刚体力学基础

第三章刚体力学1第三章刚体力学23-1刚体刚体定轴转动的描述第三章刚体力学基础3-3刚体定轴转动的动能定理3-2刚体定轴转动的转动定律3-4刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律第三章刚体力学3教学基本要求一理解刚体绕定轴转动的角速度和角加速度的概念，理解角量与线量的关系。二理解力矩和转动惯量的概念，能应用平行轴定理和转动惯量的可加性，计算刚体对定轴的转动惯量。三理解刚体的定轴转动定律，能计算简单的定轴转动问题。第三章刚体力学4六了解经典力学的适用范围。五理解刚体对定轴的角动量概念，理解刚体定轴转动的角动量定理，理解角动量守恒定律。四了解力矩的功和刚体转动动能的概念。教学基本要求第三章刚体力学5刚体平动质点运动平动：刚体在运动的过程中,如果刚体上任意两点的连线在空间的指向始终保持不变.§3.1刚体刚体定轴转动的描述一、刚体的平动和定轴转动刚体最基本的运动形式是平动和定轴转动.刚体:在力的作用下,大小和形状都保持不变的物体.第三章刚体力学6刚体在运动时,如果刚体上的各点都绕同一条直线在垂直于这条直线的平面内作半径大小不同的圆周运动,这种运动称为刚体的转动,这条直线称为转轴.刚体的一般运动可以看成平动和转动的合成.如果转轴是固定不动的,这种转动称为绕固定轴的转动,简称定轴转动.刚体的转动§3.1刚体刚体定轴转动的描述第三章刚体力学7x二、刚体转动的角速度和角加速度z转动平面)(t)()(ttt刚体的角位移规定r沿顺时针方向转动0r沿逆时针方向转动0)(t刚体绕定轴转动的转动方程角坐标（角位置）§3.1刚体刚体定轴转动的描述第三章刚体力学8刚体定轴转动（一维转动）的转动方向可以用角速度的正负来表示.面对轴方向观察,如果,刚体逆时针转动;反之,刚体顺时针转动.0Oz00zz瞬时角速度（角速度）0dlimdttt§3.1刚体刚体定轴转动的描述第三章刚体力学9角加速度ddt1）每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面；2）任一质点运动均相同，但不同；3）运动描述仅需一个坐标。,,,av定轴转动的特点角速度与转速的关系2ππ6030nn转速：每分钟转过的圈数。n§3.1刚体刚体定轴转动的描述第三章刚体力学10三、匀变速转动公式刚体绕定轴作匀变速转动质点匀变速直线运动at0vv20012xxtatv)(20202xxavvt0)(2020220012tt匀变速转动：当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时的转动.刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比§3.1刚体刚体定轴转动的描述第三章刚体力学11z四、绕定轴转动刚体上各点的速度和加速度rtevtanan2tereraa线速度大小与角速度大小的关系rvt22nddararrvtv§3.1刚体刚体定轴转动的描述第三章刚体力学12tttddlim0五、角速度矢量把右手的拇指伸直,其余四指弯曲,使弯曲方向与刚体转动方向一致,这时拇指所指的方向,就是角速度矢量的方向.角速度分量方向：沿转轴,与刚体转动方向之间的关系按右手螺旋法则确定.§3.1刚体刚体定轴转动的描述第三章刚体力学13例3-1一半径的飞轮,转速,制动后转过圈而静止.设转动过程中飞轮作匀变速转动.