平面向量的坐标运算优质课

2.3.3平面向量的坐标运算2.3.4平面向量共线的坐标表示梁山一中李小焕教学目标熟练利用平面向量的坐标进行向量的加、减、数乘运算；理解用坐标表示的平面向量共线的条件；会根据向量的坐标判断向量或三点是否共线；重点：平面向量的坐标运算法则，平面向量共线的坐标表示.难点：平面向量的坐标表示及意义.(,)axy(,)xy复习回顾在平面直角坐标系中,分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量作为基底（正交基底）；对于平面内的任意向量,有且只有一对实数，，使得；我们把有序数对________叫做向量的坐标，记作________________；ji,aaxiyjxyxya平面向量的坐标表示Oxyija1234－1－5－2－3－4xy501234－1－2－3－4o问题：若已知=（1，3），=（5，1），ab如何求+，－的坐标呢？abababC（6，4）－=（x1－x2，y1－y2）ba（x1，y1）（x2，y2）＋ba=（x1+y1）ij+（x2+y2）ij=（x1+x2）+(y1+y2)ij平面向量的坐标运算猜想：＋=（x1＋x2，y1＋y2）ba证明：=（x1,）+(,y2)=（x1+y1）ij+（x2+y2）ij重点1y2x结论:平面向量的坐标运算法则平面向量的坐标运算ar向量的数乘运算？ar11()xiyjrr11xiyjrr11(,)axy即11,(,),Raxy若则r平面向量的坐标运算法则1212,abxxyy1122,,,axybxy已知1212,abxxyy平面向量的坐标运算两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）．实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．11(,)axy(2,1),(3,4),,,34abababab例1:已知求的坐标rrrrrrrr:(2,1)(3,4)(1,5);(2,1)(3,4)(5,3);343(2,1)4(3,4)(6,3)(12,16)(6,19)ababab解rrrrrr练习p100第2题类型一：平面向量坐标运算法则的应用探究：若已知点A,B,如何求的坐标呢？AB平面向量的坐标运算结论：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标。oxyBA··11(,)xy22(,)xy11(,)xy22(,)xyABOBOA2211(,)(,)xyxy2121(,).xxyy平面向量的坐标运算练习p100第3题已知A、B两点的坐标，求,的坐标。⑴A(3,5),B(6,9);⑵A(－3,4),B(6,3)ABBA平面向量的坐标运算AB终点B始点A终点坐标减去始点坐标(－2,7)终点坐标减去向量坐标始点坐标加上向量坐标(3,－4)（1，3）（1，2）（2，3）（1，1）平面向量的坐标运算例2已知ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为(－2，1)、(－1，3)、(3，4)，求顶点D的坐标。平面向量的坐标运算12345xy501234－1－1－2－2－3－4－5CABD－66例2已知ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为(－2，1)、(－1，3)、(3，4)，求顶点D的坐标。平面向量的坐标运算ABCDxyO解：设点D的坐标为（x,y）(1,3)(2,1)(1,2)AB(1,2)(3,4)xy1324xy解得x=2,y=2所以顶点D的坐标为（2，2）例2已知ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为(－2，1)、(－1，3)、(3，4)，求顶点D的坐标。(3,4)(,)(3,4)DCxyxyABDC且平面向量的坐标运算例2已知ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为(－2，1)、(－1，3)、(3，4)，求顶点D的坐标。ABCDxyO另解：由平行四边形法则可得(2(1),13)(3(1),43)(3,1)BDBABC而(1,3)(3,1)(2,2)ODOBBD所以顶点D的坐标为（2，2）平面向量的坐标运算例2已知ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为(－2，1)、(－1，3)、(3，4)，求顶点D的坐标。思考：若已知平面上三个点A、B、C的坐标分别为(－2，1）,（－1，3）,（3，4）,求第四个点的坐标,使这四个点构成一个平行四边形的四个顶点.ABCD平面向量的坐标运算12345xy501234－1－1－2－2－3－4－5CABD－66D1D2如何用坐标表示两个共线向量？问题:如果向量，共线（其中≠），那么，满足什么关系？babba0(x1，y1)=λ(x2，y2)即x1=λx2，y1=λy2．消去λ后得：x1y2-x2y1=0．这就是说，当且仅当x1y2-x2y1=0设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，其中b≠0．则由a=λb，有时，向量a、b（b≠0）共线．探究：平面向量共线的坐标表示思考：例3已知a=(4，2)，b=(6，y)，且a∥b，求y.解：∵a∥b，∴4y-2×6=0.∴y=3.类型二：向量共线的坐标表示的应用例4已知A(-1，-1)、B(1，3)、C(2，5)，试判断A、B、C三点之间的位置关系．解：在平面直角坐标系中作出A、B、C三点（如下图），观察图形，猜想A、B、C三点共线．yxO1ABC又2×6-3×4=0.∵直线AB、直线AC有公共点A，∴A、B、C三点共线．∵AB=(1-(-1)，3-(-1))=(2，4)，AC=(2-(-1)，5-(-1))=(3，6)，∴AB∥AC，类型二：向量共线的坐标表示的应用xyOP1P2P(1)M1212121()2(,)22OPOPOPxxyy所以，点P的坐标为1212(,)22xxyy类型三：平面向量共线及向量的坐标运算的综合应用解：如图，由向量的线性运算可知例5:设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是。（1）当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；（2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标。1122(,),(,)xyxyxyOP1P2P(2)xyOP1P2P例5:设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是。（1）当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；（2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标。1122(,),(,)xyxy类型三：平面向量共线及向量的坐标运算的综合应用xyOP1P2PxyOP1P2P.2212212121PPPPPPPPPPP或有两种情况，即，的一个三等分点时，是线段）当点（xyOPP1P2如果P1P=PP2(如图)，那么12OP=OP1+P1P=OP1+P1P213=OP1+(OP2-OP1)13=OP1+OP22313=(，)．2x1+x232y1+y23即点P的坐标是(，)．2x1+x232y1+y23同理，如果P1P=2PP2，那么点P的坐标是(，)．x1+2x23y1+2y23（2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标．课堂小结回顾本堂课的教学过程，你能说说你学了哪些知识吗？1.平面向量坐标的加.减运算法则=(x1,y1)+(x2,y2)=(x1+x2,y1+y2)=(x1,y1)-(x2,y2)=(x1-x2,y1-y2)2.平面向量坐标实数与向量相乘的运算法则3.平面向量坐标若A(x1,y1),B(x2,y2)则=(x2-x1,y2–y1)ABabab(,)(,)axyxy=(x1,y1)+(x2,y2)=(x1+x2,y1+y2)ab课堂小结课下作业必做题：P101习题2.3A组第1、3、4、6题B组1、2题感谢各位老师莅临指导！祝大家健康快乐！！