【人教版】2017届中考复习：第23讲《相似三角形》ppt课件

第23讲相似三角形考点一相似三角形的定义如果两个三角形的各角对应相等，各边对应成比例，那么这两个三角形相似．考点二相似三角形的性质1．相似三角形的对应角相等，对应边成比例．2．相似三角形对应线段的比等于相似比；相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比．3．相似三角形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．温馨提示：运用相似三角形的性质要特别注意“对应”，并不是任意高的比、角平分线的比、中线的比都等于相似比，而只有对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比等于相似比．考点三相似三角形的判定1．平行于三角形一边的直线和其他两边(或其他两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．2．两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似．3．两角对应相等的两个三角形相似．4．三边对应成比例的两个三角形相似．温馨提示：直角三角形相似的判定：(1)两直角边对应成比例的两个直角三角形相似；(2)有一个锐角对应相等的两个直角三角形相似；(3)有一斜边和一直角边对应成比例的两个直角三角形相似；(4)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似．考点四利用相似三角形解决实际问题在实际生活中利用影子测量树高、楼房高以及利用反射构造相似等问题常常用到相似三角形的性质来解决．考点一相似三角形的性质例1(2016·兰州)已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为34，则△ABC与△DEF对应边上的中线的比为()A．34B．43C．916D．169【点拨】根据相似三角形对应中线的比等于相似比可得△ABC与△DEF对应边上的中线的比为34.故选A．【答案】A方法总结：相似三角形对应线段的比、对应边的比、周长之比都等于相似比，面积之比等于相似比的平方．考点二相似三角形的判定和性质例2(2016·怀化)如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFGH的一边FG在BC上，顶点E，H分别在AB，AC上，已知BC＝40cm，AD＝30cm.(1)求证：△AEH∽△ABC；(2)求这个正方形的边长与面积．【点拨】(1)根据EH∥BC即可证明；(2)如图设AD与EH交于点M，首先证明四边形EFDM是矩形，设正方形的边长为x，再利用△AEH∽△ABC，得EHBC＝AMAD，列出方程即可求解．(1)证明：∵四边形EFGH是正方形，∴EH∥BC，∴∠AEH＝∠B，∠AHE＝∠C，∴△AEH∽△ABC．(2)解：如图，设AD与EH交于点M.∵∠EFD＝∠FEM＝∠FDM＝90°，∴四边形EFDM是矩形，∴EF＝DM.设正方形EFGH的边长为x，∵△AEH∽△ABC，∴EHBC＝AMAD，∴x40＝30－x30，∴x＝1207.∴正方形EFGH的边长为1207cm，面积为1440049cm2.方法总结：判定两个三角形相似时，方法有多种，要结合题目给出的条件和图形中隐含的条件，确定合适的方法．常用的方法：(1)两个角对应相等；(2)平行线法．考点三相似三角形的应用例3如图，M，N为山两侧的两个村庄，为了两村交通方便，根据国家的惠民政策，政府决定打一直线涵洞，工程人员为计算工程量，必须计算M，N两点之间的直线距离，选择测量点A，B，C，点B，C分别在AM，AN上，现测得AM＝1千米、AN＝1.8千米，AB＝54米、BC＝45米、AC＝30米，求M，N两点之间的直线距离．【点拨】本题考查了相似三角形的应用，关键是判定两个三角形相似．解：连接MN，1千米＝1000米，1.8千米＝1800米，∵ACAM＝301000＝3100，ABAN＝541800＝3100，∴ACAM＝ABAN.又∵∠BAC＝∠NAM，∴△BAC∽△NAM.∴BCMN＝3100，即45MN＝3100.∴MN＝1500.答：M，N两点之间的直线距离为1500米．方法总结：在实际生活中，处处存在相似三角形．