相似三角形的性质(经典全面)

Page1of26一、相似的有关概念1．相似形具有相同形状的图形叫做相似形．相似形仅是形状相同，大小不一定相同．相似图形之间的互相变换称为相似变换．2．相似图形的特性两个相似图形的对应边成比例，对应角相等．3．相似比两个相似图形的对应角相等，对应边成比例．二、相似三角形的概念1．相似三角形的定义对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形．如图，ABC△与ABC△相似，记作ABCABC△∽△，符号∽读作“相似于”．A'B'C'CBA2．相似比相似三角形对应边的比叫做相似比．全等三角形的相似比是1．“全等三角形”一定是“相似形”，“相似形”不一定是“全等形”．三、相似三角形的性质1．相似三角形的对应角相等如图，ABC△与ABC△相似，则有AABBCC，，．A'B'C'CBA2．相似三角形的对应边成比例如图，ABC△与ABC△相似，则有ABBCACkABBCAC（k为相似比）．相似三角形的性质及判定Page2of26A'B'C'CBA3．相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比．如图1，ABC△与ABC△相似，AM是ABC△中BC边上的中线，AM是ABC△中BC边上的中线，则有ABBCACAMkABBCACAM（k为相似比）．M'MA'B'C'CBA图1如图2，ABC△与ABC△相似，AH是ABC△中BC边上的高线，AH是ABC△中BC边上的高线，则有ABBCACAHkABBCACAH（k为相似比）．H'HABCC'B'A'图2如图3，ABC△与ABC△相似，AD是ABC△中BAC的角平分线，AD是ABC△中BAC的角平分线，则有ABBCACADkABBCACAD（k为相似比）．D'DA'B'C'CBA图34．相似三角形周长的比等于相似比．如图4，ABC△与ABC△相似，则有ABBCACkABBCAC（k为相似比）．应用比例的等比性质有ABBCACABBCACkABBCACABBCAC．Page3of26A'B'C'CBA图45．相似三角形面积的比等于相似比的平方．如图5，ABC△与ABC△相似，AH是ABC△中BC边上的高线，AH是ABC△中BC边上的高线，则有ABBCACAHkABBCACAH（k为相似比）．进而可得21212ABCABCBCAHSBCAHkSBCAHBCAH△△．H'HABCC'B'A'图5四、相似三角形的判定1．平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．2．如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．可简单说成：两角对应相等，两个三角形相似．3．如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．4．如果一个三角形的三条边与另一个三角形的你对应成比例，那么这两个三角形相似．可简单地说成：三边对应成比例，两个三角形相似．5．如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．6．直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似（常用但要证明）7．如果一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或一对底角相等，那么这两个等腰三角形相似；如果它们的腰和底对应成比例，那么这两个等腰三角形也相似．五、相似证明中的比例式或等积式、比例中项式、倒数式、复合式证明比例式或等积式的主要方法有“三点定形法”．1．横向定型法欲证ABBCBEBF，横向观察，比例式中的分子的两条线段是AB和BC，三个字母ABC，，恰为ABC△的顶点；分母的两条线段是BE和BF，三个字母BEF，，恰为BEF△的三个顶点．因此只需证ABCEBF△∽△．Page4of262．纵向定型法欲证ABDEBCEF，纵向观察，比例式左边的比AB和BC中的三个字母ABC，，恰为ABC△的顶点；右边的比两条线段是DE和EF中的三个字母DEF，，恰为DEF△的三个顶点．因此只需证ABCDEF△∽△．3．中间比法由于运用三点定形法时常会碰到三点共线或四点中没有相同点的情况，此时可考虑运用等线，等比或等积进行变换后，再考虑运用三点定形法寻找相似三角形．这种方法就是等量代换法．在证明比例式时，常用到中间比．比例中项式的证明，通常涉及到与公共边有关的相似问题。这类问题的典型模型是射影定理模型，模型的特征和结论要熟练掌握和透彻理解．倒数式的证明，往往需要先进行变形，将等式的一边化为1，另一边化为几个比值和的形式，然后对比值进行等量代换，进而证明之．复合式的证明比较复杂．通常需要进行等线代换（对线段进行等量代换），等比代换，等积代换，将复合式转化为基本的比例式或等积式，然后进行证明．六、相似证明中常见辅助线的作法在相似的证明中，常见的辅助线的作法是做平行线构造成比例线段或相似三角形，同时再结合等量代换得到要证明的结论．常见的等量代换包括等线代换、等比代换、等积代换等．如图：AD平分BAC交BC于D，求证：BDABDCAC．321EDCAB证法一：过C作CEAD∥，交BA的延长线于E．∴1E，23．∵12，∴3E．∴ACAE．∵ADCE∥，∴BDBABADCBEAC．点评：做平行线构造成比例线段，利用了“A”型图的基本模型．BACDE12证法二；过B作AC的平行线，交AD的延长线于E．∴12E，∴ABBE．∵BEAC∥，∴BDBEABDCACAC．点评：做平行线构造成比例线段，利用了“X”型图的基本模型．