一元二次方程单元复习(精品)

一元二次方程的概念一元二次方程的解法一元二次方程根的判别式一元二次方程根与系数的关系一元二次方程的应用一元二次方程复习效果检测定义及一般形式:•只含有一个未知数,未知数的最高次数是______的___式方程,叫做一元二次方程。•一般形式:________________二次整ax2+bx+c=o(a≠o)练习一一、与一元二次方程定义有关的题目：1、下列方程中，哪些属于一元二次方程，为什么？（1）4x-x²+2=0（2）3x²-y-1=0（3）ax²+ｂx+c=0（a、b、c为常数）（4）x+=02、已知关于x的方程（m²-1）x²+（m-2）x-2m+1=0，当m时是一元二次方程，当m=时是一元一次方程。x13、把方程（1-x)(2-x)=3-x2化为一般形式是：___________,其二次项系数是____,一次项系数是____,常数项是____.4、方程（m-2)x|m|+3mx-4=0是关于x的一元二次方程，则（）A.m=±2B.m=2C.m=-2D.m≠±22x2-3x-1=02-3-1C解一元二次方程的方法有几种?例:解下列方程•１、用直接开平方法：(x+2)2=９•2、用配方法解方程4x2-8x-5=0解:两边开平方,得:x+2=±3∴x=-2±3∴x1=1,x2=-5右边开平方后，根号前取“±”。两边加上相等项“1”。①二次项系数化为1；②移常数项到右边；③两边同时加上一次项系数一半的平方；④化直接开平方形式;⑤解方程。步骤归纳解:移项,得:3x2-4x-7=0a=3b=-4c=-7∵b2-4ac=(-4)2-4×3×(-7)=100＞0∴∴x1=x2=解:原方程化为（y+2)2﹣3（y+2）=0(y+2)(y+2-3)=0(y+2)(y-1)=0y+2=0或y-1=0∴y1=-2y2=141002563x±±==先变为一般形式，代入时注意符号。把y+2看作一个未知数，变成(ax+b)(cx+d)=0形式。3、用公式法解方程3x2=4x+74、用分解因式法解方程：（y+2)2=3(y+2）37-1①先化为一般形式；②再确定a、b、c,求b2-4ac；③当b2-4ac≥0时,代入公式:2±42bbacxa--=步骤归纳若b2-4ac＜0,方程没有实数根。04,02acba①右边化为0,左边化成两个因式的积；②分别令两个因式为0，求解。步骤归纳选用适当方法解下列一元二次方程•1、(2x+1)2=64(法）•2、(x-2)2-４(x+１)2=0(法）•3、(５x-４)2-(4-５x)=０(法）•4、x２-４x-10=０(法）•5、３x２-４x-５=０(法）•6、x２＋６x-1=0(法）•7、x２-x-３=０(法）•8、y2-y-1=0(法）2小结：选择方法的顺序是：直接开平方法→分解因式法→配方法→公式法分解因式分解因式配方公式配方公式公式直接开平方练习三1.解方程:(x+1)(x+2)=62.已知:(a2+b2)(a2+b2-3)=10求a2+b2的值。中考直击思考一元二次方程根的判别式acb42002acbxax042acb000两不相等实根两相等实根无实根一元二次方程一元二次方程根的判式是:002acbxax判别式的情况根的情况定理与逆定理042acb042acb两个不相等实根两个相等实根无实根(无解)二、例1：不解方程，判别下列方程的根的情况（1）04322xx（3）07152xx（2）yy2491620414243422acb解：（1）=判别式的应用:所以，原方程有两个不相等的实根。说明：解这类题目时，一般要先把方程化为一般形式，求出△，然后对△进行计算，使△的符号明朗化，进而说明△的符号情况，得出结论。1、不解方程，判别方程的根的情况例2：当k取什么值时，已知关于x的方程：（1）方程有两个不相等的实根；（2）方程有两个相等的实根；（3）方程无实根；01214222kxkx解：△=9881618161224142222kkkkkk(1).当△0，方程有两个不相等的实根,8k+90,即89k(2).当△=0，方程有两个相等的实根,8k+9=0,即89k(3).当△0，方程有没有实数根,8k+90,即982、根据方程的根的情况确定方程的待定系数的取值范围说明：解此类题目时，也是先把方程化为一般形式，再算出△，再由题目给出的根的情况确定△的情况。从而求出待定系数的取值范围K＜3.已知一元二次方程kx2+(2k-1)x+k+2=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围。解：212kckbka,,22(214()4)2bkckak112k∵方程有两个不相等的实数根2,014120back即121k0k又0121kkk且的取值范围是题目解好了吗？知识运用例：是否存在k，使方程04)2()1(2xkxk有两个相等的实数根？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。解：a=(k-1)b=-（k+2)c=44)1(42)]2([42kkacb1616442kkk20122kk∵方程有两个相等的实数根042acb020122kk即10221kk一元二次方程根与系数的关系(韦达定理）acxxabxxxxacbxax212121200,,,)(则的两根为若方程qxxpxxxxqpxx21212120,,则：，的两根为若方程特别地：•1.应用一元二次方程的根与系数关系时，首先要把已知方程化成一般形式.•2.应用一元二次方程的根与系数关系时，要特别注意，方程有实根的条件，即在初中代数里，当且仅当b2-4ac≥0时，才能应用根与系关系.•3.可以通过一元二次方程系数判断方程根的情况.补充规律：两根均为负的条件：X1+X2且X1X2。两根均为正的条件：X1+X2且X1X2。两根一正一负的条件：X1+X2且X1X2。