自变量的实际意义确定其取值范围。二、函数的解析式的常用求法：1、定义法；2、换元法；3、待定系数法；4、函数方程法；5、参数法；6、配方法三、函数的值域的常用求法：1、换元法；2、配方法；3、判别式法；4、几何法；5、不等式法；6、单调性法；7、直接法四、函数的最值的常用求法：1、配方法；2、换元法；3、不等式法；4、几何法；5、单调性法五、函数单调性的常用结论：1、若(),()fxgx均为某区间上的增（减）函数，则()()fxgx在这个区间上也为增（减）函数2、若()fx为增（减）函数，则()fx为减（增）函数3、若()fx与()gx的单调性相同，则[()]yfgx是增函数；若()fx与()gx的单调性不同，则[()]yfgx是减函数。4、奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反。5、常用函数的单调性解答：比较大小、求值域、求最值、解不等式、证不等式、作函数图象