求:(1)转动过程中飞轮的角加速度和经过的时间;(2)在末时,飞轮边缘某点的线速度、切向加速度和法向加速度.0.50mr1600rminn101s解(1)1102π2π600rads62.8rads6060n02π2π10rad62.8radN角位移2222200062.8rads31.4rads2262.8角加速度0062.8s2s31.4t制动过程的时间§3.1刚体刚体定轴转动的描述第三章刚体力学14(2)1s末飞轮的角速度11062.831.41rads31.4radst轮边缘某点的线速度110.531.4ms15.7msrv2222n0.53.14ms493msar法向加速度22t0.531.4ms15.7msar切向加速度§3.1刚体刚体定轴转动的描述第三章刚体力学15Pz*OsinMFrFr一、力对轴的力矩§3.2刚体定轴转动的转动定律力对轴的力矩：力的作用点的矢径大小、力的大小和矢径与力之间夹角的正弦三者的乘积。0πsin0力矩为正.π2πsin0力矩为负.0π或sin0力矩为零.第三章刚体力学16Pz*OFrd力对轴的力矩大小等于力的大小和力臂的乘积.力臂:OF点至力的作用线的垂直距离.sindrMFd§3.2刚体定轴转动的转动定律第三章刚体力学17zOkFr12FFF2sinMrF1F2F若力不在转动平面内，把力分解为平行和垂直于转轴方向的两个分量F其中对转轴的力矩为零.1FF对转轴的力矩§3.2刚体定轴转动的转动定律第三章刚体力学18二、转动定律OzimiiFieitsinsiniiiiiiiiFFmamr质点绕轴作圆周运动,根据牛顿第二定律沿切线方向的分量式ieiFiir以乘上式两边ir2eisinsiniiiiiiiiFrFrmr对刚体上所有的个质点2ei111sinsinnnniiiiiiiiiiiFrFrmr§3.2刚体定轴转动的转动定律第三章刚体力学19转动定律：刚体绕定轴转动时,外力对转轴的合力矩,等于刚体对该转轴的转动惯量与角加速度的乘积.JM2iiiJmr转动惯量2ei111sinsinnnniiiiiiiiiiiFrFrmri1sin0niiiiFr每一对内力对轴的力矩的代数和都为零.2e11sinnniiiiiiiFrmr合外力矩e1sinniiiiMFr§3.2刚体定轴转动的转动定律第三章刚体力学20三、转动惯量转动惯量是刚体在转动过程中惯性大小的量度.质量连续分布刚体的转动惯量2dJrm：质量元md刚体对转轴的转动惯量,等于组成刚体的各质点的质量与各质点到转轴距离平方的乘积的总和.2iiiJmr§3.2刚体定轴转动的转动定律第三章刚体力学21对质量线分布的刚体：：质量线密度ddlmll对质量面分布的刚体：：质量面密度ddSmSS对质量体分布的刚体：：质量体密度Vmdd§3.2刚体定轴转动的转动定律第三章刚体力学22解设棒的线密度为，取一距离转轴OO´为处的质量元lxddlmx22dddlJxmxx例3-2一质量为、长为的均匀细长棒。求：（1）细棒对通过棒的中心,并与棒垂直的转轴的转动惯量;（2）细棒对通过棒的端点,并与棒垂直的转轴的转动惯量.ml2112Jmllml其中dx2l2lxOOxx23221d12llllJxxl§3.2刚体定轴转动的转动定律第三章刚体力学23213Jml22ddd22lllJxmxx（2）细棒对通过棒的端点,并与棒垂直的转轴的转动惯量dx2l2lxOOxx23221d23lllllJxxllml其中§3.2刚体定轴转动的转动定律第三章刚体力学24OROR3402πdπ2RssJrrRrdr例3-3两质量均为、半径均为的薄圆环和均匀圆盘，求通过各自中心并与圆面垂直的轴的转动惯量.mR2πsmR其中221mRJ23dd2πdsJrmrr解（1）薄圆环220dmJRmmR（2）设圆盘面密度为，在盘上取半径为，宽为的圆环rrdsd2πdsmrr§3.2刚体定轴转动的转动定律第三章刚体力学25四、平行轴定理2CJJmd质量为的刚体，如果对其质心轴的转动惯量为，则对任一与该轴平行，相距为的转轴的转动惯量CJmddCOm注意转动惯量的大小取决于刚体的质量、形状及转轴的位置.