当然，以上还必须满足一元二次方程有根的条件：042acb＜0＞0＞0＞0＜0设X1、X2是方程X2－4X+1=0的两个根，则X1+X2=___X1X2=____，X12+X22=；(X1-X2)2=；基础练习12211211xxxxxx当k为何值时，方程2x2-(k+1)x+k+3=0的两根差为1。解：设方程两根分别为x1,x2(x1x2)，则x1-x2=1∵(x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2由根与系数的关系得x1+x2=,x1x2=21k23k∴12342)21(kk解得k1=9,k2=-3当k=9或-3时，由于△≥0，∴k的值为9或-3。2、设x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根，且x12+x22=4，求k的值。解：由方程有两个实数根，得04)1(422kk即-8k+4≥021k由根与系数的关系得x1+x2=2(k-1),x1x2=k2∴X12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4(k-1)2-2k2=2k2-8k+4由X12+x22=4，得2k2-8k+4＝4解得k1=0,k2=4经检验，k2=4不合题意，舍去。∴k=0例题回顾：例1：如果是方程2X2+mX+3=0的一个根，求它的另一个根及m的值.210132xx21,xx21xx21xx《根与系数的关系》练习一、填空：1、已知方程的两根是,则，=。022kxx2、已知方程的一个根是1，则另一个根是，k的值是..3、若关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根互为相反数，则p=______;若两根互为倒数，则q=_____．4、已知一元二次方程2x2+bx+c=0的两个根是–1、3，则b=，c=.31-2101-4-65.已知方程3x2+2x-6=0,则它的两根的倒数和为.6.已知方程x2-bx+22=0的一根为5-,则另一根为,b=.3返回313510二、选择1、若方程中有一个根为零，另一个根非零，则的值为()ABCD02nmxxnm,0,0nm0,0nm0,0nm0mn2、两根均为负数的一元二次方程是()A.4x2+2x+5=0B.6x2-13x-5=0C.7x2-12x+5=0D.2x2+15x+8=0AD1.审清题意，弄清题中的已知量和未知量找出题中的等量关系。2.恰当地设出未知数，用未知数的代数式表示未知量。3.根据题中的等量关系列出方程。4.解方程得出方程的解。5.检验看方程的解是否符合题意。6.作答注意单位。列方程解应用题的解题过程。一元二次方程的应用2．应用题中常见的数量关系及题型(1)数字问题(包括日历中的数字规律)①若一个三位数，个位上的数字为c，十位上的数字为b，百位上的数字为a，则这个三位数是100a＋10b＋c；②日历中前后两日相差1天，上下两日相差7天．(2)体积变化问题：变形前后体积相等．数字一个两位数，个位上的数字是十位数字的平方还多1，若把个位上的数字与十位上的数字对调，所得的两位数比原数大27，求原两位数。解:设十位上的数位X,则个位上的数为×一二三四五六日１２３４５６７８９１０１１１２１３１４１５１６１７１８１９２０２１２２２３２４２５２６２７２８２９３０３１X-1XX+1X-7XX+7X+7X+8XX+1XX+7X-7X-8X-6X-1X+1X+8X+6(3)打折销售问题①利润＝售价－成本；②利润率＝利润成本×100%.(4)行程问题路程＝速度×时间．若用v表示轮船的速度，用v顺、v逆、v水分别表示轮船顺水、逆水和水流的速度，则有如下关系：v顺＝v＋v水v逆＝v－v水v＝v顺＋v逆2v水＝v顺－v逆2在轮船航行问题中，知道v顺，v逆，v，v水中的任何两个量，总能求出其他的量．(5)储蓄问题①利息＝本金×利率×期数；②本息和＝本金＋利息＝本金×(1＋利率×期数)．(6)工程问题工作量＝工作效率×工作时间．例1.(中考）某工厂计划在两年内把产量翻一番，如果每年比上年提高的百分数相同，求这个百分数（精确到1%）增长率问题解：设这个百分数为x,根据题意得212x解答略利润问题某水果批发商场经销一种高档水果,如果每千克盈利10元,每天可售出500千克,经市场调查发现,在进货价不变的情况下,若每千克涨价1元,日销售量减少20千克,现该商场要保证每天盈利6000元,同时又要使顾客得到实惠,那么每千克应涨价多少元?解题过程分析：个利润×销售量=总利润解:设每千克水果应涨价x元,依题意得:(500-20x)(10+x)=6000整理得:x2-15x+50=0解这个方程得:x1=5x2=10（舍去）要使顾客得到实惠应取x=5答:每千克水果应涨价5元.某水果经销商上月份销售一种新上市的水果,平均售价为10元/千克,月销售量为1000千克.经市场调查,若将该种水果价格调低至元/千克,则本月份销售量(千克)与(元/千克)之间满足一次函数关系.且当时；当时．yx7x2000y5x4000y（1）求与之间的函数关系式；x某水果经销商上月份销售一种新上市的水果,平均售价为10元/千克,月销售量为1000千克.经市场调查,若将该种水果价格调低至元/千克,则本月份销售量(千克)与(元/千克)之间满足一次函数关系.且当时；当时．yx7x2000y5x4000y（2）已知该种水果上月份的成本价为5元／千克，本月份的成本价为4元／千克，要使本月份销售该种水果所获利润比上月份增加20%，同时又要让顾客得到实惠，那么该种水果价格每千克应调低至多少元？x面积问题有一张长方形的桌子，长6尺，宽3尺，有一块台布的面积是桌面面积的2倍，铺在桌面上时，各边垂下的长度相同，求台布的长和宽各是多少？（精确到0.1尺）提醒：一般从面积或体积找等量关系解：设这个台布的长为x尺,根据题意得（6+2x）（3+2x）=6×3×2解答略问题2、