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第28讲图形的平移与旋转1．在平面内，一个图形由一个位置沿某一直线方向移动到另一个位置，这样的图形运动叫做平移．2．平移的性质：(1)通过平移得到的图形与原来的图形是全等形．(2)在平面内，一个图形经平移后得到的图形与原来图形的对应线段相等，对应角相等，各对应点所连接的线段平行(或在同一条直线上)且相等．考点一平移温馨提示1.平移要素：1平移方向；2平移距离.2.平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小.1．在平面内，一个图形绕一个定点沿某个方向转过一个角度，这样的图形运动叫做旋转．2．旋转的性质：(1)在平面内，经旋转后得到的图形与原来的图形是全等形．(2)在平面内，一个图形经旋转后得到的图形与原来图形之间有：对应点到旋转中心的距离相等；每对对应点与旋转中心所成的角都是相等的角，它们都是旋转角．考点二旋转温馨提示1.旋转的三要素：1旋转中心；2旋转方向；3旋转角度.2.确定旋转中心的方法：分别作两组对应线段的垂直平分线，其交点即为旋转中心.3.中心对称是特殊的旋转对称.考点一平移的性质例1(2013·厦门)在平面直角坐标系中，将线段OA向左平移2个单位，平移后，点O，A的对应点分别为点O1，A1，若O(0,0)，A(1,4)，则点O1，A1的坐标分别是()A．(0,0)，(1,4)B．(0,0)，(3,4)C．(－2,0)，(1,4)D．(－2,0)，(－1,4)【点拨】点O(0,0)向左平移2个单位后的坐标是(－2,0)，点A(1,4)向左平移2个单位后的坐标是(－1,4)．故选D.【答案】D方法总结平移前后的两个图形是全等的；平移前后的两个图形上的对应点之间的距离为平移的距离；平移前后的两个图形的对应线段互相平行或在同一条直线上且相等.考点二旋转的性质例2(2013·衡阳)如图，在直角△OAB中，∠AOB＝30°，将△OAB绕点O按逆时针方向旋转100°得到△OA1B1，则∠A1OB的度数为_______．【点拨】根据旋转的性质，可得∠AOA1＝100°，又∵∠AOB＝30°，∴∠A1OB＝∠AOA1－∠AOB＝100°－30°＝70°.【答案】70°考点三变换作图例3(2013·钦州)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为(2,4)，请解答下列问题：(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；(2)画出△A1B1C1绕原点O旋转180°后得到的△A2B2C2，并写出点A2的坐标．【点拨】本题考查轴对称作图和旋转作图，可以先求出三角形三个顶点的对应点的坐标，然后描点作图．解：(1)△A1B1C1如图所示，A1(2，－4)．(2)△A2B2C2如图所示，A2(－2,4)．1．将如图所示的图案通过平移后可以得到的图案是(A)2．如图，有a，b，c三户家用电路接入电表，相邻电路的电线等距排列，则三户所用电线(D)A．a户最长B．b户最长C．c户最长D．一样长3．如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，若∠AOB＝15°，则∠AOB′的度数是(B)A．25°B．30°C．35°D．40°解析：因为将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，所以∠BOB′＝45°.又因为∠AOB＝15°，所以∠AOB′＝∠BOB′－∠AOB＝45°－15°＝30°，故选B.4．如果一个四边形绕对角线的交点旋转90°，所得四边形与原四边形重合，那么这个四边形一定是(D)A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形5．如图，将等边△ABC沿BC方向平移得到△A1B1C1.若BC＝3，S△PB1C＝3，则BB1＝1.解析：设B1C＝x，∵△PB1C是等边三角形，∴S△PB1C＝34x2＝3，解得x＝2，则BB1＝3－2＝1.6．如图所示，等腰直角三角形ABC的直角边AB的长为6cm，将△ABC绕点A逆时针旋转15°后得到△AB′C′，则图中阴影部分的面积等于63cm2.