中考复习-相似三角形

相似三角形1.成比例的项：叫做成比例的项。那么或若,::cbaddcbadcba==,,,其中：a、b、c、d叫做组成比例的项，线段a、d叫做比例外项，线段b、c叫做比例内项，若四条线段a、b、c、d中，如果（或a：b=c：d），那么这四条线段a、b、c、d叫做成比例的线段，简称比例线段.acbd=3.比例中项：当两个比例内项相等时，即abbc=，(或a：b=b：c)，那么线段b叫做线段a和c的比例中项.2acb=即：1.若a,b,c,d成比例,且a=2,b=3,c=4,那么d=62、下列各组线段的长度成比例的是（）A.2,3,4,1B.1.5,2.5,6.5,4.5C.1.1,2.2,3.3,4.4D.1,2,2,42、比例的性质比例的基本性质─比例的合比性质─比例的等比性质──mnm=n56已知,求的值.解:方法(1)由对调比例式的两内项比例式仍成立得：mn65=方法(2)因为,所以5m=6nm6n5=6mn=所以53、4、已知1)x：(x+1)=(1—x)：3，求x。(2)若，求。(3)若，求，.=-2x3y+yx12yxa+bb=65aba-bb()()::,_______.xxyyxyyxy-++==+2222232已知，43则51156已知1,2,3三个数，请你再添上一个数，写出一个比例式。4.黄金分割：线段黄金分割。把这条）的比例中项，就叫做）与较短线段（原线段（）是中较长线段（）分成两条线段，使其把一条线段（BCABACAB,ACABBCACAB-=?251即：2ACB(),____.CABACAB=-=是线段的黄金分割点，较长线段251则4（1）测物高：①利用阴影测物高。5相似三角形的应用：杆影长物影长杆高物高=如果两个多边形满足各对应角相等，各对应边的比相等，那么这两个多边形相似.1相似多边形的定义:2相似多边形的判定:如果两个多边形满足各对应角相等，各对应边的比相等，那么这两个多边形相似.3相似多边形的性质:（1）相似多边形对应角相等,对应边的比相等.（2）相似多边形周长的比等于相似比.（3）相似多边形面积的比等于相似比的平方.1、两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，这样的相似叫做位似,点O叫做位似中心．2、利用位似的方法，可以把一个多边形放大或缩小（1）如何作位似图形(放大).（3）体会位似图形何时为正像何时为倒像.（2）如何作位似图形(缩小).ABGCEDF●PB′A′C′D′E′F′G′A′B′C′D′E′F′G′ABGCEDF●P3位似变换的性质：位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上,它们到位似中心的距离之比等于相似比.4位似变换中对应点的坐标变化规律:在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或－k.EABC.2、如图,在△ABC中,AB=5,AC=4,E是AB上一点,AE=2,在AC上取一点F,使以A、E、F为顶点的三角形与△ABC相似,那么AF=________F2F12558或如果两个三角形的各角对应相等，各边对应成比例，那么这两个三角形相似．考点一相似三角形的定义1．相似三角形的对应角相等，对应边成比例.2．相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比.3．相似三角形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方.考点二相似三角形的性质温馨提示运用相似三角形的性质要特别注意“对应”，并不是任意高的比、角平分线的比、中线的比都等于相似比，而只有对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比才等于相似比.1．平行于三角形一边的直线和其他两边(或其他两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．2．两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似．3．两角对应相等的两个三角形相似．4．三边对应成比例的两个三角形相似．考点三相似三角形的判定温馨提示直角三角形相似的条件：1两直角边对应成比例的两个直角三角形相似；2有一个锐角对应相等的两个直角三角形相似；3有斜边和一直角边对应成比例的两个直角三角形相似；4直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似.考点一相似三角形的性质例1(2013·湘西)如图，在▱ABCD中，E是AD边上的中点，连接BE，并延长BE交CD的延长线于点F，则△EDF与△BCF的周长之比是()A．1∶2B．1∶3C．1∶4D．1∶5ECDBAF【点拨】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC.∵点E是AD的中点，∴DE＝12AD＝12BC.∵DE∥BC，∴△EDF∽△BCF，∴△EDF的周长∶△BCF的周长＝DE∶BC＝1∶2.故选A.【答案】A方法总结相似三角形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方.考点二相似三角形的判定例2(2013·淄博)如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠C＝90°，∠BDA＝90°，AB＝a，BD＝b，CD＝c，BC＝d，AD＝e，则下列等式成立的是()A．b2＝acB．b2＝ceC．be＝acD．bd＝aeedcbaDCAB【点拨】∵AB∥CD，∴∠BDC＝∠ABD.又∵∠C＝∠BDA＝90°，∴△BCD∽△ADB，∴BCAD＝BDAB＝CDBD，即de＝ba＝cb.由de＝ba可得be＝ad；由ba＝cb可得b2＝ac；由de＝cb可得bd＝ce.故选A.【答案】A方法总结判定两个三角形相似的方法有多种，要结合题目给出的条件和图形中隐含的条件，确定合适的方法.常用的方法有：1两个角对应相等；2平行线法.1．如图所示，在△ABC中，∠AED＝∠B，则下列等式成立的是(C)A.DEBC＝ADDBB.AEBC＝ADBDC.DEBC＝AEABD.ADAB＝AEAC解析：∵∠AED＝∠B，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB.且边AD与AC对应，AE与AB对应，DE与BC对应．