中考复习——圆的基本性质

单击此处编辑母版标题样式•单击此处编辑母版文本样式•第二级•第三级•第四级•第五级第1讲圆的基本性质中考专项单击此处编辑母版标题样式•单击此处编辑母版文本样式•第二级•第三级•第四级•第五级单击此处编辑母版标题样式•单击此处编辑母版文本样式•第二级•第三级•第四级•第五级1．主要概念(1)圆：平面上到____的距离等于____的所有点组成的图形叫做圆．____叫做圆心，____叫做半径，以O为圆心的圆记作⊙O.(2)弧和弦：圆上任意两点间的部分叫做____，连接圆上任意两点的线段叫做____，经过圆心的弦叫做直径，直径是最长的____．(3)圆心角：顶点在____，角的两边与圆相交的角叫做圆心角．(4)圆周角：顶点在____，角的两边与圆相交的角叫做圆周角．(5)等弧：在中，能够完全____的弧叫做等弧．定点定长定点定长弧弦弦圆心圆上同圆或等圆重合单击此处编辑母版标题样式•单击此处编辑母版文本样式•第二级•第三级•第四级•第五级2．圆的有关性质(1)圆的对称性：①圆是图形，其对称轴是．②圆是图形，对称中心是____．③旋转不变性，即圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合．(2)垂径定理及推论：垂径定理：垂直于弦的直径，并且．垂径定理的推论：①平分弦(不是直径)的直径，并且；②弦的垂直平分线，并且平分弦所对的两条弧；③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．轴对称过圆心的任意一条直线中心对称圆心平分弦平分弦所对的两条弧垂直于弦平分弦所对的两条弧经过圆心单击此处编辑母版标题样式•单击此处编辑母版文本样式•第二级•第三级•第四级•第五级(3)弦、弧、圆心角的关系定理及推论：①弦、弧、圆心角的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧____，所对的弦____．②推论：在同圆或等圆中，如果两个、、、中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．(4)圆周角定理及推论：圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的____．圆周角定理的推论：①同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧____．②半圆(或直径)所对的圆周角是____；90°的圆周角所对的弦是____．相等相等圆心角两条弧两条弦两条弦心距一半相等直角直径单击此处编辑母版标题样式•单击此处编辑母版文本样式•第二级•第三级•第四级•第五级(5)点和圆的位置关系(设d为点P到圆心的距离，r为圆的半径)：①点P在圆上⇔____；②点P在圆内⇔____；③点P在圆外⇔____．(6)过三点的圆：①经过不在同一直线上的三点，有且只有一个圆．②经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆；外接圆的圆心叫做三角形的外心；三角形的外心是三边的交点，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．锐角三角形的外心在三角形内部；直角三角形的外心在斜边中点处；钝角三角形的外心在三角形的外部．(7)圆的内接四边形：圆内接四边形的对角____．d＝rdrdr垂直平分线互补单击此处编辑母版标题样式•单击此处编辑母版文本样式•第二级•第三级•第四级•第五级常见的辅助线(1)有关弦的问题，常作其弦心距，构造以半径、弦的一半、弦心距为边的直角三角形，利用勾股定理知识求解；单击此处编辑母版标题样式•单击此处编辑母版文本样式•第二级•第三级•第四级•第五级(2)有关直径的问题，常通过辅助线构造直径所对的圆周角是直角来进行证明或计算．(3)有等弧或证弧相等时，常连等弧所对的弦或作等(同)弧所对的圆周(心)角．单击此处编辑母版标题样式•单击此处编辑母版文本样式•第二级•第三级•第四级•第五级单击此处编辑母版标题样式•单击此处编辑母版文本样式•第二级•第三级•第四级•第五级1．(2015·遂宁)如图，在半径为5cm的⊙O中，弦AB＝6cm，OC⊥AB于点C，则OC等于()A．3cmB．4cmC．5cmD．