相似三角形的应用体现在(1)同一时刻物高与影长的问题；(2)利用相似测量无法直接测量的距离；(3)利用相似进行图形设计等．1．(2016·兰州)如图，在△ABC中，DE∥BC，ADDB＝23，则AEEC＝(C)A．13B．25C．23D．352．(2016·重庆)△ABC与△DEF的相似比为1∶4，则△ABC与△DEF的周长比为(C)A．1∶2B．1∶3C．1∶4D．1∶163．如图，在△ABC中，AB＝9，BC＝6，DE∥AB，BD是∠ABC的平分线，那么△DCE的面积与四边形ABED的面积之比是(A)A．4∶21B．4∶9C．9∶16D．2∶34．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是(D)A．∠ABP＝∠CB．∠APB＝∠ABCC．APAB＝ABACD．ABBP＝ACCB5．如图，点P是边长为4的正方形ABCD内一点，且PB＝3，BF⊥BP，垂足是点B，若在射线BF上找一点M，使以点B，M，C为顶点的三角形与△ABP相似，则BM的值为163或3．6．如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且CD2＝AD·DB．(1)求证：△ACD∽△CBD；(2)求∠ACB的大小．(1)证明：∵CD是AB边上的高，∴∠ADC＝∠CDB＝90°.∵CD2＝AD·DB，即ADCD＝CDBD.∴△ACD∽△CBD．(2)解：∵△ACD∽△CBD，∴∠A＝∠BCD．在△ACD中，∵∠ADC＝90°，∴∠A＋∠ACD＝90°，∴∠BCD＋∠ACD＝90°，即∠ACB＝90°.一、选择题(每小题3分，共33分)1．(2016·兰州)已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为34，则△ABC与△DEF对应中线的比为()A．34B．43C．169D．916【解析】∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为34.相似三角形的对应中线的比等于相似比，则△ABC与△DEF对应中线的比为34.故选A．【答案】A2．(2016·盐城)如图，点F在平行四边形ABCD的边AB上，射线CF交DA的延长线于点E，在不添加辅助线的情况下，与△AEF相似的三角形有()A．0个B．1个C．2个D．3个【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥DC,∴△AEF∽△BCF，△AEF∽△DEC，∴与△AEF相似的三角形有2个．故选C．【答案】C3．(2016·河北)如图，△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是()【导学号90280255】【解析】A．阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合；B．阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合；C．两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项符合；D．两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项不符合．故选C．【答案】C4．(2016·随州)如图，D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，且DE∥AC，AE，CD相交于点O，若S△DOE∶S△COA＝1∶25，则S△BDE与S△CDE的比是()A．1∶3B．1∶4C．1∶5D．1∶25【解析】∵DE∥AC，∴△DOE∽△COA．又∵S△DOE∶S△COA＝1∶25，∴DEAC＝15.∵DE∥AC，∴BEBC＝DEAC＝15，∴BEEC＝14，∴S△BDE与S△CDE的比是1∶4.故选B．【答案】B5．如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是(D)A．∠ABD＝∠ACBB．∠ADB＝∠ABCC．AB2＝AD·ACD．ADAB＝ABBC6．如图，已知△ABC和△ADE均为等边三角形．点D在BC上，DE与AC相交于点F，AB＝9，BD＝3，则CF等于()A．1B．2C．