∴ADAC＝AEAB＝DEBC.故选C.解析：由图知，AB＝2，BC＝2，AC＝10.A图中三边长依次为2，5，3；B图中三边长依次为1，2，5；C图中三边长依次为1，5，22；D图中三边长依次为2，5，13.容易得出，B图中的三角形和△ABC相似．故选B.3．如图，在一场羽毛球比赛中，站在场内M处的运动员林丹把球从N点击到了对方内的B点，已知网高OA＝1.52米，OB＝4米，OM＝5米，则林丹起跳后击球点N离地面的距离NM＝3.42米．解析：∵AO∥NM，∴△BOA∽△BMN.∴AONM＝BOBM，解得NM＝3.42(米)．4．如图，∠1＝∠2，添加一个条件使得△ADE∽△ACB,∠B＝∠E(或∠D＝∠C或ADAC＝AEAB).解析：∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠BAE＝∠2＋∠BAE，即∠DAE＝∠CAB，要使三角形相似，如根据两角对应相等，两三角形相似，则可知∠B＝∠E或∠D＝∠C；若根据两边对应成比例，夹角相等的两三角形相似，则可添加ADAC＝AEAB，故答案可以是∠B＝∠E或∠D＝∠C或ADAC＝AEAB.5．如图，在平行四边形ABCD中，E是BC上的点，AE交BD于点F，如果BEBC＝23，那么BFFD＝23.2．如图所示，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是(B)解析：∵BEBC＝23，AD＝BC，∴BEAD＝23.∵BC∥AD，∴△BFE∽△DFA.∴BFFD＝BEAD＝23.6．如图，已知四边形ABCD是平行四边形．(1)求证：△MEF∽△MBA；(2)若AF，BE分别是∠DAB，∠CBA的平分线，求证：DF＝EC.证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB.∴△MEF∽△MBA.(2)在▱ABCD中，∵CD∥AB，∴∠DFA＝∠FAB.又∵AF是∠DAB的平分线，∴∠DAF＝∠FAB.∴∠DAF＝∠DFA.∴AD＝DF.同理可得EC＝BC.又∵AD＝BC.∴DF＝EC.考点训练一、选择题(每小题4分，共44分)1．(2013·重庆)已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为3∶4，则△ABC与△DEF的面积之比为(D)A．4∶3B．3∶4C．16∶9D．9∶162．下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是(B)解析：根据勾股定理得，AB＝22＋22＝22，BC＝12＋12＝2，AC＝12＋32＝10，所以△ABC的三边之比为2∶22∶10＝1∶2∶5.A中三角形的三边分别为2，12＋32＝10，32＋32＝32，三边之比为2∶10∶32＝2∶5∶3，故A不符合；B中三角形的三边分别为2,4，22＋42＝25，三边之比为2∶4∶25＝1∶2∶5，故B符合；C中三角形的三边分别为2,3，22＋32＝13，三边之比为2∶3∶13，故C不符合；D中三角形的三边分别为12＋22＝5，22＋32＝13，4，三边之比为5∶13∶4，故D不符合．故选B.3．(2013·温州)如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC.已知AE＝6，ADDB＝34，则EC的长是(B)A．4.5B．8C．10.5D．14解析：∵DE∥BC，∴ADDB＝AEEC＝34.∵AE＝6，∴EC＝8.故选B.4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则图中相似三角形共有(C)A．1对B．2对C．3对D．4对解析：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴△ABC∽△ACD，△ACD∽△CBD，△ABC∽△CBD，∴共有三对相似三角形．故选C.5．(2013·北京)如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE＝20m，EC＝10m，CD＝20m，则河的宽度AB等于(B)A．60mB．40mC．30mD．20m解析：根据题意，知△ABE∽△DCE，∴ABCD＝BEEC，即AB20＝2010，∴AB＝40(m)．故选B.6．(2013·上海)如图，已知在△ABC中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD∶DB＝3∶5，那么CF∶CB等于(A)A．5∶8B．3∶8C．3∶5D．2∶5解析：∵DE∥BC，AD∶DB＝3∶5，∴AE∶EC＝AD∶DB＝3∶5.∴EC∶AE＝5∶3，∴EC∶AC＝5∶8.∵EF∥AB，∴CF∶CB＝EC∶AC＝5∶8.故选A.7．(2013·聊城)如图，点D是△ABC的边BC上任一点，已知AB＝4，AD＝2，∠DAC＝∠B.若△ABD的面积为a，则△ACD的面积为(C)A．aB.12aC.13aD.25a解析：∵∠DAC＝∠B，∴△CAD∽△CBA.∴ADAB＝ACBC＝CDAC.∵AB＝4，AD＝2，∴ACBC＝CDAC＝24＝12.∴BC＝2AC，AC＝2CD，∴BC＝4CD，∴BD＝3CD.∵△ABD的面积为a，∴△ACD的面积为13a.故选C.8．(2013·柳州)小明在测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长BA为15米(如图)，然后在A处树立一根高2米的标杆，测得标杆的影长AC为3米，则楼高为(A)A．10米B．12米C．15米D．22.5米解析：由太阳光是平行光线，可得△ACD∽△BAE，∴BAAC＝BEAD，即153＝BE2，解得BE＝10(米)．故选A.9．(2013·宜昌)如图，点A，B，C，D的坐标分别是(1,7)，(1,1)，(4,1)，(6,1)，以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是(B)A．(6,0)B．(6,3)C．(6,5)D．(4,2)解析：观察图形可知，AB＝6，BC＝3，CD＝2，若点E的坐标为(6,3)，则DE＝2.∵ABBC＝63＝2，CDDE＝22＝1，ABBC≠CDDE，∴以C，D，E为顶点的三角形与△ABC不相似，即点E的坐标不可能是(6,3)．故选B.10．如图，在正方形ABCD中，点E是CD的中点，点F在BC上，且FC＝14BC.图中相似的三角形共有(C)