6cm2．(2015·广元)如图，已知⊙O的直径AB⊥CD于点E，则下列结论一定错误的是()A．CE＝DEB．AE＝OEC.BC︵＝BD︵D．△OCE≌△ODEBB单击此处编辑母版标题样式•单击此处编辑母版文本样式•第二级•第三级•第四级•第五级3．(2016·眉山)如图，A，D是⊙O上的两个点，BC是直径．若∠D＝32°，则∠OAC等于()A．64°B．58°C．72°D．55°B单击此处编辑母版标题样式•单击此处编辑母版文本样式•第二级•第三级•第四级•第五级4．(2015·资阳)如图，AD，BC是⊙O的两条互相垂直的直径，点P从点O出发，沿O→C→D→O的路线匀速运动．设∠APB＝y(单位：度)，那么y与点P运动的时间x(单位：秒)的关系图是(),A),B),C),D)B单击此处编辑母版标题样式•单击此处编辑母版文本样式•第二级•第三级•第四级•第五级5．(2016·巴中)如图，∠A是⊙O的圆周角，∠OBC＝55°，则∠A＝_____．6．(2014·甘孜州)如图，点A，B，C在圆O上，OC⊥AB，垂足为D，若⊙O的半径是10cm，AB＝12cm，则CD＝____cm35°2单击此处编辑母版标题样式•单击此处编辑母版文本样式•第二级•第三级•第四级•第五级7．(2016·雅安)如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，与AC交于点E，连接OD交BE于点M，且MD＝2，则BE的长为_____．8．(2016·成都)如图，△ABC内接于⊙O，AH⊥BC于点H，若AC＝24，AH＝18，⊙O的半径OC＝13，则AB＝____．8392单击此处编辑母版标题样式•单击此处编辑母版文本样式•第二级•第三级•第四级•第五级单击此处编辑母版标题样式•单击此处编辑母版文本样式•第二级•第三级•第四级•第五级例1如图，在⊙O中，AB为直径，点B为CD︵的中点，直径AB交弦CD于E，CD＝25，AE＝5.(1)求⊙O半径r的值；(2)点F在直径AB上，连接CF，当∠FCD＝∠DOB时，求AF的长．思路分析：(1)先根据垂径定理得出E为CD的中点，再由勾股定理即可得出结论；(2)先由锐角三角函数的定义求出EF的长，再分点F在线段CD的上方与下方两种情况进行讨论．单击此处编辑母版标题样式•单击此处编辑母版文本样式•第二级•第三级•第四级•第五级解：(1)∵AB为直径，点B为CD︵的中点，CD＝25，∴AB⊥CD，∴DE＝12CD＝5.在Rt△ODE中，∵OD＝r，OE＝5－r，DE＝5，∴r2＝(5－r)2＋(5)2，解得r＝3(2)由(1)知，OE＝AE－AO＝5－3＝2，∴tan∠FCE＝tan∠DOB＝DEOE＝52.在Rt△FCE中，∵EFCE＝EF5＝52，∴EF＝52，∴当点F在线段CD的上方时，AF＝AE－EF＝5－52＝52；当点F在线段CD的下方时，AF＝AE＋EF＝5＋52＝152＞AB，不合题意．综上所述，AF＝52单击此处编辑母版标题样式•单击此处编辑母版文本样式•第二级•第三级•第四级•第五级[对应训练]1．(2016·兰州)如图，在⊙O中，若点C是AB︵的中点，∠A＝50°，则∠BOC＝()A．40°B．45°C．50°D．60°2．(2016·贵阳)小颖同学在手工制作中，把一个边长为12cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上，若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则圆的半径为()A．23cmB．43cmC．63cmD．83cmAB单击此处编辑母版标题样式•单击此处编辑母版文本样式•第二级•第三级•第四级•第五级3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，且CD＝24，点M在⊙O上，MD经过圆心O，连接MB.(1)若BE＝8，求⊙O的半径；(2)若∠DMB＝∠D，求线段OE的长．解：(1)设⊙O的半径为x，则OE＝x－8，∵CD＝24，由垂径定理得，DE＝12，在Rt△ODE中，OD2＝DE2＋OE2，x2＝(x－8)2＋122，解得：x＝13(2)∵OM＝OB，∴∠M＝∠B，∴∠DOE＝2∠M，又∠M＝∠D，∴∠D＝30°，在Rt△OED中，∵DE＝12，∠D＝30°，∴OE＝43单击此处编辑母版标题样式•单击此处编辑母版文本样式•第二级•第三级•第四级•第五级例2(2016·宁夏)已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，交BC于E，连接ED，若ED＝EC.