圆与方程知识点整理

关于圆与方程的知识点整理一、标准方程:222xaybr二、一般方程：2222040xyDxEyFDEF1.220AxByCxyDxEyF表示圆方程则222200004040ABABCCDEAFDEFAAA2.求圆的一般方程一般可采用待定系数法。3.2240DEF常可用来求有关参数的范围三、点与圆的位置关系1.判断方法：点到圆心的距离d与半径r的大小：dr点在圆内；dr点在圆上；dr点在圆外2.涉及最值：（1）圆外一点B，圆上一动点P，讨论PB的最值minPBBNBCrmaxPBBMBCr（2）圆内一点A，圆上一动点P，讨论PA的最值minPAANrACmaxPAAMrAC四、直线与圆的位置关系1.判断方法（d为圆心到直线的距离）：（1）相离没有公共点0dr；（2）相切只有一个公共点0dr；（3）相交有两个公共点0dr。这一知识点可以出如此题型：告诉你直线与圆相交让你求有关参数的范围.2.直线与圆相切（1）知识要点：①基本图形②主要元素：切点坐标、切线方程、切线长等问题：直线l与圆C相切意味着什么？圆心C到直线l的距离恰好等于半径r（2）常见题型——求过定点的切线方程①切线条数：点在圆外——两条；点在圆上……一条；点在圆内……无②求切线方程的方法及注意点．．．i）点在圆外：如定点00,Pxy，圆：222xaybr，[22200xaybr]第一步：设切线l方程00yykxx；第二步：通过drk，从而得到切线方程特别注意：以上解题步骤仅对k存在有效，当k不存在时，应补上……千万不要漏了！如：过点1,1P作圆2246120xyxy的切线，求切线方程.ii）点在圆上：（1）若点00xy，在圆222xyr上，则切线方程为200xxyyr（2）若点00xy，在圆222xaybr上，则切线方程为200xaxaybybr由上述分析：过一定点求某圆的切线方程，非常重要的第一步——判断点与圆的位置关系，得出切线的条数.③求切线长：利用基本图形，22222APCPrAPCPr求切点坐标：利用两个关系列出两个方程1ACAPACrkk3.直线与圆相交（1）求弦长及弦长的应用问题：垂径定理．．．．及勾股定理——常用弦长公式：222121212114lkxxkxxxx（2）判断直线与圆相交的一种特殊方法：直线过定点，而定点恰好在圆内.（3）关于点的个数问题例：若圆22235xyr上有且仅有两个点到直线4320xy的距离为1，则半径r的取值范围是_________________.答案：4,64.直线与圆相离：会对直线与圆相离作出判断（特别是涉及一些参数时）五、对称问题1.若圆222120xymxmym，关于直线10xy，则实数m的值为____.答案：3（注意：1m时，2240DEF，故舍去）变式：已知点A是圆C:22450xyaxy上任意一点，A点关于直线210xy的对称点在圆C上，则实数a_________.2.圆22131xy关于直线0xy对称的曲线方程是________________.变式：已知圆1C：22421xy与圆2C：22241xy关于直线l对称，则直线l的方程为_______________.3.圆22311xy关于点2,3对称的曲线方程是__________________.4.已知直线l：yxb与圆C：221xy，问：是否存在实数b使自3,3A发出的光线被直线l反射后与圆C相切于点247,2525B？若存在，求出b的值；若不存在，试说明理由.六、最值问题方法主要有三种：（1）数形结合；（2）代换；（3）参数方程1.已知实数x，y满足方程22410xyx，求：（1）5yx的最大值和最小值；——看作斜率（2）yx的最小值；——截距（线性规划）（3）22xy的最大值和最小值.——两点间的距离的平方2.已知AOB中，3OB，4OA，5AB，点P是AOB内切圆上一点，求以PA，PB，PO为直径的三个圆面积之和的最大值和最小值.数形结合和参数方程两种方法均可！3.设,Pxy为圆2211xy上的任一点，欲使不等式0xyc恒成立，则c的取值范围是____________.答案：21c（数形结合和参数方程两种方法均可！）七、圆的参数方程222cos0sinxrxyrryr，为参数；222cos0sinxarxaybrrybr，为参数八、相关应用1.若直线240mxny（m，nR），始终平分圆224240xyxy的周长，则mn的取值范围是______________.2.已知圆C：222440xyxy，问：是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得的弦为AB，以AB为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l的方程，若不存在，说明理由.提示：12120xxyy或弦长公式2121dkxx.答案：10xy或40xy3.已知圆C：22341xy，点0,1A，0,1B，设P点是圆C上的动点，22dPAPB，求d的最值及对应的P点坐标.4.