解析：∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC＝45°.又将△ABC绕点A逆时针旋转15°后得到△AB′C′，∴∠B′AC＝45°－15°＝30°.记B′C′与AC相交于点D，则B′D＝6×tan30°＝6×33＝23(cm)．∴S阴影＝12AB′×B′D＝12×6×23＝63(cm2)．7．顶点在网格交点的多边形叫做格点多边形．如图，在一个9×9的正方形网格中有一个格点△ABC.设网格中小正方形的边长都为1个单位长度．(1)在网格中画出△ABC向上平移4个单位后得到的△A1B1C1；(2)在网格中画出△ABC绕点A逆时针旋转90°后得到的△AB2C2；(3)在(1)中△ABC向上平移的过程中，求边AC所扫过区域的面积．解：(1)(2)作图如下：(3)在△ABC向上平移的过程中，边AC所扫过的区域为▱ACC1A1，边CC1为4个单位，边CC1上的高为2个单位，所以△ABC向上平移的过程中，边AC所扫过区域的面积为8个平方单位．考点训练一、选择题(每小题4分，共44分)1．如图，在10×6的网格中，每个小方格的边长都是1个单位，将△ABC平移到△DEF的位置，下面正确的平移步骤是(A)A．先把△ABC向左平移5个单位，再向下平移2个单位B．先把△ABC向右平移5个单位，再向下平移2个单位C．先把△ABC向左平移5个单位，再向上平移2个单位D．先把△ABC向右平移5个单位，再向上平移2个单位2．(2013·玉溪)如图，点A，B，C，D都在方格纸的格点上，若△AOB绕点O按逆时针方向旋转到△COD的位置，则旋转的角度为(C)A．30°B．45°C．90°D．135°解析：由图形看出，OD和OB是一组对应边，∴∠BOD就是一个旋转角，则旋转角为90°.故选C.3．下面的四个图案中，既可用旋转来分析整个图案的形成过程，又可用轴对称来分析整个图案的形成过程的图案有(A)A．4个B．3个C．2个D．1个解析：第一个图案可以旋转90°得到，也可以经过轴对称，沿一条直线对折得到；第二个图案可以旋转180°得到，也可以经过轴对称，沿一条直线对折得到；第三个图案可以旋转180°得到，也可以经过轴对称，沿一条直线对折得到；第四个图案可以旋转90°得到，也可以经过轴对称，沿一条直线对折得到．故选A.4．如图，在方格纸中，△ABC经过变换得到△DEF，正确的变换是()A．把△ABC绕点C逆时针方向旋转90°，再向下平移2格B．把△ABC绕点C顺时针方向旋转90°，再向下平移5格C．把△ABC向下平移4格，再绕点C逆时针方向旋转180°D．把△ABC向下平移5格，再绕点C顺时针方向旋转180°答案:B5．(2013·南昌)如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE，若∠CAE＝65°，∠E＝70°，且AD⊥BC，则∠BAC的度数为(C)A．60°B．75°C．85°D．90°解析：∵∠BAD和∠CAE都是旋转角，∴∠BAD＝∠CAE＝65°.∵AD⊥BC，∴∠B＝90°－∠BAD＝90°－65°＝25°.∵△ABC旋转后得到△ADE，∴∠C＝∠E＝70°，∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝180°－25°－70°＝85°.故选C.6．(2013·烟台)如图，将四边形ABCD先向左平移3个单位，再向上平移2个单位，那么点A的对应点A′的坐标是(B)A．(6,1)B．(0,1)C．(0，－3)D．(6，－3)7．(2013·莆田)如图，将Rt△ABC(其中∠B＝35°，∠C＝90°)绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C，A，B1在同一条直线上，那么旋转角等于(C)A．55°B．70°C．125°D．145°解析：∵∠B＝35°，∠C＝90°，点C，A，B1在同一条直线上，∴∠BAB1是△ABC的外角，∴∠BAB1＝∠B＋∠C＝90°＋35°＝125°.∵AB和AB1是一组对应边，∴∠BAB1就是一个旋转角，∴旋转角为125°.故选C.8．(2013·滨州)如图，将等边△ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置，连接AD，BD，则下列结论：①AD＝BC；②BD，AC互相平分；③四边形ACED是菱形．