(1)求证：AB＝AC；(2)若AB＝4，BC＝23，求CD的长．思路分析：(1)由等腰三角形的性质得到∠EDC＝∠C，由圆外接四边形的性质得到∠EDC＝∠B，由此推得∠B＝∠C，由等腰三角形的判定即可证得结论；(2)连接AE，由AB为直径，可证得AE⊥BC，由(1)知AB＝AC，由“三线合一”定理得到BE＝CE＝12BC＝3，由相似三角形的性质求出CD的长．单击此处编辑母版标题样式•单击此处编辑母版文本样式•第二级•第三级•第四级•第五级(1)证明：∵ED＝EC，∴∠EDC＝∠C，∵∠EDC＝∠B，∴∠B＝∠C，∴AB＝AC(2)解：连接AE，∵AB为直径，∴AE⊥BC，由(1)知AB＝AC，∴BE＝CE＝12BC＝3，∵CE·CB＝CD·CA，AC＝AB＝4，∴3·23＝4CD，∴CD＝32单击此处编辑母版标题样式•单击此处编辑母版文本样式•第二级•第三级•第四级•第五级[对应训练]4．(2016·张家界)如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦．若∠OBC＝60°，则∠BAC的度数是()A．75°B．60°C．45°D．30°5．(2016·临夏州)如图，在⊙O中，弦AC＝23，点B是圆上一点，且∠ABC＝45°，则⊙O的半径R＝_____．D6单击此处编辑母版标题样式•单击此处编辑母版文本样式•第二级•第三级•第四级•第五级6．(2016·利辛模拟)如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，CD⊥AB于点E.(1)求证：△ACE∽△CBE；(2)若AB＝8，设OE＝x(0＜x＜4)，CE2＝y，请求出y关于x的函数解析式．(1)证明：∵AB为圆O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB＋∠CBA＝90°，∵CD⊥AB，∴∠AEC＝∠BEC＝90°，∴∠CAB＋∠ACE＝90°，∴∠CBA＝∠ACE，∴△ACE∽△CBE(2)解：连接OC，∵AB＝8，∴OC＝4，在Rt△OCE中，OE＝x，OC＝4，根据勾股定理得：CE＝16－x2，∵CE2＝y，∴y＝－x2＋16(0＜x＜4)单击此处编辑母版标题样式•单击此处编辑母版文本样式•第二级•第三级•第四级•第五级例3(2015·南京)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC的延长线与AD的延长线交于点E，且DC＝DE.(1)求证：∠A＝∠AEB；(2)连接OE，交CD于点F，OE⊥CD，求证：△ABE是等边三角形．思路分析：(1)根据圆内接四边形的性质可得∠A＋∠BCD＝180°，根据邻补角互补可得∠DCE＋∠BCD＝180°，进而得到∠A＝∠DCE，然后利用等边对等角得∠DCE＝∠DEB，进而得到∠A＝∠AEB；(2)证明△DCE是等边三角形，可得∠AEB＝60°，进而可得∠A＝∠AEB＝60°，于是得△ABE是等边三角形．单击此处编辑母版标题样式•单击此处编辑母版文本样式•第二级•第三级•第四级•第五级证明：(1)∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A＋∠BCD＝180°，∵∠DCE＋∠BCD＝180°，∴∠A＝∠DCE，∵DC＝DE，∴∠DCE＝∠AEB，∴∠A＝∠AEB(2)∵∠A＝∠AEB，∴△ABE是等腰三角形，连接OC，OD，∴OC＝OD，∵EO⊥CD，∴CF＝DF，∴EO是CD的垂直平分线，∴ED＝EC，∵DC＝DE，∴DC＝DE＝EC，∴△DCE是等边三角形，∴∠AEB＝60°，∴△ABE是等边三角形单击此处编辑母版标题样式•单击此处编辑母版文本样式•第二级•第三级•第四级•第五级[对应训练]7．(2016·兰州)如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为()A．45°B．50°C．60°D．75°8．(2016·娄底)如图，四边形ABCD为