Page5of26七、相似证明中的面积法面积法主要是将面积的比，和线段的比进行相互转化来解决问题．常用的面积法基本模型如下：图1：“山字”型HDCBA如图：1212ABCACDBCAHSBCSCDCDAH△△．图2：“田字”型GHODCBA如图：1212ABCBCDBCAHSAHAOSDGODBCDG△△．图3：“燕尾”型CDEBA如图：ABDABDAEDACEAEDACESSSABADABADSSSAEACAEAC△△△△△△．八、相似证明中的基本模型IHGFEDCBAGFEDCBAEDCBAEDCBAPage6of26EFDCBAFEDCBAODCBAODCBAHEDCBAEDCBAEDCBAODCBADCBDBACAEDCBADCBAGFEDCBAGFEDCBAGFEDCBADEFCBAHPMNFEDCBAGHGFEDCBAEFDCBAFEDCBA一、与三角形有关的相似问题【例1】如图，在ABC△中，ACAB，点D在AC边上，若在增加一个条件就能使ABCACB△∽△，则这个条件可以是．CDBA【例2】如图，D、E是ABC的边AC、AB上的点，且ADACAEAB，求证：ADEB.例题精讲Page7of26EDCBA【例3】如图，在ABC中，ADBC于D，CEAB于E，ABC的面积是BDE面积的4倍，6AC，求DE的长.EDCBA【例4】直线DE与ABC△的AB边相交于点D，与AC边相交于点E，下列条件：①DEBC∥；②AEDB；③AEACADAB；④AEEDACBC中，能使ADE△与ABC△相似的条件有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【例5】如图，ABC△中，60ABC，点P是ABC△内一点，使得APBBPCCPA，86PAPC，，则PB．PCBA【例6】如图，已知三个边长相等的正方形相邻并排，求EBFEBG．HGFEDCBA【例7】如图，已知ABC中，:1:3AEEB，:2:1BCCD，AD与CE相交于F，则AFEFFCFD的值为（）ADEFCBA.52B.1C.32D.2Page8of26【例8】在ABC中，BDCE，DE的延长线交BC的延长线于P，求证：ADBPAECP.PEDCBAMPEDCBA【例9】如图，在ABC的边AB上取一点D，在AC取一点E，使ADAE，直线DE和BC的延长线相交于P，求证：BPBDCPCEPEDCBA4321MPEDCBA【例10】如图，M、N为ABC△边BC上的两点，且满足BMMNNC，一条平行于AC的直线分别交AB、AM和AN的延长线于点D、E和F.求证：3EFDE.FNMEDCBAKHFNMGEDCBA【例11】如图，已知////ABEFCD，若ABa，CDb，EFc，求证：111cab.DCFEBAPage9of26【例12】如上图，ABBD，CDBD，垂足分别为B、D，AC和BD相交于点E，EFBD，垂足为F.证明：111ABCDEF.FDCEAB【例13】如图，已知////ABEFCD，找出ABDS、BEDS、BCDS之间的关系，并证明你的结论.NMHDCFEBA【例14】如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，直线l平行于BD，且与AB、DC、BC、AD及AC的延长线分别相交于点M、N、R、S和P.求证：PMPNPRPSlSRPNMODCBA【例15】已知，如图，四边形ABCD，两组对边延长后交于E、F，对角线BDEF∥，AC的延长线交EF于G．求证：EGGF．GFECDBANMGFECDBA【例16】已知：P为ABC的中位线MN上任意一点，BP、CP的延长线分别交对边AC、AB于D、E，求证：1ADAEDCEBPage10of26PNMEDCBARQPNMEDCBA【例17】如图所示，ABCDEF是一个凸六边形，P、Q、R分别是直线BA与EF、FE与CD、DC与AB的交点，S、T、U分别是BC与ED、DE与AF、FA与CB的交点，如果ABPRCD∶∶RQEFQP∶，求证：BCUSDESTFATU∶∶∶．TSURQPFEDCBA【例18】设P、Q分别是凸四边形ABCD的边BC、AD上的点，且AQQDBPPCABCD∶∶∶，求证：直线PQ与AB之间的夹角等于直线PQ与CD之间的夹角．QPEFDCBAC'QPREFDCBA【例19】如图，ABC中，BCa，若11DE，分别是ABAC，的中点，则1112DEa；若22DE、分别是11DBEC、的中点，则2213224aDEaa；若33DE、分别是22DBEC、的中点，则33137248DEaaa；…………若nnDE、分别是-1-1nnDBEC、的中点，则nnDE_________.Page11of26EnDnE3D3E2D2E1D1CBA【例20】如图，ABC△内有一点P，过P作各边的平行线，把ABC△分成三个三角形和三个平行四边形．若三个三角形的面积123SSS，，分别为112，，，则ABC△的面积是．PS3S2S1IHGFEDCBA【例21】【如图，梯形ABCD的两条对角线与两底所围成的两个三角形的面积分别为22pq，，则梯形的面积是（）q2p2OABCDA．222pqB．2pqC．22pqpqD．222222pqPqpq【例22】如图，梯形ABCD中，ADBC∥，两条对角线AC、BD相交于O，若:1:9AODCOBSS△△，那么:BOCDOCSS△△．OABCD【例23】已知：ABC的高AD所在直线与高BE所在直线相交于点F．（1）如图l，若ABC为锐角三角形，且45ABC，过点F作FGBC∥，交直线AB于点G，求证：FGDCAD；（2）如图2，若135ABC，过点F作FGBC∥，交直线AB于点G，则FGDCAD、、之间满足的数量关系是；（3）在（2）的条件下，若52AG，3DC，将