3D．4【解析】∵△ABC和△ADE均为等边三角形，∴∠B＝∠BAC＝60°，∠E＝∠EAD＝60°，∴∠B＝∠E，∠BAD＝∠EAF.∴△ABD∽△AEF.∴AB∶BD＝AE∶EF.同理可证△CDF∽△EAF，∴CD∶CF＝AE∶EF.∴AB∶BD＝CD∶CF，即9∶3＝(9－3)∶CF，∴CF＝2.故选B．【答案】B7．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BA的延长线上，点F在BC的延长线上，连接EF，分别交AD，CD于点G，H，则下列结论错误的是()A．EABE＝EGEFB．EGGH＝AGGDC．ABAE＝BCCFD．FHEH＝CFAD【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BF，BE∥DC，AD＝BC．∴EABE＝EGEF，EGGH＝AGGD，FHEH＝CFBC＝CFAD.故选C．【答案】C8．如图，数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的树高，下午课外活动时她测得一根长为1m的竹竿的影长是0.8m，但当她马上测量树高时，发现树的影子没有全落在地面上，有一部分影子落在了教学楼的墙壁上(如图)，她先测得留在墙壁上的影高为1.2m，又测得地面上的影长为2.6m，请你帮她算一下，树高是()【导学号90280256】A．3.25mB．4.25mC．4.45mD．4.75m【解析】如图，设BD是BC在地面上的影子，树高为xm，根据竹竿的高与其影长的比值和树高与其影长的比值相同，得CBBD＝10.8，∵CB＝1.2m，∴BD＝0.96m．∴树在地面上的实际影长是0.96＋2.6＝3.56(m)．设树高是xm，则x3.56＝10.8，∴x＝4.45，∴树高是4.45m．故选C．【答案】C9．(2016·安徽)如图，△ABC中，AD是中线，BC＝8，∠B＝∠DAC，则线段AC的长为()A．4B．42C．6D．43【解析】∵BC＝8，∴CD＝4，在△CBA和△CAD中，∵∠B＝∠DAC，∠C＝∠C，∴△CBA∽△CAD，∴ACBC＝CDAC，∴AC2＝CD·BC＝4×8＝32，∴AC＝42.故选B．【答案】B10．如图，在矩形ABCD中，F是DC上的一点，AE平分∠BAF交BC于点E，且DE⊥AF，垂足为点M，BE＝3，AE＝26，则MF的长是()【导学号90280257】A．15B．1510C．1D．1515【解析】∵AE平分∠BAF，且DE⊥AF，∠B＝90°，∴BE＝EM＝3.由勾股定理，可得AB＝AM＝AE2－BE2＝24－9＝15.设EC＝x(x＞0)，利用勾股定理，可得ED＝CD2＋CE2＝15＋x2，∴DM＝15＋x2－3.在Rt△AMD中，AM2＋DM2＝AD2，即15＋(15＋x2－3)2＝(x＋3)2，解得x＝1.可得DM＝1.易知∠DAM＋∠ADM＝90°，∠ADM＋∠MDF＝90°，∴∠DAM＝∠MDF.∴△DMF∽△AMD，∴MFDM＝DMAM，即MF1＝115，解得MF＝1515.故选D．【答案】D11．(2016·深圳)如图，CB＝CA，∠ACB＝90°，点D在边BC上(与B，C不重合)，四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：①AC＝FG；②S△FAB∶S四边形CBFG＝1∶2；③∠ABC＝∠ABF；④AD2＝FQ·AC．其中正确的结论的个数是()【导学号90280258】A．1B．2C．3D．4【解析】∵四边形ADEF为正方形，∴∠FAD＝90°，AD＝AF＝EF，∴∠CAD＋∠FAG＝90°.∵FG⊥CA，∴∠C＝90°＝∠ACB，∴∠CAD＝∠AFG，在△FGA和△ACD中，∠G＝∠C，∠AFG＝∠CAD，AF＝AD，∴△FGA≌△ACD(AAS)．∴AC＝FG，①正确；∵BC＝AC，∴FG＝BC，∵∠ACB＝90°，FG⊥CA，∴FG∥BC，∴四边形CBFG是矩形，∴∠CBF＝90°，S△FAB＝12FB·FG＝12S四边形CBFG，②正确；∵CA＝CB，∠C＝∠CBF＝90°，∴∠ABC＝∠ABF＝45°，③正确；∵∠FQE＝∠DQB＝∠ADC，∠E＝∠C＝90°，∴△ACD∽△FEQ，∴AC∶AD＝FE∶FQ，∴AD·FE＝AD2＝FQ·AC，④正确．故选D．【答案】D二、填空题(每小题4分，共2