§3.2刚体定轴转动的转动定律第三章刚体力学26例关于力矩有以下几种说法:（1）内力矩不会改变刚体对某个轴的角动量;（2）作用力和反作用力对同一轴的力矩之和必为零;（3）质量相等,形状和大小不同的两个刚体,在相同力矩的作用下,它们的角加速度一定相等;在上述说法中(A)只有（2）是正确的(B)（1）、（2）是正确的(C)（2）、（3）是正确的(D)（1）、（2）、（3）都是正确的思考§3.2刚体定轴转动的转动定律第三章刚体力学27例3-4如图所示.某装置由均质细杆和均质圆盘构成.杆的质量为、长度为.圆盘的质量为、半径为.求此装置对通过点且垂直于纸面的轴的转动惯量.1mL2mROOzOz21113JmL解细杆对轴圆盘对通过质心的轴22c212JmR圆盘对Oz轴2222212JmRmLR222121221132JJJmLmRmLR整个装置对轴OzOLCR1m2m§3.2刚体定轴转动的转动定律第三章刚体力学28五、转动定律的应用举例解题基本步骤：1.首先要分析物体的受力情况,并将轴取在固定的转轴上.Oz2.根据轴的正方向,确定各力对轴力矩的正负,从而计算出作用在物体上的外力矩的代数和.Oz3.应用转动定律,求出角加速度.§3.2刚体定轴转动的转动定律第三章刚体力学29注意1、在转动定律表达式中,力矩应理解为刚体所受的对转轴的合外力矩,转动惯量也应理解为对同一轴的转动惯量.2、转动定律中表示的外力矩和角加速度的关系是瞬时关系.§3.2刚体定轴转动的转动定律第三章刚体力学30AmBF=mg（A）A＝B（B）AB（C）AB（D）无法确定例如图所示,A、B为两个相同的定滑轮,A滑轮挂一质量为m的物体,B滑轮受力F=mg,设A、B两滑轮的角加速度分别为A和B,不计滑轮的摩擦,这两个滑轮的角加速度的大小关系为AmaTmgATrJABFrmgrJBgmT思考§3.2刚体定轴转动的转动定律第三章刚体力学31例3-5如图所示,一固定在机轴上的皮带轮,半径,由电动机带动转动.皮带轮对轴的转动惯量.空载（即不带动其他转动部件）启动时,皮带轮紧边拉力,松边拉力,轮轴中的摩擦阻力矩.求空载启动后需要多少时间.皮带轮才能达到转速.0.50mR240kgmJT11600NFT2700NF150NmM1600rminn解皮带轮所受的外力有重力、轴的支撑力、拉力、及摩擦阻力.重力和支撑力的作用线均通过轴线,不产生力矩.T2FT1FRT1FT2FO§3.2刚体定轴转动的转动定律第三章刚体力学32T1T21FRFRMJT1T21210radsFFRMJ112π2π600rads62.8rads6060n皮带轮作匀变速转动，且,末角速度00取轴垂直于纸面,向外为轴的正方向.OzRT1FT2FO062.80s6.28s10t所需时间§3.2刚体定轴转动的转动定律第三章刚体力学33例3-6如图所示,一质量为、半径为的圆盘,可绕无摩擦的水平轴转动.绳索一端系在圆盘的边缘上,另一端悬挂质量为的物体,绳的质量忽略不计.求物体的加速度和圆盘的角加速度.mRmTFNFmgmgTF受力分析§3.2刚体定轴转动的转动定律第三章刚体力学34解对物体,取轴竖直向下OyTmgFma对圆盘,轴取在圆盘的转轴上,其正方向垂直于纸面向外Oz2T12FRmRTTFFaR2mgamm2mgmRmTFNFmgmgOTFy§3.2刚体定轴转动的转动定律第三章刚体力学3521dAM