其中正确的个数是(D)A．0B．1C．2D．3解析：∵△DCE是由△ABC平移得到的，∴AB∥CD，AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形．∴AD＝BC，BD，AC互相平分，即①②正确；同理四边形ACED是平行四边形，又∵△ABC是等边三角形，∴AC＝CE，∴平行四边形ACED是菱形，即③正确．故选D.9．(2013·长春)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0,3)，△OAB沿x轴向右平移后得到△O′A′B′，点A的对应点A′在直线y＝34x上，则点B与其对应点B′间的距离为(C)A.94B．3C．4D．5解析：把y＝3代入y＝34x，得3＝34x，解得x＝4，即点A′的坐标是(4,3)，∴点A向右平移4个单位得到点A′，∴点B也向右平移4个单位得到点B′，即BB′＝4.故选C.10．(2013·黄石)把一幅三角板按如图甲放置，其中∠ACB＝∠DEC＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，斜边AB＝6，DC＝7，图甲把三角板DCE绕着点C顺时针旋转15°得到△D1CE1(如图乙)，此时AB与CD1交于点O，则线段AD1的长为(B)A．32B．5C．4D.31图乙解析：由题意，得∠ACO＝45°，∴∠AOC＝90°.∵AC＝BC，∴AO＝BO＝OC＝3.∵CD1＝CD＝7，∴OD1＝CD1－OC＝4.在Rt△AOD1中，AD1＝AO2＋OD12＝32＋42＝5.故选B.11．如图，菱形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A在x轴上，∠B＝120°，OA＝2，将菱形OABC绕原点顺时针旋转105°至OA′B′C′的位置，则点B′的坐标为(A)A．(2，－2)B．(－2，2)C．(2，－2)D．(3，－3)解析：如图，连接OB，OB′，过点B′作B′E⊥x轴于点E，根据题意，得∠BOB′＝105°，∵四边形OABC是菱形，∴OA＝AB，∠AOB＝12∠AOC＝12∠ABC＝12×120°＝60°，∴△OAB是等边三角形，∴OB＝OA＝2，∴∠AOB′＝∠BOB′－∠AOB＝105°－60°＝45°，OB′＝OB＝2.∴在Rt△B′EO中，OE＝B′E＝OB′·sin45°＝2×22＝2，∴点B′的坐标为(2，－2)．故选A.二、填空题(每小题5分，共20分)12．(2013·广州)如图，Rt△ABC的斜边AB＝16，Rt△ABC绕点O顺时针旋转后得到Rt△A′B′C′，则Rt△A′B′C′的斜边A′B′上的中线C′D的长度为8.解析：∵旋转是全等变换，∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′.∵AB＝16，∴A′B′＝16.再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得C′D＝8.13．(2013·宜宾)如图，将面积为5的△ABC沿BC方向平移至△DEF的位置，平移的距离是边BC长的两倍，那么图中的四边形ACED的面积为15.解析：由题意可得，四边形ACFD是平行四边形，且AD＝CF＝2BC，∵△ABC的面积是5，∴四边形ACFD的面积是20，∴四边形ACED的面积是20－5＝15.14．(2013·包头)如图，点E是正方形ABCD内一点，连接AE，BE，CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置，若AE＝1，BE＝2，CE＝3，则∠BE′C＝135度．解析：如图，连接EE′，∵△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置，∴BE′＝BE＝2，CE′＝AE＝1，∠EBE′＝90°.在Rt△EBE′中，EE′＝22＋22＝22.在△EE′C中，EE′2＋E′C2＝(22)2＋12＝9，CE2＝32＝9，∴EE′2＋E′C2＝CE2，∴△EE′C是直角三角形，∠EE′C＝90°.又∵∠BE′E＝45°，∴∠BE′C＝90°＋45°＝135°.15．(2013·鄂州)如图，△AOB中，∠AOB＝90°，AO＝3，BO＝6，△AOB绕顶点O逆时针旋转到△A′OB′处，此