已知圆C：221225xy，直线l：211740mxmym（mR）（1）证明：不论m取什么值，直线l与圆C均有两个交点；（2）求其中弦长最短的直线方程.5.若直线yxk与曲线21xy恰有一个公共点，则k的取值范围.6.已知圆2260xyxym与直线230xy交于P，Q两点，O为坐标原点，问：是否存在实数m，使OPOQ，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.九、圆与圆的位置关系1.判断方法：几何法（d为圆心距）：（1）12drr外离（2）12drr外切（3）1212rrdrr相交（4）12drr内切（5）12drr内含2.两圆公共弦所在直线方程圆1C：221110xyDxEyF，圆2C：222220xyDxEyF，则1212120DDxEEyFF为两相交圆公共弦方程.补充说明：若1C与2C相切，则表示其中一条公切线方程；若1C与2C相离，则表示连心线的中垂线方程.3圆系问题（1）过两圆1C：221110xyDxEyF和2C：222220xyDxEyF交点的圆系方程为22221112220xyDxEyFxyDxEyF（1）说明：1）上述圆系不包括2C；2）当1时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦）（2）过直线0AxByC与圆220xyDxEyF交点的圆系方程220xyDxEyFAxByC（3）两圆公切线的条数问题：①相内切时，有一条公切线；②相外切时，有三条公切线；③相交时，有两条公切线；④相离时，有四条公切线十、轨迹方程（1）定义法（圆的定义）（2）直接法：通过已知条件直接得出某种等量关系，利用这种等量关系，建立起动点坐标的关系式…轨迹方程.例：过圆221xy外一点2,0A作圆的割线，求割线被圆截得的弦的中点的轨迹方程.分析：222OPAPOA（3）相关点法（平移转换法）：一点随另一点的变动而变动特点为：主动点一定在某一已知的方程所表示的（固定）轨迹上运动.例1.如图，已知定点2,0A，点Q是圆221xy上的动点，AOQ的平分线交AQ于M，当Q点在圆上移动时，求动点M的轨迹方程.分析：角平分线定理和定比分点公式.例2.已知圆O：229xy，点3,0A，B、C是圆O上的两个动点，A、B、C呈逆时针方向排列，且3BAC，求ABC的重心G的轨迹方程.法1：3BAC，BC为定长且等于33设,Gxy，则33333ABCBCABCBCxxxxxxyyyyyy取BC的中点为33,24Ex，333,42Ey222OECEOC，2294EExy（1）2222BCEBCEBCEBCExxxxxxyyyyyy，3233322323EEEExxxxyyyy故由（1）得：2222333933110,,,122422xyxyxy法2：（参数法）设3cos,3sinB，由223BOCBAC，则223cos,3sin33C设,Gxy，则233cos3cos231coscos133323sin3sin23sinsin2333ABCABCxxxxyyyy4,33，由22112得：2233110,,,122xyxy参数法的本质是将动点坐标,xy中的x和y都用第三个变量（即参数）表示，通过消参．．得到动点轨迹方程，通过参数的范围得出x，y的范围.（4）求轨迹方程常用到得知识①重心,Gxy，33ABCABCxxxxyyyy②中点,Pxy，121222xxxyyy③内角平分线定理：BDABCDAC④定比分点公式：AMMB，则1ABMxxx，1ABMyyy⑤韦达定理.高中数学圆的方程典型例题类型一：圆的方程例1求过两点)4,1(A、)2,3(B且圆心在直线0y上的圆的标准方程并判断点)4,2(P与圆的关系．圆的方程为20)1(22yx；点P在圆外．例2求半径为4，与圆042422yxyx相切，且和直线0y相切的圆的方程．圆的方程为2224)4()622(yx，或2224)4()622(yx．例3求经过点)5,0(A，且与直线02yx和02yx都相切的圆的方程．分析：欲确定圆的方程．需确定圆心坐标与半径，由于所求圆过定点A，故只需确定圆心坐标．又圆与两已知直线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上．解：∵圆和直线02yx与02yx相切，∴圆心C在这两条直线的交角平分线上，又圆心到两直线02yx和02yx的距离相等．∴5252yxyx．∴两直线交角的平分线方程是03yx或03yx．又∵圆过点)5,0(A，∴圆心C只能在直线03yx上．设圆心)3,(ttC∵C到直线02yx的距离等于AC，∴22)53(532tttt．化简整理得0562tt．解得：1t或5t∴圆心是)3,1(，半径为5或圆心是)15,5(，半径为55．∴所求圆的方程为5)3()1(22yx或125)15()5(22yx．说明：本题解决的关键是分析得到圆心在已知两直线的交角平分线上，从而确定圆心坐标得到圆的方程，这是过定点且与两已知直线相切的圆的方程的常规求法．例4、设圆满足：(1)截y轴所得弦长为2；(2)被x轴分成两段弧，其弧长的比为1:3，在满足条件(1)(2)